Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik

Perhatikan sketsa kedua titik tersebut pada bidang koordinat.Bila ditarik garis yang menghubungkan kedua titik itu, maka kita peroleh garis yang sejajar dengan sumbu $X$ atau tegak lurus dengan sumbu $Y$, dan berjarak $2$ satuan dari sumbu $X$.
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa kedua titik tersebut pada bidang koordinat.

Bila ditarik garis yang menghubungkan kedua titik itu, maka kita peroleh garis yang sejajar dengan sumbu $Y$ atau tegak lurus dengan sumbu $X$, dan berjarak $4$ satuan dari sumbu $Y$.
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa garis $y = 10$ pada bidang koordinat berikut.Tampak bahwa garis mendatar tersebut sejajar dengan sumbu $X$, namun tegak lurus dengan sumbu $Y$. Jaraknya terhadap sumbu $X$ adalah $10$ satuan.
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa garis $x = -5$ pada bidang koordinat berikut.Tampak bahwa garis tegak tersebut sejajar dengan sumbu $Y$, namun tegak lurus dengan sumbu $X$. Jaraknya terhadap sumbu $Y$ adalah $5$ satuan.
(Jawaban C)

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{3+5}{2}, \dfrac{4+2}{2}\right) \\ & = (4, 3) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah antara titik $(3, 4)$ dan titik $(5, 2)$ adalah $\boxed{(4, 3)}$
(Jawaban D)

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{1+3}{2}\right) \\ & = (1,2) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah dari titik $(-2, 1)$ ke titik $(4, 3)$ adalah $\boxed{(1,2)}$
(Jawaban E)

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{4+(-1)}{2}, \dfrac{-5+0}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac32, -\dfrac52\right) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah yang menghubungkan titik $(4, -5)$ dan titik $(-1, 0)$ adalah $\boxed{\left(\dfrac32, -\dfrac52\right)}$
(Jawaban C)

Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $(x, y)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{-a + a}{2}, \dfrac{b + (-b)}{2}\right) \\ & = (0, 0) \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah antara titik $(-a, b)$ dan $(a, -b)$ adalah $\boxed{(0,0)}$
(Jawaban B)

Misalkan $A(-3, -3)$ dan $B(-7, 3)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(-7-(-3))^2 + (3 -(-3))^2} \\ & = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} \\ & = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$Jadi, jarak kedua titik tersebut adalah $\boxed{2\sqrt{13}~\text{satuan}}$
(Jawaban C)

Misalkan $A(-3, 2)$ dan $B(1, -1)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(-3-1)^2 + (2-(-1))^2} \\ & = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$Jadi, panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut adalah $\boxed{5~\text{satuan}}$
(Jawaban D)

Misalkan $A(a, b)$ dan $B(b, a)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2} \\ & = \sqrt{(b-a)^2 + (a-b)^2} \end{aligned}$$Jadi, jarak titik $(a, b)$ dan $(b, a)$ adalah $\boxed{\sqrt{(b-a)^2 + (a-b)^2}~\text{satuan}}$
(Jawaban A)

Misalkan $A(a+2, 3a-1)$ dan $B(3a+4, a-5)$.
Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{((a+2)-(3a+4))^2 + ((3a-1)-(a-5))^2} \\ & = \sqrt{(-2a-2)^2 + (2a + 4)^2} \\ & = \sqrt{(4a^2 + 8a + 4) + (4a^2 + 16a + 16)} \\ & = \sqrt{8a^2 + 24a + 20} \\ & = \sqrt{4(2a^2 + 6a + 5)} \\ & = 2\sqrt{2a^2+6a+5} \end{aligned}$$Jadi, panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu adalah $\boxed{2\sqrt{2a^2+6a+5}~\text{satuan}}$
(Jawaban B)

Misalkan koordinat titik $B$ adalah $(x, y)$, sehingga
$$(5, 7) = \left(\dfrac{3 + x}{2}, \dfrac{4 + y}{2}\right)$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{3+x}{2} & = 5 \Leftrightarrow 3+x = 10 \Leftrightarrow x = 7 \\ \dfrac{4+y}{2} & = 7 \Leftrightarrow 4+y = 14 \Leftrightarrow y = 10 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik $B$ adalah $\boxed{(7, 10)}$
(Jawaban C)

