Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 5)

Diketahui $$\begin{cases} x+y & = a &&(\cdots 1) \\ x-y & = b && (\cdots 2) \end{cases}$$Bila kedua persamaan dijumlahkan dan dikurangkan, berturut-turut kita peroleh
$$\begin{cases} 2x & = a + b \\ 2y & = a-b \end{cases}$$Kalikan sesuai ruasnya dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (2x)(2y) & = (a+b)(a-b) \\ 2xy & = \dfrac{(a+b)(a-b)}{2} \\ 2xy & = \dfrac{a^2-b^2}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{2xy = \dfrac{a^2-b^2}{2}}$
(Jawaban A)

MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf dan $A$ muncul sebanyak $3$ kali. Karena $2020 \div 10 = 202$, maka akan ada $202$ kata MATEMATIKA dalam susunan barisan tersebut. Ini artinya, banyak huruf $A$ ada $\boxed{3 \times 202 = 606}$
(Jawaban E)

Misalkan $a = 3x$, $b = 2x$, dan $c = x$ untuk suatu $x$ bilangan positif. Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} abc & = 4(a+b+c) \\ (3x)(2x)(x) & = 4(3x+2x+x) \\ (6x^2)\cancel{(x)} & = 4(6)\cancel{(x)} \\ 6x^2 & = 4(6) \\ x^2 & = 4 \\ x & = 2 \end{aligned}$$Catatan: $x \neq -2$ karena konstanta perbandingan tidak mungkin negatif.
Jadi, nilai $\boxed{2x = 2(2) = 4}$
(Jawaban C)

Pertama, kita cari dulu rata-rata dari $10, 30$, dan $50$. Mudah diamati bahwa rata-rata tiga bilangan tersebut adalah $30$.
Selanjutnya, misalkan $x$ adalah bilangan yang akan kita cari, sehingga $20, 40$, dan $x$ memiliki rata-rata $30-5 = 25$.
$$\begin{aligned} \dfrac{20+40+x}{3} & = 25 \\ 60+x & = 75 \\ x & = 15 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-rata dari $10, 30$, dan $50$ adalah lima lebihnya dari nilai rata-rata $20, 40$, dan $\boxed{15}$
(Jawaban A)

Karena $5$ bilangan bulat positif itu memiliki rata-rata $56$ dengan rentang $4$, maka dapat kita tuliskan
$$54, 56, 56, 56, 58$$Cek Kemungkinan Opsi A.
Bila mediannya $54$, maka kita dapat susun dengan format seperti berikut.
$$54, 54, 54, c, d$$Meskipun kita buat $c = d = 58$ (setinggi mungkin), rata-ratanya tidak sampai $56$. Jadi, median $54$ tidak mungkin terjadi.
Cek Kemungkinan Opsi B dan C.
Karena ada $5$ bilangan (ganjil) dan semua bilangannya bulat, maka median ditentukan oleh bilangan ketiga setelah diurutkan. Jadi, tidak mungkin mediannya bukan bilangan bulat.
Cek Kemungkinan Opsi D.
Bila mediannya $57$, maka kita dapat susun dengan format seperti berikut.
$$54, 54, 57, 57, 58$$Jadi, ada kemungkinan bahwa mediannya bernilai $57$.
Cek Kemungkinan Opsi E.
Bila mediannya $58$, maka kita dapat susun dengan format seperti berikut.
$$a, b, 58, 58, 58$$Hal ini membuat $a, b$ paling kecil bernilai $54$, sehingga rata-rata $56$ tidak dapat tercapai.
Jadi, median yang mungkin dari $5$ bilangan bulat positif tersebut adalah $\boxed{57}$
(Jawaban D)

Gunakan sifat-sifat eksponen.
$$\begin{aligned} (a^{-1} + b^{-1})^{-1} & = \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^{-1} \\ & = \left(\dfrac{a + b}{ab}\right)^{-1} \\ & = \dfrac{ab}{a+b} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{(a^{-1} + b^{-1})^{-1} = \dfrac{ab}{a+b}}$$(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} r^2-2rs + s^2 & = 4 \\ (r-s)^2 & = 4 \\ \text{Pangkatkan}&~3~\text{pada kedua ruas} \\ (r-s)^{2 \times 3} & = 4^3 \\ (r-s)^6 & = 64 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(r-s)^6 = 64}$
(Jawaban E)

Beberapa aturan berikut akan dipakai untuk menyelesaikan soal ini.

