Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

       Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang limit tak hingga. Soal-soal tersebut diambil dari berbagai sumber referensi, termasuk dari soal Ujian Nasional, soal SBMPTN, dan soal tingkat olimpiade. Pembaca diharapkan sudah menguasai teori limit fungsi aljabar dan trigonometri

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.

Teorema Limit Tak Hingga

Keterhubungan Tak Hingga dan Nol
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ untuk $n \geq 1$
Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi polinomial, maka

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \begin{cases} 0, &~\text{jika derajat}~f(x) < g(x) \\ \dfrac{\text{Koef. derajat}~f(x)}{\text{Koef. derajat}~g(x)}, &~\text{jika derajat}~f(x) = g(x) \\ \infty, &~\text{jika derajat}~f(x) > g(x) \end{cases} \end{aligned}$$
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} – \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}$$
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}) \\ & = \begin{cases} \infty,~\text{jika}~a > p \\ \dfrac{b-q} {2\sqrt{a}},~\text{jika}~ a = p \\ -\infty,~\text{jika}~a < p \end{cases} \end{aligned}$
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kubik dalam Tanda Akar 
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}) = \dfrac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$

Today Quote

Berdoalah sebelum belajar, sebab semua ilmu di dunia ini asalnya dari Tuhan. 

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2)$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4)$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9)$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2) = 4(\infty) + 2 = \infty + 2 = \infty$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4) = -\infty + 4 = -\infty$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9) & = -(3(\infty)^2 + 9) \\ & = -(\infty + 9) = -\infty \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 – 4x^2 + 9}$

Penyelesaian

Pendekatan formal:
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 – 4x^2 + 9} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^4}{2x^3}+\dfrac{3x^2}{x^4}-\dfrac{5x} {x^4}+\dfrac{4}{x^4}}{\dfrac{2x^4}{x^4} – \dfrac{4x^2}{x^4} + \dfrac{9} {x^4}} \\ & = \dfrac{0-0-0+0}{2-0+0} = 0 \end{aligned}$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ < derajat penyebut = $4$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{0}$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\infty$          B. $0$          C. $-\infty$           D. $2$          E. $\frac{1}{2}$

Penyelesaian

Pendekatan formal:
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^3$. 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{7}{x^3}} {\dfrac{x^2}{x^3}+\dfrac{3x} {x^3}+\dfrac{4}{x^3}} = \infty \end{aligned}$$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ > derajat penyebut = $2$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{\infty}$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} = \infty}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$        B. $-3$        C. $-2$         D. $0$        E. $\infty$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{(3-x)(x+5)} {x+5}+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x + 15 -\cancel{x^2}-5x)+(\cancel{x^2}-2x)}{x+5} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x + 15}{x + 5} = \dfrac{-4}{1} = -4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) = -4}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari limit berikut. 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4}$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu $x^3$. Pada pembilang, koefisien $x^3$ adalah $3$, sedangkan koefisien $x^3$ pada penyebut adalah $-5$. Jadi, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3} = -\dfrac{3}{5}$
Jawaban b) 
Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah $x^5$, sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah $x^4$. Karena $5 > 4$, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4} = \infty$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari limit berikut. 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3}$

Penyelesaian

Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi. 
Jawaban a) 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-8x^3 + \cdots} {2x^3 + \cdots} \\ & = \dfrac{-8}{2} = -4 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = -4}$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27x^3 + \cdots} {64x^3 + \cdots} = \dfrac{27}{64}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}$, maka $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} = \cdots \cdot$
A. $-2$       B. $0$         C. $1$      D. $2$       E. $\infty$

Penyelesaian

Diketahui bahwa
$\dfrac{f(x)} {x} = \dfrac{x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}} {x} = 1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\dfrac{x} {x}} {\sqrt{\dfrac{x^2-2x} {x^2}}}\right) \\ & = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 – 5\theta^4}$
(Catatan: Notasi $\pi$ dibaca: pi, sedangkan notasi $\theta$ dibaca: theta)