Karena garis yang menghubungkan kedua titik itu adalah diameter lingkaran, maka titik tengahnya adalah titik pusat lingkaran. Kita peroleh
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{-2 + 6}{2}, \dfrac{1+5}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac42, \dfrac62\right) \\ & = (2, 3) \end{aligned}$$(Jawaban D)

Posisikan keempat titik tersebut pada bidang koordinat, kemudian tarik garis sehingga terbentuk segi empat berupa jajar genjang seperti yang tampak pada gambar berikut.Untuk mencari koordinat titik potong antara diagonalnya, maka kita hanya perlu mencari titik tengah dari ruas garis yang menjadi diagonal jajar genjang tersebut. Misalnya, kita mencari koordinat titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan $(1, -2)$ dan $(9, 3)$, yaitu titik $T(x, y)$.
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{1 + 9}{2}, \dfrac{-2 + 3}{2}\right) \\ & = \left(5, \dfrac12\right) \end{aligned}$$Jadi,  koordinat titik potong antara diagonalnya adalah adalah $\boxed{\left(5, \dfrac12\right)}$
(Jawaban D)

Misalkan $(x, y)$ adalah koordinat titik tengah dari dua titik pada setiap bagian soal.
Jawaban a)
Titik tengah dari $(0, 3)$ dan $(4, -3)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{0+4}{2}, \dfrac{3+(-3)}{2}\right) \\ & = (2, 0) \end{aligned}$$Jawaban b)
Titik tengah dari $(-3, -1)$ dan $(-2, 5)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{(-3) + (-2)}{2}, \dfrac{(-1)+5}{2}\right) \\ & = \left(-\dfrac52, 2\right) \end{aligned}$$Jawaban c)
Titik tengah dari $\left(1\dfrac12, 2\right)$ dan $(3, 6)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{1\frac12 + 3}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac94, 4\right) \end{aligned}$$Jawaban d)
Titik tengah dari $(3, -9)$ dan $(5, -3)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{3+5}{2}, \dfrac{(-9)+(-3)}{2}\right) \\ & = (4, -6) \end{aligned}$$Jawaban e)
Titik tengah dari $(a, b)$ dan $(c, d)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right) \end{aligned}$$Jawaban f)
Titik tengah dari $(2a, b)$ dan $(4a^2, 4b)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{2a + 4a^2}{2}, \dfrac{b+4b}{2}\right) \\ & = \left(a + 2a^2, \dfrac52b\right) \end{aligned}$$Jawaban g)
Titik tengah dari $(a+1, 2a+3)$ dan $(a-1,2a-1)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{(a+1)+(a-1)}{2}, \dfrac{(2a+3)+(2a-1)}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac{2a}{2}, \dfrac{4a+2}{2}\right) \\ & = (a, 2a+1) \end{aligned}$$Jawaban h)
Titik tengah dari $(2n^2, n)$ dan $(4n, 3n)$ adalah
$$\begin{aligned} (x, y) & = \left(\dfrac{2n^2+4n}{2}, \dfrac{n+3n}{2}\right) \\ & = (n^2+2n, 2n) \end{aligned}$$

Misalkan jarak kedua titik pada setiap bagian soal dinotasikan dengan $|x|$.
Jawaban a)
Jarak titik $(1, 2)$ dan $(6, 5)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(1-6)^2 + (2-5)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \end{aligned}$$Jawaban b)
Jarak titik $(2, 6)$ dan $(14, 3)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(2-14)^2 + (6-3)^2} \\ & = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \end{aligned}$$Jawaban c)
Jarak titik $(-5, 1)$ dan $\left(-3\dfrac12, 3\right)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{\left(-5-\left(-3\dfrac12\right)\right)^2 + (1-3)^2} \\ & = \sqrt{\left(-\dfrac32\right)^2 + (-2)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac94 + 4} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52 \end{aligned}$$Jawaban d)
Jarak titik $(2, -1)$ dan $(8, 7)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(2-8)^2 + (-1-7)^2} \\ & = \sqrt{36 + 64} \\ & = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}$$Jawaban e)
Jarak titik $(a, b)$ dan $(2a, 2b)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(a-2a)^2 + (b-2b)^2} \\ & = \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$Jawaban f)
Jarak titik $(a, b)$ dan $(2a, -b)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(a-2a)^2 + (b-(-b))^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 4b^2} \end{aligned}$$Jawaban g)
Jarak titik $(a+3, b-5)$ dan $(a+3, b+7)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{(a+3)-(a+3))^2 + ((b-5)-(b+7))^2} \\ & = \sqrt{0 + 144} = 12 \end{aligned}$$Jawaban h)
Jarak titik $(n+2m, 2n+13m)$ dan $(5n-2m, -2n-7m)$ adalah
$$\begin{aligned} |x| & = \sqrt{((n+2m)-(5n-2m))^2 + ((2n+13m)-(-2n-7m))^2} \\ & = \sqrt{(-4n+4m)^2 + (4n + 20m)^2} \\ & = \sqrt{16(-n + m)^2 + 16(n + 5m)^2} \\ & = 4\sqrt{(-n+m)^2 + (n+5m)^2} \\ & = 4\sqrt{(n^2-2nm+m^2) + (n^2+10nm + 25m^2)} \\ & = 4\sqrt{2n^2 + 8mn + 26m^2} \end{aligned}$$

