Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Struktur Aljabar

Diketahui bahwa $a \star b = b \star a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$. Karena $G$ grup, maka setiap anggota $G$ memiliki invers di $G$. Dalam kasus ini, $a$ memiliki invers, yaitu $a^{-1} \in G$.
Jadi, berlaku
$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}.$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$\begin{aligned} a \star \cancel{a^{-1}} & = a^{-1} \star \cancel{a^{-1}} \\ a & = a^{-1}. \end{aligned}$
Diperoleh bahwa invers anggota $G$ adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
$\begin{aligned} a \star a^{-1} & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e. \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas $G$ adalah $\boxed{a^2}$
(Jawaban D)

$(1~2~3~4)$ artinya permutasi yang mengambil $\{1,2,3,4\}$ sebagai suatu sikel (siklus), yaitu $\begin{cases} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 4 \\ 4 \mapsto 1 \end{cases}$.
Bagan di atas menunjukkan adanya $4$ siklus, yang berarti membutuhkan pengoperasian sebanyak $4$ kali dari permutasi semula. Jadi, order dari $S_4$ adalah $\boxed{4}$
Tips: Order dari $(1~2~3~\cdots~n) \in S_n$ adalah $n$.
(Jawaban D) 

Elemen $a \in A$ disebut unsur idempoten di $A$ jika berlaku $a^2 = a$. Jelas bahwa $e$ adalah elemen idempoten dalam $A$, karena berlaku $e^2 = e$.
Perhatikan bahwa $x^{2a} = x^a$ hanya ketika $x^a = e$. Dengan kata lain, tidak ada perpangkatan $x$ lain yang merupakan idempoten. Selain itu, $y^{-1} = y$ sehingga dalam grup ini, berlaku $xy = yx$ (abelian). Selanjutnya,
$\begin{aligned} (x^ay)(x^ay) & = x^{2a}y^2 \\ & = x^{2a}e \\ & = x^{2a} \neq x^ay. \end{aligned}$
Jadi, tidak ada elemen $A$ dalam bentuk $x^ay$ yang merupakan idempoten di grup tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa banyak unsur idempoten di $A$ hanya ada $1$, yaitu $\boxed{e}$

$\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan $2\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa
$\mathbb{Z} = \{\cdots,-2,-1, 0, 1, 2, \cdots\}$
$2\mathbb{Z} = \{\cdots,-4,-2, 0, 2, 4, \cdots\}$
sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
$\cdots \cdot$
$2\mathbb{Z} + 0 = 2\mathbb{Z}$
$2\mathbb{Z} + 1 = \{\cdots,-3,-1, 1, 3, 5, \cdots\}$
$2\mathbb{Z} + 2 = 2\mathbb{Z}$
$2\mathbb{Z} + 3 = \{\cdots,-1, 1, 3, 5, 7, \cdots\}$
$\cdots \cdot$
Kita temukan bahwa hanya ada $2$ koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban B)

Dengan bantuan Tabel Cayley, kita dapat menunjukkan bahwa semua himpunan dengan dua operasi yang dimaksud merupakan subring dari $\mathbb{Z}_{12}$.
Untuk pilihan A, unity-nya adalah $0$, sebab
$0 \times_{12} 0 = 0.$
Untuk pilihan B, unity-nya adalah $4$, sebab
$0 \times _{12} 4 = 4 \times _{12} 0 = 0$
$4 \times _{12} 4 = 16~\text{mod}~12 = 4$
$8 \times _{12} 4 = 32~\text{mod}~12 = 8.$
Untuk pilihan C, unity-nya adalah $9$, sebab
$0 \times_{12} 9 = 0$
$3 \times_{12} 9 = 27~\text{mod}~12= 3$
$6 \times_{12} 9 = 54~\text{mod}~12= 6$
$9 \times_{12} 9 = 81~\text{mod}~12= 9.$
Untuk pilihan D, unity-nya adalah $1$, sebab
$0 \times_{12} 1 = 0$
$1 \times_{12} 1 = 1$
$\vdots~~\vdots~~\vdots~~\vdots$
$11 \times_{12} 1 = 11.$
Catatan: Karena pada operasi perkalian modulo $7$ berlaku sifat komutatif, maka pada pembahasannya tidak ditulis bentuk komutatifnya lagi.
Jadi, semua alternatif pilihan jawaban A sampai D merupakan contoh subring dari $\mathbb{Z}_{12}$ yang masing-masing memiliki unity. Dengan demikian, pilih jawaban E.

