Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)

Berikut ini penulis sajikan sejumlah soal disertai pembahasannya terkait persamaan kuadrat versi soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) dan Olimpiade.

Versi Standar: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Quote by Soekarno

Hidup bukanlah tentang “Aku bisa saja”, namun tentang “Aku mencoba”. Jangan pikirkan tentang kegagalan, sebab itu adalah pelajaran.

Soal Nomor 1 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^2+3x+1=0$, maka nilai dari $\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} = \cdots$
A. $-3$        B. $3$         C. $-\dfrac13$           D. $\dfrac13$           E. $1$

Penyelesaian

Diketahui persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$ memiliki jumlah akar
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -3$
dan hasil kali akarnya
$x_1x_2 = \dfrac{c} {a} = 1$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{(3x_1+1)(x_1+3)+(3x_2+1)(x_2+3)}{(3x_1+1)(3x_2+1)(x_1+3)(x_2+3)} \\ & = \dfrac{3x_1^2 + 10x_1 + 3 + 3x_2^2 + 10x_2 + 3}{(9x_1x_2 + 3x_1 + 3x 2 + 1)(x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9)} \\ & = \dfrac{3(x_1^2+x_2^2)+10(x_1+x_2) + 6}{x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9} \\ & = \dfrac{3[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2] +10(x_1+x_2) + 6}{x_1x_2 + 3(x_1+x_2) + 9} \\ & = \dfrac{3[(-3)^2 – 2(1)] + 10(-3) + 6}{1 + 3(-3) + 9} \\ & = \dfrac{3(9-2) – 30 + 6}{1 – 9 + 9} \\ & = 21 – 30 + 6 = -3 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)} + \dfrac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)} = -3}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$ dengan $p \neq 0$, serta $\dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} = m^3+n^3$, maka nilai dari $p^2-16 = \cdots$
A. $82$                D. $144$
B. $96$                E. $164$
C. $112$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$m + n = -\dfrac{p} {4}$
dan hasil kali akarnya adalah
$mn = \dfrac{8}{4} = 2$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{2}{m} + \dfrac{2}{n} & = m^3+n^3 \\ \dfrac{2m + 2n} {mn} & = (m + n)^3 – 3m^2n – 3mn^2 \\ \dfrac{2(m+n)} {mn} & = (m+n)^3 – 3mn(m + n) \\ \dfrac{\cancel{2}\left(-\frac{p} {4}\right)} {\cancel{2}} & = \left(-\dfrac{p} {4}\right)^3 – 3(\cancel{2})\left(-\dfrac{p} {\cancelto{2}{4}} \right) \\ -\dfrac{p}{4} & = -\dfrac{p^3}{64} + \dfrac{3p} {2} \\ \text{Bagi kedua}~&\text{ruas dengan}~p \\ -\dfrac{1} {4} & = -\dfrac{p^2}{64} + \dfrac{3} {2} \\ \dfrac{p^2}{64} & = \dfrac74 \\ p^2 & = \dfrac{7}{\cancel{4}} \times \cancelto{16}{64} \\ p^2 & = 112 \\ p^2 – 16 & = 96 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $p^2-16$ adalah $\boxed{96}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $p$ dan $q$ akar-akar persamaan $x^2-x+1=0$, nilai dari $p^{2017}+q^{2017}$ adalah $\cdots$
A. $2$         B. $1$           C. $0$           D. $-1$            E. $-2$

Penyelesaian

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 – x + 1 = 0$ memiliki jumlah akar
$\color{red}{p + q = -\dfrac{b}{a} = 1}$
Perhatikan bahwa persamaan $x^2 – x + 1 = 0$ ekuivalen dengan $x^2 = x – 1$. Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan $x$, kita peroleh
$\begin{aligned} x^3 & = x^2 – x \\ \text{Substitusikan}~&x^2 = x – 1 \\ x^3 & = (x – 1) – x \\ x^3 & = -1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$x^{2016} = (x^3)^{672} = (-1)^{672} = 1$
Berarti,
$x{2017} = x^{2016} \cdot x = x$
Karena $p, q$ merupakan akar-akar persamaan kuadratnya, maka berlaku
$p^{2017} = p$ dan $q^{2017} = q$. Jumlahkan kedua persamaan ini untuk memperoleh
$p^{2017} + q^{2017} = \color{red}{p + q} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{p^{2017} + q^{2017} = 1}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, maka hasil dari $4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2$ adalah $\cdots$
A. $20$            C. $22$            E. $24$
B. $21$            D. $23$       