Cara 1: Menggunakan Konsep Jarak
Akan dicari panjang $4$ sisi yang terbentuk dari keempat titik tersebut.
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \\ |DC| & = \sqrt{(3-(-1))^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \\ |CB| & = \sqrt{(5-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \\ |DA| & = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \end{aligned}$$Karena $|AB| = |DC$ dan $|CB| = |DA|$, maka $ABCD$ membentuk jajar genjang.
Cara 2: Menggunakan Konsep Titik Tengah
Kita mencari titik tengah dari diagonal $AC$ dan $BD$. Bila koordinatnya sama, maka $ABCD$ jajar genjang.
$$\begin{aligned} \text{TT.} AC & = \left(\dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{1+0}{2}\right) = \left(2, \dfrac12\right) \\ \text{TT.} BD & = \left(\dfrac{5 + (-1)}{2}, \dfrac{3 + (-2)}{2}\right) = \left(2, \dfrac12\right) \end{aligned}$$Jadi, $ABCD$ terbukti jajar genjang.

Diketahui:
$$\begin{array}{cc} \hline T(3, 2) & U(2,5) \\ V(8,7) & W(6,1) \\ \hline \end{array}$$Langkah pertama adalah mencari koordinat titik $O$ sebagai titik tengah $UV$ dan $S$ sebagai titik tengah $VW$.
$$\begin{aligned} \text{Koord.}~O & = \left(\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{5+7}{2}\right) = (5, 6) \\ \text{Koord.}~S & = \left(\dfrac{8+6}{2}, \dfrac{7+1}{2}\right) = (7, 4) \end{aligned}$$Apabila titik $T(3, 2)$, $O(5,6)$, dan $S(7, 4)$ dihubungkan menggunakan garis lurus, maka akan terbentuk segitiga.
Langkah selanjutnya adalah menunjukkan bahwa $\triangle TOS$ sama kaki, artinya menunjukkan bahwa terdapat $2$ sisi yang sama panjang.
Akan dicari panjang $TO$, $TS$, dan $OS$.
$$\begin{aligned} |TO| & = \sqrt{(3-5)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt5 \\ |TS| & = \sqrt{(3-7)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt5 \\ |OS| & = \sqrt{(5-7)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Karena ada $2$ sisi yang sama panjang, yaitu $|TO| = |TS| = 2\sqrt5$, maka terbukti bahwa $\triangle TOS$ sama kaki.

Garis berat adalah garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga ke titik tengah sisi segitiga di depannya sehingga membelah dua sama panjang.
Oleh karena itu, kita perlu mencari koordinat titik tengah dari setiap sisi segitiga, kemudian mencari panjang $3$ garis berat yang dapat dibentuk.
Diketahui $B(4,8)$, $A(8,4)$, dan $N(2,0)$. Misalkan $X, Y, Z$ berturut-turut sebagai titik tengah sisi $AB$, $AN$, dan $BN$, seperti tampak pada sketsa grafik koordinat berikut.
$$\begin{aligned} \text{Koord.}~X & = \left(\dfrac{8+4}{2}, \dfrac{4+8}{2}\right) = (6, 6) \\ \text{Koord.}~Y & = \left(\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{4+0}{2}\right) = (5, 2) \\ \text{Koord.}~Z & = \left(\dfrac{4+2}{2}, \dfrac{8+0}{2}\right) = (3, 4) \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dicari panjang garis berat $XN$, $YB$, dan $ZA$.
$$\begin{aligned} |XN| & = \sqrt{(6-2)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13} \\ |YB| & = \sqrt{(5-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37} \\ |ZA| & = \sqrt{(3-8)^2+(4-4)^2} = \sqrt{25 + 0} = 5 \end{aligned}$$Jadi, panjang garis berat $\triangle BAN$ adalah $$\boxed{2\sqrt{13}, \sqrt{37},~\text{dan}~5}$$