Penyelesaian

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 – 5\theta^4} & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\cancel{\theta^4}(\pi \theta)}{\cancel{\theta^4}(\theta – 5)} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta} {\theta – 5} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\dfrac{\pi(\theta – 5)} {\theta – 5} + \dfrac{5\pi} {\theta – 5}\right) \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\pi + \dfrac{5\pi} {\theta – 5}\right) \\ & = \pi – 0 = \pi \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 – 5\theta^4} = \pi}$
Catatan: Tinjau bentuk $\dfrac{5\pi} {\theta – 5}$. Apabila nilai $\theta$ semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati $0$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$       B. $\frac{1}{2}$       C. $1$       D. $\frac{3}{2}$      E. $\frac{5}{2}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ &  \times \dfrac{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^4+2x^3+4x^2)-(x^4+2x^3-x^2)} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2}{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & \text{Bagi setiap suku dengan}~x^2 \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2}{x^2}} {\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{4x^2}{x^4}}+\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^4}}} \\ & = \dfrac{5}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{5}{2}}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$         B. $\frac{1}{3}$          C. $1$           D. $2$          E. $3$

Penyelesaian

Gunakan rumus
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$
Untuk kasus ini, diketahui bahwa
$a = 9, b = 5, p = -7$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) \\ & = \dfrac{5-(-7)} {2\sqrt{9}} = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1-\sqrt{9x^2+4x-7})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$       B. $6$        C. $3$          D. $\frac{1}{3}$         E. $\frac{1}{9}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 
$3x+1 = \sqrt{(3x+1)^2} = \sqrt{9x^2+6x+1}$
diberlakukan karena $x$ menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif). 
Untuk itu, dengan menggunakan rumus 
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$
(Diketahui: $a = 9, b = 6, p = 4$)
diperoleh
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1)-\sqrt{9x^2+4x-7}) = \dfrac{6-4}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-x+2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$          B. $3,5$          C. $2,5$           D. $1,5$        E. $1$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk $-x+2$ dapat ditulis menjadi
$-(x-2) = -\sqrt{(x-2)^2} = -\sqrt{x^2-4x+4}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4})$
Gunakan rumus 
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$
untuk $a = 1, b = 3, p = -4$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4}) \\ & = \dfrac{3-(-4)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{3,5}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4}$

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^2$. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{8x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{0 + 0}} {1 + 0} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari:
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3})$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3})$

Penyelesaian

Ingat bahwa
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} – \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}}$$
Jawaban a) 
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 1$, sehingga $a = c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}) = 0$
Jawaban b) 
Diketahui: $a = 2$ dan $c = 1$, sehingga $a > c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3}) = \infty$
Jawaban c) 
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 2$, sehingga $a < c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3}) = -\infty$

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,5$     B. $1$     C. $-1$       D. $0$       E. tak ada

Penyelesaian

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}}) \times \dfrac{\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})} {\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & =\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}$$
Bagi setiap sukunya dengan $\sqrt{x}$. 
$\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x – \sqrt{x}}} {\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}} {\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{-2}{1+1} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}}) = -1}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} – (x\sqrt{2}+1))$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{2}-4$
B. $\frac{3}{4}\sqrt{2}-1$
C. $\frac{3}{4}-\sqrt{2}$
D. $3-2\sqrt{2}$
E. $\sqrt{2}-1$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} – (x\sqrt{2}+1)) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{2x^2+3x-2} – \sqrt{2x^2}) – 1) \\ & = \dfrac{3-0}{2\sqrt{2}} – 1 \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} – 1 \\ & = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} – (x\sqrt{2}+1)) = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1}$$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} -x)$

Penyelesaian

Kalikan dengan bentuk sekawannya, 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) \\ & = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x} {\sqrt{x^2+1} + x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x(x^2+1-x^2)} {\sqrt{x^2+1}+x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{aligned}$
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x}  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}+\dfrac{x} {x} } \\ & = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1+0} + 1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} – \sqrt{(x+3)(4x+7)})$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 10x })$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} – \sqrt{(x+3)(4x+7)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 27x + 35} – \sqrt{4x^2+19x+21}) \\ & = \dfrac{27-19}{2\sqrt{4}} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} – \sqrt{(x+3)(4x+7)}) = 2}$$
Jawaban b) 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 10x }) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2} – \sqrt{x^2-10x}) \\ & = \dfrac{0 – (-10)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 10x }) = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} – x]$