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$x_1+x_2=-\dfrac{b} {a} = -1$
Perhatikan juga bahwa persamaan $x^2+x-3=0$ ekuivalen dengan $x^2+x=3$
Karena $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\boxed{\begin{aligned} x_1^2 + x_1 & = 3 \\ x_2^2+x_2 & = 3 \\ x_1+x_2 & = -1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & 4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) – 2x_1 – 2x_2 \\ & = 4(x_1^2 + x_1) + 3(x_2^2 + x_2) – 2(x_1+x_2) \\ & = 4(3) + 3(3) – 2(-1) = 23 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2 = 23}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diketahui persamaan kuadrat $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki akar-akar $a$ dan $b$, maka nilai dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac32$          B. $\dfrac38$          C. $\dfrac58$           D. $\dfrac78$         E. $\dfrac{7}{12}$

Penyelesaian

Persamaan $x^2 – 9x + 64 = 0$ memiliki jumlah akar
$a + b = -\dfrac{-9}{1} = 9$
dan hasil kali akarnya 
$ab = \dfrac{64}{1} = 64$
Perhatikan bahwa bentuk $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ ekuivalen dengan $\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}$, sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}} & = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}} {\sqrt{ab}}\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{a + b + 2\sqrt{ab}} {ab}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 2\sqrt{64}} {64}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9 + 16}{64}} \\ & = \dfrac58 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}$ adalah $\boxed{\dfrac58}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika akar-akar persamaan $x^2-45x-8=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka nilai dari $\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = \cdots$
A. $3$           B. $2$           C. $-2$              D. $-3$           E. $-4$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-45x-8=0$, diketahui jumlah akarnya
$\alpha + \beta = -\dfrac{-45}{1} = 45$
dan hasil kali akarnya
$\alpha \beta = \dfrac{-8}{1} = -8$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} (\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta})^3 & = a + b + 3(\alpha)^{\frac23}b^{\frac13} + 3(\alpha)^{\frac13}b^{\frac23} \\ & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}(\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta}) \\ \text{Misalkan}~(\sqrt[3]{\alpha} & + \sqrt[3]{\beta}) = x \\ x^3 & = a + b + 3(\alpha\beta)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-8)^{\frac13}x \\ x^3 & = 45 + 3(-2)x \\ x^3 + 6x – 45 & = 0 \\ (x – 3)(x^2 + 3x + 15) & = 0 \end{aligned}$
Karena $x^2+3x+15=0$ merupakan persamaan kuadrat dengan definit positif, maka satu-satunya akar adalah $x = 3$. 
Ini berarti, nilai dari $\boxed{\sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} = 3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan $2x^2+3x-3=0$. Nilai dari $4a^3b + 6a^2b = \cdots$
A. $-12$             C. $-9$              E. $12$
B. $-11$             D. $9$            

Penyelesaian

Diketahui hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah $ab = \dfrac{-3}{2}$
Karena $a$ merupakan salah satu akar persamaan kuadrat $2x^2+3x-3=0$, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a-3 & =0 \\ 2a^2 + 3a & = 3 \\ \text{Kalikan}~2ab~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 2a^2(2ab) + 3a(2ab) & = 3(2ab) \\ 4a^3b + 6a^2b & = 6ab = 6\left(-\dfrac32\right) = -9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{4a^3b + 6a^2b = -9}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat $2x^2+3x-4=0$ mempunyai akar-akar $a$ dan $b$. Nilai dari $(4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5)= \cdots$
A. $63$              C. $86$               E. $98$
B. $73$              D. $90$         

