Aturan kosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, aturan kosinus melibatkan fungsi kosinus.
Aturan Kosinus
Aturan kosinus (law of cosines atau cosine formula/rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai kosinusnya.
Pada segitiga $ABC$ di atas, berlaku
$$\begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2- 2bc \cos \alpha \\ b^2 & = a^2 + c^2- 2ac \cos \beta \\ c^2 & = a^2 + b^2- 2ab \cos \gamma \end{aligned}$$
Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
Catatan: Anda diharapkan sudah mempelajari materi tentang aturan sinus terlebih dahulu karena beberapa soal melibatkan penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus sekaligus.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk file PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal juga tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Dasar
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Bagian Pilihan Ganda
Panjang sisi-sisi pada $\triangle ABC$ berbanding $6 : 5 : 4$. Kosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$ C. $\dfrac34$ E. $\dfrac56$
B. $\dfrac23$ D. $\dfrac45$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $AC = 6, AB = 5$, dan $BC = 4.$
Dengan menggunakan aturan kosinus, nilai masing-masing kosinus sudut dapat ditentukan karena panjang ketiga sisi segitiganya telah diketahui.
Kosinus sudut $A$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \\ & = \dfrac{6^2+5^2-4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} \\ & = \dfrac{36+25-16}{60} \\ & = \dfrac{45}{60} = \dfrac34. \end{aligned}$
Kosinus sudut $B$ adalah
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \\ & = \dfrac{5^2+4^2-6^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} \\ & = \dfrac{25+16-36}{40} \\ & = \dfrac{5}{40} = \dfrac18. \end{aligned}$
Kosinus sudut $C$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \\ & = \dfrac{6^2+4^2-5^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ & = \dfrac{36+16-25}{48} \\ & = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}. \end{aligned}$
Karena $\dfrac18 < \dfrac{9}{16} < \dfrac34,$ kosinus sudut terbesar adalah pada sudut $A$, yaitu $\cos A = \dfrac34.$
Tips: Semakin kecil panjang sisi depan sudut pada segitiga, nilai kosinus sudutnya akan semakin besar.
(Jawaban C)
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8~\text{cm}$ dibuat segi-$12$ beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots~\text{cm}.$
A. $8\sqrt{2-\sqrt3}$
B. $8\sqrt{2-\sqrt2}$
C. $8\sqrt{3-\sqrt2}$
D. $8\sqrt{3-\sqrt3}$
E. $8\sqrt{3 + \sqrt2}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $OAB$, diketahui bahwa $r = OB = OA = 8~\text{cm}$ serta $\angle AOB = 360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}.$ Panjang sisi $AB$ dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AB^2 & = OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 30^{\circ} \\ AB^2 & = 8^2+8^2-2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ AB^2 & = 128- 64\sqrt3 \\ AB^2 & = 64(2-\sqrt3) \\ AB & = 8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}\end{aligned}$$Jadi, panjang sisi segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}}.$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi Trigonometri
Nilai $\cos \theta$ pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ C. $-\dfrac23$ E. $\dfrac23$
B. $-\dfrac57$ D. $1$
Tarik garis dari titik $A$ ke titik $C$, sebut saja garis $AC$.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = \theta$ sehingga besar sudut di hadapannya adalah $\angle ADC = 180^{\circ}- \theta.$
Catatan: Jumlah sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur lingkaran adalah $\color{red}{180^{\circ}}.$
Dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle ABC$ dan $\triangle ADC$, diperoleh persamaan panjang $AC$, yakni
$$\boxed{AB^2+BC^2-2(AB)(BC) \cos \theta= AD^2+CD^2-2(AD)(CD) \cos (180^{\circ}-\theta)}$$Diketahui bahwa $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 3$, dan $AD = 4$, serta $\cos (180^{\circ}-\theta) =-\cos \theta$ sehingga
$$\begin{aligned} (1)^2+(2)^2 -2(1)(2) \cos \theta & = (4)^2+(3)^2-2(3)(4)(-\cos \theta) \\ 5-4 \cos \theta & = 25+24 \cos \theta \\ 28 \cos \theta & =-20 \\ \cos \theta & =-\dfrac{20}{28} =-\dfrac57. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta =-\dfrac57}.$
(Jawaban B)
Perhatikan gambar segi empat $PQRS$ berikut.
Panjang $RS = \cdots~\text{cm}.$
A. $6\sqrt2$ D. $9\sqrt2$
B. $6\sqrt3$ E. $9\sqrt3$
C. $12$
Diketahui informasi berikut.
- $PS = 9$ cm.
- $PQ = 9\sqrt3$ cm.