Penyelesaian

$\begin{aligned}  & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} – x] \\ & = \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} – \sqrt{x^2}] \\ & = \dfrac{(a+b)-0}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{a+b} {2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} – x] = \dfrac{a+b} {2}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{15}$                     D. $3$
B. $3(\sqrt{2}-1)$          E. $4,5$
C. $3(\sqrt{2}+1)$

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned}&  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}\\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}\sqrt{18x^2-x+1} – \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}} {x^2} – \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{\sqrt{x^2+2x}} {x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18-0+0} – 3}{\sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18}-3}{1} = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2} – 1) \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} = 3(\sqrt{2}-1)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} – \sqrt{x^2+1} -\sqrt{x^2+x})$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} – \sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x} – \sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2 + 2x} – \sqrt{x^2 + 1}) + (\sqrt{x^2+2x} – \sqrt{x^2 + x})) \\ & = \dfrac{2 – 0}{2\sqrt{1}} + \dfrac{2 – 1}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} \\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} \sqrt{3x^2-2x-1}} {\dfrac{1}{x}\left(x+2.000\right)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3 – \dfrac{2}{x} – \dfrac{1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3 – 0 – 0}} {1 + 0} = \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$ adalah $\boxed{\sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$

Penyelesaian

Alternatif I: Pendekatan Intuitif
$$\begin{aligned} \displaystyle & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) \\ = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[7] {\left (x+\dfrac17\right)^7+O(x^5)}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17 \right)^7+O(x^5)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{\left(x+\dfrac17\right)^7}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17\right)^7}\right) \\ = &\lim_{x\to\infty}\left(\left(x+\dfrac17\right) – \left(x-\dfrac17\right)\right) \\ = & \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac17 + \dfrac17\right) \\ = &\boxed {\dfrac27} \end{aligned}$$
Catatan: Notasi $O(x^5)$ menyatakan polinomial berderajat $5$ yang didapat dari penguraian bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$. Karena $x$ menuju tak hingga, bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$ akan lebih cepat bertambah besar, sehingga $O(x^5)$ dapat diabaikan.
Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan)
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})\\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{x^7\left(x + \dfrac1x\right)}-\sqrt[7]{x^7\left(x – \dfrac1x\right)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} x\left(\sqrt[7]{1 + \dfrac1x}-\sqrt[7]{1 – \dfrac1x}\right) \\ & \text{Misalkan}~x = \dfrac{1}{t} \\ = & \lim_{t \to 0} {{\sqrt[7]{1+t}-\sqrt[7]{1-t}}\over t} \\ \stackrel{\text{L’H}}{=} & \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{7}(1 + t)^{-\frac{6}{7}}(1) – \dfrac{1}{7}(1 – t)^{-\frac{6}{7}}(-1)\right) \\ = &  \dfrac{1}{7}(1 + 0)^{-\frac{6}{7}} + \dfrac{1}{7}(1 – 0)^{-\frac{6}{7}} \\ = & \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7}\\ = & \boxed{\dfrac27} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari
 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$ adalah $\boxed{\dfrac{2}{7}}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 -5}$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 – 5} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta – \sqrt{5}} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 – \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \\ & = (0 \times 1 \times 0 \times 1) = 0 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 – 5} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \tan \dfrac{1}{x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x}$ 
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} $

Penyelesaian

Jawaban a) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \tan y = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} x \tan \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban b) 
Ingat bahwa: $\boxed{\cot x = \dfrac{1}{\tan x}}$ 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} y \cot y = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\tan y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban c) 
Ingat bahwa: $\boxed{\csc x = \dfrac{1}{\sin x}}$
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{x}$
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\csc y} {\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\sin y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} = 1}$  

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1}$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}}$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} & = \lim_{y \to 0} \tan 5y \csc 2y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan 5y} {\sin 2y} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2}$
Jawaban b) 
Misalkan $y = x^{-1}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} & = \lim_{y \to 0} \cot 3y \sin y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {\tan 3y} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} = \dfrac{1}{3}}$
Jawaban c) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2}y} {\csc 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\tan \dfrac{1}{2}y} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} = 6}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}}$