Jelas alternatif pilihan D dan E bukan jawabannya karena elemen pembagi nol sejati tidak memuat 0 (sesuai definisinya).
2 adalah pembagi nol sejati, karena ada $4 \in \mathbb{Z}_8$, sedemikian sehingga berlaku
$2 \times_8 4 = 4 \times_8 2 = 0.$
4 adalah pembagi nol sejati, karena ada $2 \in \mathbb{Z}_8$, sedemikian sehingga berlaku
$4 \times_8 2 = 2 \times_8 4 = 0.$
6 adalah pembagi nol sejati, karena ada $4 \in \mathbb{Z}_8$, sedemikian sehingga berlaku
$6 \times_8 4 = 4 \times_8 6 = 24 \mod 8 = 0.$
Jadi, semua elemen pembagi nol sejati dari $\mathbb{Z}_8$ adalah $\{2, 4, 6\}$.
(Jawaban C)

Diketahui $G = \{0, 1, 2, 3, \cdots, 120\}$
Umumnya, kita memeriksa pembagi nolnya dengan menggunakan Tabel Cayley, tetapi untuk kasus ini, kita tidak mungkin menggunakan tabel karena akan sangat panjang dan kompleks jika kita harus membuat tabel dengan ukuran $121 \times 121$.
Kita harus mencari nilai $a, b \in \mathbb{Z}_{121}- \{0\}$ sedemikian sehingga berlaku $(a \times b) \mod 121 = 0$. Tentulah dari sini kita tahu bahwa $a \times b$ haruslah merupakan kelipatan $121$. Hal tersebut dikarenakan
$1 \times 121 = 11 \times 11$
$2 \times 121 = 22 \times 11$
$3 \times 121 = 33 \times 11$
$\vdots~~\vdots~~\vdots~~\vdots$
$10 \times 121 = 110 \times 11.$
dan kombinasi lain yang hasilnya merupakan kelipatan $121$ juga melibatkan bilangan berkelipatan $11$ seperti di atas. Dengan demikian, pembagi nol dari $G$ adalah $\{11, 22, 33, 44, 55, 66,$ $77, 88, 99, 110\}.$
Jadi, banyak pembagi nol dari $G$ adalah $\boxed{10}$
(Jawaban C)

Akan ditunjukkan apakah berlaku $(a * b)*c = a*(b*c)$ untuk $\forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
$\begin{aligned} (a*b)*c & = (a+b+2)*c \\ & = (a+b+2) + c + 2 \\ & = a + (b + c + 2) + 2 \\ & = a * (b + c + 2) \\ &  = a * (b * c) \end{aligned}$
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi $*$.
Akan ditunjukkan apakah berlaku $(a  \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ untuk $\forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
$$\begin{aligned} (a \circ b) \circ c & = (a+ab+b) \circ c \\ & = (a+ab+b) + (a+ab+b)c + c \\ & = a + a(b + bc + c) + (b + bc + c) \\ & = a \circ (b + bc + c) \\ & = a \circ (b \circ c) \end{aligned}$$Jadi, sifat asosiatif terpenuhi oleh operasi $\circ$.
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap $*$.
Misalkan $a, b \in \mathbb{Z}$.
$\begin{aligned} a * b & = a \\ a + b + 2 & = a \\ b & =-2 \end{aligned}$
Karena $b =-2 \in \mathbb{Z}$, maka $b$ adalah identitas terhadap operasi $*$.
Akan ditunjukkan apakah ada elemen identitas terhadap $\circ$.
Misalkan $a, b \in \mathbb{Z}$.
$\begin{aligned} a \circ b & = a \\ a + ab + b & = a \\ ab + b & = 0 \\ (a + 1)b & = 0 \\ b  &= 0 \end{aligned}$
Karena $b = 0 \in \mathbb{Z}$, maka $b$ adalah identitas dari operasi $\circ$.
Dari keempat pilihan, tidak ada satu pun yang benar. Jadi, alternatif jawabannya adalah E.

Dari persamaan $a^2 \bullet b = b$, diperoleh $a^2 = e$ dengan $e$ merupakan elemen identitas pada $G$. Ini mengimplikasikan bahwa setiap elemen $G,$ kecuali $e$ memiliki orde dua sehingga $a = a^{-1}$.
Khususnya untuk $a \bullet b \in G$, diperoleh
$(a \bullet b) (a \bullet b) = e.$
Operasikan $\bullet$ pada kedua ruas dengan $a^{-1}$ dari sebelah kiri sehingga diperoleh
$\begin{aligned} a^{-1} \bullet a \bullet b \bullet a \bullet b & = a^{-1} \bullet e \\ b \bullet a \bullet b & = a^{-1} \\ b^{-1} \bullet b \bullet a \bullet b & = b^{-1} \bullet a^{-1} \\ a \bullet b & = b^{-1} \bullet a^{-1} = b \bullet a \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $a \bullet b = b \bullet a, \forall a, b \in G$.
Dengan demikian, $G$ merupakan grup komutatif (abelian).