- $\angle SPQ = \angle QSR = 30^\circ.$
- $\angle QRS = 60^\circ.$
Pada segitiga $PQS$, panjang $QS$ dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus, yakni
$$\begin{aligned} QS^2 & = PS^2+PQ^2-2 \cdot PS \cdot PQ \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = 9^2+(9\sqrt3)^2-2 \cdot 9 \cdot 9\sqrt3 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = 81 + 243- 243 \\ QS & = \sqrt{81} = 9~\text{cm}. \end{aligned}$$Selanjutnya, gunakan aturan sinus pada segitiga $QRS$ untuk mencari panjang $RS.$
$$\begin{aligned} \dfrac{QS}{\sin 60^{\circ}} & = \dfrac{RS}{\sin 90^{\circ}} \\ \dfrac{9}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{RS}{1} \\ RS & = \dfrac{18}{\sqrt3} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang $\boxed{RS = 6\sqrt3~\text{cm}}.$
(Jawaban B)
Pada segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $AB = 15$ cm, $BC = 14$ cm, dan $AC = 13$ cm. Nilai $\tan C = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{5}{13}$ C. $\dfrac{12}{13}$ E. $\dfrac{13}{12}$
B. $\dfrac{5}{12}$ D. $\dfrac{12}{5}$
Perhatikan sketsa segitiga $ABC$ berikut.
Karena ketiga panjang sisi segitiga diketahui, kita dapat mencari nilai $\cos C$ terlebih dahulu dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} \cos C & = \dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} \\ & = \dfrac{14^2+13^2-15^2}{2 \cdot 14 \cdot 13} \\ & = \dfrac{196+169-225}{2 \cdot 14 \cdot 13} \\ & = \dfrac{\cancelto{10}{140}}{2 \cdot \cancel{14} \cdot 13} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$$Dengan menggunakan pendekatan segitiga siku-siku, anggap panjang sisi depan $\angle C = 5$ dan panjang hipotenusa (sisi miring) $\angle C = 13.$ Akibatnya, panjang sisi depannya adalah $\sqrt{13^2-5^2} = 12.$ Ini berarti, $\tan C = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5}}.$
(Jawaban D)
Jika dalam segitiga $ABC$ berlaku hubungan $a^2(1+\cos A) = 2bc \sin^2 A,$ maka segitiga $ABC$ berbentuk $\cdots \cdot$
A. segitiga sama sisi
B. segitiga siku-siku
C. segitiga sama kaki
D. segitiga sembarang
E. segitiga tumpul
Gunakan aturan kosinus bahwa $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A,$ serta identitas Pythagoras $\sin^2 A = 1-\cos^2 A.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} a^2(1+\cos A) & = 2bc \sin^2 A \\ (b^2+c^2-2bc \cos A)(1+\cos A) & = 2bc(1-\cos^2 A) \\ (b^2+c^2-2bc \cos A)\cancel{(1+\cos A)} & = 2bc\cancel{(1+\cos A)}(1-\cos A) \\ b^2+c^2-\bcancel{2bc \cos A} & = 2bc-\bcancel{2bc \cos A} \\ b^2-2bc+c^2 & = 0 \\ (b-c)^2 & = 0 \\ b & = c. \end{aligned}$$Jadi, disimpulkan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga sama kaki karena ada dua sisi yang panjangnya sama.
(Jawaban C)
Sebuah mobil melaju dari tempat $A$ sejauh $16~\text{km}$ dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24~\text{km}$ ke tempat $B$ dengan arah $160^{\circ}$. Jarak $A$ dan $B$ adalah $\cdots~\text{km}.$
A. $21$ D. $32$
B. $8\sqrt7$ E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$
Posisikan titik $C$ dan gunakan garis bantu seperti gambar di bawah.
Dari gambar, diperoleh bahwa $\angle ACB = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}.$ Selanjutnya dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2+BC^2-2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB \\ AB^2 & = 16^2+24^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = 256+576-768 \cdot \dfrac12 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = \sqrt{64 \times 7} = 8\sqrt7~\text{km}. \end{aligned}$$Jadi, jarak $A$ dan $B$ adalah $\boxed{8\sqrt7~\text{km}}.$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c
Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah $35^{\circ}$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah $155^{\circ}$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil.
A. $100\sqrt{2}$ D. $100\sqrt{13}$
B. $100\sqrt{3}$ E. $100\sqrt{19}$
C. $100\sqrt{7}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu $X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2-2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000-60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$$Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}.$
(Jawaban C)
Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan $60^{\circ}$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ km.
A. $25\sqrt{50}$ D. $27\sqrt{66}$
B. $20\sqrt{91}$ E. $24\sqrt{70}$
C. $24\sqrt{66}$
Perhatikan gambar berikut.