Diketahui koordinat $A(1,2)$, $B(2,-5)$, dan $C(7,0)$.
Jawaban a)
Belah ketupat memiliki $2$ diagonal yang berpotongan tegak lurus di tengah-tengahnya. Ini berarti, titik tengah dari diagonal $AC$ sama dengan titik tengah dari diagonal $BD$. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} \text{TT.}~AC & = \text{TT.}~BD \\ \left(\dfrac{1+7}{2}, \dfrac{2+0}{2}\right) & = \left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{-5+y}{2}\right) \\ (4, 1) & = \left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{-5+y}{2}\right) \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2+x}{2} = 4 & \Rightarrow x = 6 \\ \dfrac{-5+y}{2} = 1 & \Rightarrow y = 7 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 6, y = 7}$
Jawaban b)
Untuk mencari luas belah ketupat $ABCD$, terlebih dahulu harus dicari panjang kedua diagonalnya.
$$\begin{aligned} |AC| & = \sqrt{(7-1)^2 + (0-2)^2} \\ & = \sqrt{36 + 4} \\ & = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \\ |BD| & = \sqrt{(6-2)^2 + (7-(-5))^2} \\ & = \sqrt{16 + 144} \\ & = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas belah ketupat $ABCD$ dinyatakan oleh $$\boxed{L_{ABCD}= \dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{2\sqrt{10} \times 4\sqrt{10}}{2} = 40}$$

Karena luas segitiga $AON$ sebesar $10$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} L_{\triangle AON} & = \dfrac{OA \times y}{2} \\ 10 & = \dfrac{5 \times y}{2} \\ 20 & = 5y \\ y & = 4 \end{aligned}$$Perhatikan sketsa grafik koordinat berikut.Berikutnya, karena $|AN| = |BN|$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \sqrt{(5-x)^2 + (0-y)^2} & = \sqrt{(7-x)^2 + (6-y)^2} \\ \text{Substitusi}~&y = 4 \\ \sqrt{(25-10x+x^2) + (0-4)^2} & = \sqrt{(49-14x+x^2) + (6-4)^2} \\ \sqrt{x^2-10x+41} & = \sqrt{x^2-14x+53} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ x^2-10x+41 & = x^2-14x+53 \\ 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 3}$ dan $\boxed{y=4}$

Diketahui $S(3,-2)$, $I(0,-3)$, $A(-2,3)$, dan $P(4, 1)$. Posisikan keempat titik ini pada bidang koordinat seperti gambar.Jawaban a)
Akan dicari panjang ruas garis $SI$, $IA$, $AP$, dan $PS$.
$$\begin{aligned} |SI| & = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-(-3))^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \\ |IA| & = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{4 +36} = 2\sqrt{10} \\ |AP| & = \sqrt{(-2-4)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10} \\ |PS| & = \sqrt{(4-3)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \end{aligned}$$Jawaban b)
Kita peroleh bahwa ada dua pasang sisi yang sama panjang, yaitu $|SI| = |PS|$ dan $|IA| = |AP|$. Sekarang, periksa apakah kedua diagonal $SA$ dan $IP$ berpotongan tegak lurus dengan menggunakan konsep gradien.
$$\begin{aligned} m_{SA} & = \dfrac{3-(-2)}{-2-3} = \dfrac{5}{-5} = -1 \\ m_{IP} & = \dfrac{1-(-3)}{4-0} = \dfrac44=1 \end{aligned}$$Karena berlaku hubungan $m_{SA} \times m_{IP} = -1$, maka kedua diagonal berpotongan tegak lurus. Ini berarti, segi empat tersebut adalah layang-layang.