Penyelesaian

Persamaan kuadrat di atas ekuivalen dengan $2x^2+3x=4$. Karena $a$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2a^2+3a & = 4 \\ \text{Kalikan}~2~\text{di}~&\text{kedua ruas} \\ 4a^2 + 6a & = 8 \\ 4a^2 + 6a + 2 & = 10 \end{aligned}$
Karena $b$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned} 2b^2+3b & = 4 \\ 2b^2 + 3b + 5 & = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari 
$\boxed{(4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5)= (10)(9) = 90}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika salah satu akar persamaan $2x^2 – x – 4 = 0$ adalah $p$, maka nilai $4p^4 – 4p^3 + 3p^2 – p = \cdots$
A. $10$      B. $15$       C. $17$       D. $20$        E. $22$

Penyelesaian

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $2x^2 – x – 4 = 0$, maka berlaku persamaan $2p^2 – p – 4 = 0$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 2p^2 – p – 4 & = 0 \\ 2p^2 – p & = 4 \\ (2p^2 – p)^2 & = 4^2 \\ 4p^4 – 4p^3 + p^2 & = 16 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} 4p^4 – 4p^3 + 3p^2 – p  & = (4p^4 – 4p^3 + p^2) + (2p^2 – p) \\ & = 16 + 4 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{4p^4 – 4p^3 + 3p^2 – p = 20}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat sehingga $\sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$ merupakan solusi persamaan kuadrat $x^2 + ax +b = 0$, maka $a + b = \cdots$
A. $-2017$               D. $-2020$
B. $-2018$               E. $-2021$
C. $-2019$

Penyelesaian

Misalkan $x = \sqrt{2019 + 2\sqrt{2018}}$, sehingga dapat disederhanakan menggunakan sifat akar
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt a \pm \sqrt b}$
menjadi
$\begin{aligned} x& = \sqrt{(2018 + 1) + 2\sqrt{2018 \cdot 1}} \\ & = \sqrt{2018} + \sqrt 1 \\ & = \sqrt{2018} + 1 \end{aligned}$
Karena $x$ merupakan akar persamaan kuadrat itu, maka substitusi $x$ pada $x^2 + ax + b = 0$ menghasilkan
$\begin{aligned} (\sqrt{2018} + 1)^2 + a(\sqrt{2018} + 1) + b & = 0 \\ (2018 + 2\sqrt{2018} + 1) + a\sqrt{2018} + a + b & = 0 \\ 2019 + (2 + a)\sqrt{2018} + a + b & = 0 \end{aligned}$
Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2 + a$ harus bernilai 0 untuk diperoleh hasil bilangan bulat. Dengan demikian, nilai $a = -2$ dan akibatnya $b = -2019 + 2 = -2017$. Jadi, nilai dari $a + b$ adalah $\boxed{-2019}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $c, d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$ dan $a, b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$ untuk $a, b, c, d$ bilangan real bukan nol, maka nilai $a+b+c+d = \cdots$
A. $-3$          B. $-2$         C. $-1$          D. $1$           E. $2$

Penyelesaian

Karena $c$ dan $d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{blue}{cd = b}$
Karena $a$ dan $b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$\color{red}{a + b = -c}$ dan $\color{blue}{ab = d}$
Dari persamaan $\color{red}{c + d = -a}$ dan $\color{red}{a+b=-c}$, diperoleh $b=d$.
Dari persamaan $\color{blue}{ab = d}$, diperoleh
$ad = d \implies a = 1$
Dari persamaan $$\color{blue}{cd = b}$, diperoleh
$cd = d \implies c = 1$
Dari persamaan $\color{red}{c+d=-a}$, diperoleh
$1 + d = -1 \Leftrightarrow d = -2 = b$
Dengan demikian,
$\boxed{\begin{aligned} a + b + c + d & = 1 + (-2) + 1 + (-2) \\ & = -2 \end{aligned}}$
(Jawaban B)

[collapse]