1. Jumlah besar ketiga sudut pada setiap segitiga adalah $180^\circ$.
2. Jumlah besar dua sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur lingkaran adalah $180^\circ$.
   

Pada segitiga $AEB$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \angle BEA + \angle EAB + \angle EBA & = 180^\circ \\ \angle BEA + 54^\circ + 35^\circ & = 180^\circ \\ \angle BEA + 89^\circ & = 180^\circ \\ \angle BEA & = 91^\circ \end{aligned}$$Sekarang, pada segi empat tali busur $AEDF$, berlaku
$$\begin{aligned} x + \angle BEA & = 180^\circ \\ x + 91^\circ & = 180^\circ \\ x & = 89^\circ \end{aligned}$$Selanjutnya, pada segitiga $AFC$, berlaku juga
$$\begin{aligned} \angle AFC + \angle FAC + \angle FCA & = 180^\circ \\ 89^\circ + 54^\circ + y & = 180^\circ \\ 143^\circ + y & = 180^\circ \\ y & = 37^\circ \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $\boxed{89^\circ, 37^\circ}$
(Jawaban E)

Berdasarkan sifat-sifat akar, didapat
$$\begin{aligned} \sqrt{75} + \sqrt{12} & = \sqrt{25 \times 3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 5\sqrt3 + 2\sqrt3 \\ & = 7\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, jumlah dari bentuk akar tersebut adalah $\boxed{7\sqrt3}$
(Jawaban D)

Didefinisikan $a \oplus b = a(b-a) + 1$. Ingat, operasi dalam kurung harus diselesaikan terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} 2 \oplus (1 \oplus (-2)) & = 2 \oplus (1(-2-1) + 1) \\ & = 2 \oplus (-2) \\ & = 2(-2-2) + 1 \\ & = 2(-4) + 1 = -7 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{2 \oplus (1 \oplus (-2)) = -7}$
(Jawaban B)

Dengan melakukan perhitungan, kita peroleh $7.327 = 41 \times 175 + 152$.
Agar $152$ menjadi $175$, maka perlu ditambah $23$.
Jadi, bilangan terkecil yang harus ditambah ke bilangan $7.327$ agar habis dibagi $175$ adalah $\boxed{23}$
(Jawaban B)

Mencari bilangan yang habis dibagi $r$ sama saja artinya mencari bilangan yang habis dibagi $6$, sekaligus $8$. Bisa diperiksa bahwa $\text{KPK}(6, 8) = 24$ adalah bilangan bulat positif paling kecil yang mungkin sebagai nilai $r$. Ini berarti bilangan kelipatan $24$ adalah jawabannya, yaitu $48$ dan $72$.
(Jawaban C)

Jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan kuadrat $x^2+bx+c = 0$ berturut-turut adalah
$$\begin{aligned} r + s & = -\dfrac{b}{1} = -b \\ rs & = \dfrac{c}{1} = c \end{aligned}$$Cek Pernyataan (1).
Bila $b < 0$, maka $r + s$ pasti bernilai positif, tetapi informasi ini tak cukup untuk menentukan apakah $rs < 0$.
Cek pernyataan (2).
Bila $c < 0$, maka $rs = c < 0$, sehingga pernyataan ini cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) saja tidak cukup.
(Jawaban B)

Cek Pernyataan (1).
Bila $AC = BA$, maka $x = y$. Dengan demikian, karena jumlah semua besar sudut pada segitiga adalah $180^\circ$, maka berlaku
$$\begin{aligned} x+y+z & = 180 \\ (y+y+z) & = 180 \\ 2y+z & = 180 \end{aligned}$$Karena nilai $z$ masih bergantung pada $y$, maka pertanyaan belum bisa terjawab jika menggunakan pernyataan (1).
Cek Pernyataan (2).
Diketahui $x = 78$, sehingga
$$\begin{aligned} 78+y+z & = 180 \\ y+z & = 102 \end{aligned}$$Karena nilai $z$ masih bergantung pada $y$, maka pertanyaan belum bisa terjawab jika menggunakan pernyataan (2).
Gunakan Kedua Pernyataan.
Kita akan peroleh SPLDV
$$\begin{cases} 2y+z & = 180 \\ y+z & = 102 \end{cases}$$Selesaikan dan akan diperoleh nilai $z = 24$.
Jadi, kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)