Penyelesaian

Misalkan $x = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$, ekuivalen dengan $\sqrt{y} = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{6}} {x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x} {x} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 3x \\ & = 5 \cdot \sqrt{6} \cos 0 \\ & = 5\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} = 5\sqrt{6}}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}}$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 – \cos 4y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 – (1 – 2 \sin^2 2y)} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \sin 2y \sin 2y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 2y} {y} \cdot \dfrac{\sin 2y} {\tan 3y} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} = \dfrac{8}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 – \cos 6y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 – \cos 6y) \times \dfrac{1+\cos 6y} {1+\cos 6y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{1 – \cos^2 6y} {y^2(1 + \cos 6y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{1}{1+\cos 6y} \\ & = 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{1+ \cos 0} \\ & = 18 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) = 18}$

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) & = \lim_{y \to 0} (2 + \cos 4y) \\ & = 2 + \cos 0 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) & = \lim_{y \to 0} \left(\dfrac{3}{y} + \sin y \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{3}{y} + \lim_{y \to 0} \sin y \\ & = \infty + 0 = \infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) = \infty}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} – x\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} – x\right) & = \lim_{y \to 0} \left(\tan y – \dfrac{1}{y} \right) \\ & = \tan 0 – \infty = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} – x\right) = -\infty}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{4 \pi} {3}\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{4 \pi} {3}\right) & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y – \dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = \sin \left(0-\dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = -\sin 240^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{4 \pi} {3}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{6 \pi} {7}\right) – 5x\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$.
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{6 \pi} {7}\right) – 5x\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \left(\sin \left(y – \dfrac{6 \pi}{7}\right) – \dfrac{5}{y}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y – \dfrac{6 \pi}{7}\right) – \lim_{y \to 0} \dfrac{5}{y} \\ & = -\sin \dfrac{6 \pi}{7} – \infty = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{6 \pi} {7}\right) – 5x\right) = -\infty}$

[collapse]

Soal Nomor 35 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 165)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$      B. $1$      C. $2$       D. $3$      E. $4$

Penyelesaian

Misalkan $x= \dfrac{1}{y}$. 
Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \sin 3x \cdot \cos 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x} {x} \cdot \cos 5x \\ & = 3 \cdot \cos 0 = 3 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\boxed{3}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 36 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 166)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$       B. $\dfrac{2}{3}$      C. $1$       D. $\dfrac{3}{2}$       E. $3$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {(1 -\cos 2y) \cdot \left(\dfrac{1}{y}\right)^2 \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y \cdot y^2}{(1-(1-2 \sin^2 y)) \cdot \sin y} \\ & = \dfrac12 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\sin y} \cdot \dfrac{y}{\sin y} \cdot \dfrac{y}{\sin y} \\ & = \dfrac12 \times 3 \times 1 \times 1 = \dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} = \dfrac32}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 167)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \cdots \cdot$
A. $1$       B. $\dfrac{1}{2}$       C. $\dfrac{1}{3}$       D. $\dfrac{1}{4}$     E. $\dfrac{1}{5}$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y^2}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y^2} (1 – \cos y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y} {y^2} \times \dfrac{1+\cos y} {1 + \cos y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 y} {y^2(1 + \cos y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos y} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{1 + \cos 0} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban B) 
Catatan:
Identitas trigonometri yang digunakan adalah
$$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff 1 – \cos^2 x = \sin^2 x}$$

[collapse]

Soal Nomor 38 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 168) 
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = \cdots \cdot$
A. $0$      B. $1$       C. $2$       D. $3$      E. $4$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y} \cdot \tan y \cdot \sec 2y \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan y} {y} \cdot \sec 2y \\ & = 2 \cdot 1 \cdot \sec 0 \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 39 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 129) 
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) – x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = \cdots \cdot$
A. $2$       B. $1$        C. $0$         D. $-1$          E. $-2$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) – x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right)^2 \tan y – \dfrac{1}{y} \sin y + y} {\dfrac{1}{y} \cos 2y}\color{red} { \times \dfrac{y}{y}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right) \tan y – \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \cdot \dfrac{\tan y}{y}- \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1 – \sin 0 + 0^2}{\cos 0} \\ & = \dfrac{2 – 0}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) – x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 40
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) = \cdots \cdot$
A. $\frac{10}{3}$                D. $\frac{5}{3}\sqrt{2}$
B. $-\frac{10}{3}$             E. $-\frac{5}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{5}{3}$ 

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) \times \dfrac{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cdot \left(9+ \dfrac{10}{{x}} – 3^2\right)}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2 \cdot 10}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \dfrac{20}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) = \dfrac{10}{3}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 41
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}$
dapat dinyatakan sebagai
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(\dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}\right)^2}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{(x^2 – 4x + 4)(x + 2 + \sqrt{4x})}{(\sqrt{2}x^{\frac32} – 2x^{\frac12} + 2\sqrt{2})^2}}$
Tinjau hanya pada variabel berpangkat tertingginya.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x^3 + \cdots}{2x^3 + \cdots}}$
Bagi setiap suku dengan $x^3$,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3} + \cdots}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \cdots}}$
Gunakan sifat limit tak hingga untuk memperoleh
$\sqrt{\dfrac{1 + 0}{2 + 0}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 42
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x – 3}{3^{x+2} – 2^{x-1} + 4} = \cdots \cdot$
A. $1$          B. $\dfrac12$        C. $\dfrac13$        D. $\dfrac14$        E. $\dfrac16$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x -3}{3^{x+2} -2^{x-1} + 4} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x -3}{3^{x+2} -2^{x-1} + 4} \times \dfrac{\frac{1}{3^{x+2}}} {\frac{1}{3^{x+2}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac13 + \frac{2^x} {3^{x+2}} -\dfrac{3}{3^{x+2}}} {1 -\frac{2^{x-1}}{3^{x+2}} + \dfrac{4}{3^{x+2}}} \\ & = \dfrac{\frac13 + 0 -0}{1 -0 + 0} = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x -3}{3^{x+2} -2^{x-1} + 4} = \dfrac13}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 43
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. 1      B. 0      C. $-1$         D. $-2$         E. $\infty$

Penyelesaian

Dengan menggunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt b}$
dan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \sqrt{[(4x + 1)+(x – 6)] + 2\sqrt{(4x+1)(x-6)}} \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x+1} + \sqrt{x-6}) \\ & = \infty \end{aligned}$$
Penjelasan pada langkah terakhir: Karena $x$ nilainya menuju tak hingga, maka $\sqrt{4x+1}$ akan membesar nilainya, begitu juga dengan $\sqrt{x-6}$, sehingga bila dijumlahkan keduanya, hasilnya akan tak hingga
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 44
Hasil dari $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \cdots \cdot$$
A. $\infty$        B. $2$         C. $1$         D. $\dfrac12$        E. $\dfrac14$

Penyelesaian

Sederhanakan rumus fungsinya terlebih dahulu dengan memanfaatkan rumus pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dan konsep teleskopik.
$$\begin{aligned} & \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) \\ & = \left(1-\dfrac12\right)\left(1+\dfrac12\right) \left(1-\dfrac13\right)\left(1+\dfrac13\right) \\ & \left(1-\dfrac14\right)\left(1+\dfrac14\right) \cdots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\ & = \dfrac12 \cdot \cancel{\dfrac32 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac54 \cdots \dfrac{n-1}{n}} \cdot \dfrac{n+1}{n} \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n+1}{2n} \end{aligned}$$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n}} \\ & = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\\ & \left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \dfrac12 \end{aligned}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 45 (Soal SBMPTN Tahun 2017)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x} – \sqrt{4^x-2^x}\right) = \cdots \cdot$
A. $-2$        B. $-1$       C. $-\dfrac12$       D. $\dfrac12$        E. $\dfrac14$

Penyelesaian

Faktorkan $2^x$ keluar dari akar,
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x} – \sqrt{4^x-2^x}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x\left(1 + \left(\dfrac38\right)^x\right)} – \sqrt{4^x\left(1- \left(\dfrac12\right)^x\right)}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(2^x \sqrt[3]{1 + \left(\dfrac38\right)^x} – 2^x \sqrt{1 – \left(\dfrac12\right)^x}\right) \end{aligned}$$