Cek Pernyataan (1).
Diketahui $3x+1$ bilangan prima.
Perhatikan bahwa $x = 2$ membuat $3x+1 = 3(2)+1 = 7$ prima, tetapi $x = 4$ membuat $3x+1 = 3(4) + 1 = 13$ prima, padahal $4$ bukan bilangan prima. Jadi, pernyataan (1) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Diketahui $5x+1$ bilangan prima.
Perhatikan bahwa $x = 2$ membuat $5x+1 = 5(2)+1 = 11$ prima, tetapi $x = 6$ membuat $5x+1 = 5(6) + 1 = 31$ prima, padahal $6$ bukan bilangan prima. Jadi, pernyataan (2) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Gunakan Kedua Pernyataan.
Diketahui $3x+1$ dan $5x+1$ prima. Periksa bahwa untuk $x = 2$ (prima), kedua ekspresi tersebut prima ($7$ dan $11$).
Namun untuk $x = 12$ (bukan prima), kedua ekspresi tersebut ternyata juga prima ($37$ dan $61$).
Dapat disimpulkan bahwa kedua pernyataan tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)

Cek Pernyataan (1).
Karena $U = T = B = K$, maka
$$P = \sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\cdots}}}}}}}}$$namun nilai eksaknya tidak dapat ditentukan karena $U$ tidak diketahui berapa nilainya. Jadi, pernyataan (1) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Karena $U = 2$, maka
$$P = \sqrt{2\sqrt{T\sqrt{B\sqrt{K\sqrt{2\sqrt{T\sqrt{B\sqrt{K\cdots}}}}}}}}$$namun nilai eksak $P$ juga tak dapat ditentukan selama $T, B, K$ belum diketahui nilainya.
Gunakan Kedua Pernyataan
Ini berarti $U = T = B = K = 2$, sehingga
$$P = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots}}}}}}}}$$Bentuk di atas sama dengan $2$ (Baca: Akar Tak Berhingga Ramanujan). Jadi, nilai $P$ dapat ditentukan.
Dapat disimpulkan bahwa kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $42 = 2 \times 3 \times 7$. Faktor prima dari $42$ adalah $2, 3$, dan $7$ dengan jumlahannya $2+3+7 = 12.$
Kuadrat dari $12$ adalah $12^2 = 144.$ Jadi, kita peroleh kuantitas $P = 144.$
Dari tabel, diketahui bahwa $Q = 166.$ Ini menunjukkan bahwa $\boxed{Q > P}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a^2-3a-4 & = 0 \\ (a-4)(a+1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = 4$ atau $a = -1$, tetapi karena $a$ dikatakan sebagai bilangan real terbesar yang menjadi akar penyelesaian persamaan itu, maka kita ambil $a = 4$.
Ini berakibat $P = 4 + 8 = 12$ dan $Q = 4(4) = 16$. Jadi, $Q > P$.
(Jawaban B)

Banyaknya diagonal pada bangun poligon (segi-$n$) adalah $k = \dfrac12(n)(n-3).$
Untuk poligon dengan $10$ titik sudut (atau disebut segi-$10$), banyak diagonalnya adalah $k = \dfrac12(10)(7) = 35$. Ini berarti, nilai kuantitas $A = 35$.
Dari tabel, diketahui bahwa $B = 40$ sehingga $B > A$.
(Jawaban B)

Pertama, akan dicari bentuk sederhana dari $A$.
Misalkan $$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \cdots}}} = X,$$maka dengan menguadratkan kedua ruas dan melakukan operasi aljabar, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \cdots}}} & = X^2 \\ 2+X & = X^2 \\ X^2-X-2 & = 0 \\ (X-2)(X+1) & = 0 \end{aligned}$$Didapat $X = 2$ atau $X = -1$. Karena nilai akar kuadrat tidak mungkin negatif, maka diambil $X = 2$. Jadi, nilai kuantitas $A = 2$.
Berikutnya, akan dicari bentuk sederhana dari $B$.
Misalkan $$2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \cdots}} = Y,$$maka dengan menggunakan permisalan tersebut dan melakukan operasi aljabar, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 + \dfrac{1}{Y} & = Y \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 2Y + 1 & = Y^2 \\ Y^2-2Y-1 & = 0 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus ABC, Didapat $Y = 1 \pm \sqrt2$. Karena bentuk pecahannya cenderung bernilai positif, maka $Y = 1 + \sqrt2 \approx 2,4$. Jadi, nilai kuantitas $B = 1 + \sqrt2$.
Dapat disimpulkan bahwa $B > A$.
(Jawaban B)