Selanjutnya, dengan menggunakan Aproksimasi (Pendekatan) Binomial, diperoleh
$$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \left(2^x \left(1 + \dfrac13\left(\dfrac38\right)^x\right) -2^x \left(1-\dfrac12\left(\dfrac12\right)^x\right)\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\cancel{2^x} + \dfrac13\left(\dfrac68\right)^x -\cancel{2^x} + \dfrac12\right) \\ & = \dfrac13(0) + \dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x} – \sqrt{4^x-2^x}\right) = \dfrac12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 46
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3) \cos x}{x^3+1} = \cdots \cdot$
A. $-1$                    D. tidak ada
B. $0$                       E. $\infty$
C. $1$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$-\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\le \dfrac{(x^2-3)\cos x}{x^3+1}\le \dfrac{x^2-3}{x^3+1}$
karena $-1 \le \cos x \leq 1$.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(-\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\right) & =\lim _{x\to \infty}\left(-\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x^3}}\right) \\ & =-\dfrac{0}{1}=0 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\right) & =\lim _{x\to \infty}\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x^3}}\right) \\ & =\dfrac{0}{1}=0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan Teorema Apit, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3) \cos x}{x^3+1}=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 47
Hitunglah nilai dari limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}}$
b. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2}$
c. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{(-3)^n}{2^n+1}$
d. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n}$

Penyelesaian

Jawaban a)
Bagi setiap suku dengan $3^{2n}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5^n}{3^{2n}}-\dfrac{10^n}{3^{2n}}}{\dfrac{3^{2n}}{3^{2n}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\left(\dfrac59\right)^n-\left(\dfrac{10}{9}\right)^n}{1} \\ & = \dfrac{0-\infty}{1} = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}}= -\infty}$
Jawaban b)
Bagi setiap suku dengan $2^{2n}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{4}{2^{2n}}+\dfrac{2^{2n}}{2^{2n}}}{\dfrac{3^n}{2^{2n}}-\dfrac{2}{2^{2n}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\cancelto{0}{\dfrac{4}{4^n}} + \color{red}{1}}{\cancelto{0}{\left(\dfrac34\right)^n}-\cancelto{0}{\dfrac{2}{2^{2n}}}} \\ & = \infty \end{aligned}$
Catatan: Penyebut pada bentuk pecahan terakhir bernilai $0$, sehingga nilai limitnya tak hingga, tetapi kita tidak boleh serta merta menuliskan $\dfrac{0+1}{0-0} = \infty$, karena bila demikian, hasilnya justru “tak terdefinisi”, bukan “tak hingga”.

Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2} = \infty}$
Jawaban c)
Bagi setiap suku dengan $(-3)^n$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{(-3)^n}{2^n+1} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{(-3)^n}{(-3)^n}}{\dfrac{2^n}{(-3)^n}+\dfrac{1}{(-3)^n}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(-\dfrac23\right)^n + \dfrac{1}{(-3)^n}} \\ & = \pm \infty \end{aligned}$
Limit di atas tidak ada (does not exist), karena untuk $n = 2k$ (genap) dan $n = 2k+1$ (ganjil), nilai limitnya berbeda.
Jawaban d)
Bagi setiap suku dengan $7^{n+1}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{7^{n+1}}+\dfrac{5^{n+1}}{7^{n+1}}+\dfrac{7^{n+1}}{7^{n+1}}}{\dfrac{3^n}{7^{n+1}} + \dfrac{5^n}{7^{n+1}} + \dfrac{7^n}{7^{n+1}}} \\ & = \dfrac{0+0+1}{0+0+\dfrac17} = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n} = 7}$

[collapse]

Soal Nomor 48
Nilai dari $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}} = \cdots \cdot$$
A. $\dfrac14$          B. $\dfrac12$           C. $1$          D. $2$          E. $3$

Penyelesaian

Gunakan sifat limit tak hingga khusus.
$$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q})= \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}) = \dfrac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}} \end{aligned}}$$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}}\\ & = \dfrac{\dfrac{12-(-24)}{2\sqrt9}}{\dfrac{8-(-1)}{3\sqrt[3]{1^2}}} = \dfrac{\dfrac{36}{6}}{\dfrac{9}{3}} = \dfrac{6}{3} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}} = 2}$$
(Jawaban D)

[collapse]