Perhatikan bahwa kemudi dibelokkan $60^{\circ}$ di titik $B$, artinya sudut pelurus $\angle ABC = 60^{\circ}.$ Penarikan sudut selalu dimulai dari sumbu $X$ positif.
Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}.$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, kita dapat menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91} \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ km.
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah $160^{\circ}$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km.
A. $21$ D. $32$
B. $8\sqrt{7}$ E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km}$, $CB = 24~\text{km},$ dan $\angle ACB = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2-2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576-384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7}. \end{aligned}$$Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}.$
(Jawaban B)
Diketahui $a, b, c$ masing-masing adalah panjang sisi segitiga $ABC$. Jika $(a+b+c)(a-b+c) = 3ac,$ maka besarnya sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ E. $90^{\circ}$
B. $45^{\circ}$ D. $75^{\circ}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (a+b+c)(a-b+c) & = 3ac \\ (a+c+b)(a+c-b) & = 3ac \\ (a+c)^2-b^2 & = 3ac \\ (a^2+2ac+c^2)-b^2 & = 3ac \\ a^2+c^2-ac & = b^2. \end{aligned}$
Misalkan $B$ adalah besar sudut di depan sisi $b$. Sekarang dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ & = \dfrac{a^2+c^2-(a^2+c^2-ac)}{2ac} \\ & = \dfrac{ac}{2ac} = \dfrac12. \end{aligned}$
Karena $\cos B = \dfrac12$, maka nilai $B$ yang mungkin adalah $60^{\circ}.$
Jadi, besar sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\boxed{60^{\circ}}.$
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Pembuktian Identitas Trigonometri
Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik $D$ pada $AB$ dan titik $E$ pada $AC$ sehingga terbentuk ruas garis $DE.$ Jika $AD = 5,$ $DB = 3,$ $EC = 6,$ $AE = 4,$ dan $BC = 8,$ maka panjang ruas garis $DE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$ C. $6$ E. $8$
B. $5$ D. $7$
Perhatikan $\triangle ABC.$ Dengan menggunakan aturan kosinus ditinjau dari sudut $A,$ diperoleh
$$\begin{aligned} BC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cos A \\ 8^2 & = 8^2 + 10^2-2 \cdot 8 \cdot 10 \cos A \\ \cancel{64} & = \cancel{64} + 100-160 \cos A \\ \cos A & = \dfrac{100}{160} = \dfrac58. \end{aligned}$$Sekarang perhatikan $\triangle ADE.$ Dengan menggunakan aturan kosinus ditinjau dari sudut $A,$ diperoleh
$$\begin{aligned} DE^2 & = AD^2 + AE^2-2 \cdot AD \cdot AE \cos A \\ DE^2 & = 5^2+4^2-\cancel{2} \cdot 5 \cdot \cancel{4} \cdot \dfrac{5}{\cancel{8}} \\ DE^2 & = 25 + 16-25 \\ DE^2 & = 16 \\ DE & = 4. \end{aligned}$$Jadi, panjang ruas garis $DE$ adalah $\boxed{4}.$
(Jawaban A)
Bagian Uraian
Diketahui segi empat $ABCD$ seperti yang terlihat pada gambar.
Tentukan panjang $BC.$
Dari gambar yang diberikan, diketahui informasi berikut.
- $AB = 2\sqrt6$ cm.
- $DC = 7$ cm.
- $\angle BAD = \angle BDC = 60^\circ.$
- $\angle ADB = 45^\circ.$
Pertama, cari panjang $BD$ terlebih dahulu dengan menggunakan aturan sinus pada $\Delta ABD.$
$$\begin{aligned} \dfrac{BD}{\sin \angle BAD} & = \dfrac{AB}{\sin \angle ADB} \\ \dfrac{BD}{\sin 60^\circ} & = \dfrac{2\sqrt6}{\sin 45^\circ} \\ \dfrac{BD}{\cancel{\frac12}\sqrt3} & = \dfrac{2\sqrt6}{\cancel{\frac12} \sqrt2} \\ \dfrac{BD}{\sqrt3} & = 2\sqrt3 \\ BD & = 2\sqrt3 \cdot \sqrt3 = 2 \cdot 3 = 6~\text{cm}. \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan menggunakan aturan kosinus pada $\Delta BCD,$ akan dicari panjang $BC.$
$$\begin{aligned} BC^2 & = BD^2 + DC^2-2 \cdot BD \cdot DC \cdot \cos \angle BDC \\ & = (6)^2 + (7)^2-2(6)(7) \cdot \cos 60^\circ \\ & = (6)^2 + (7)^2-\cancel{2}(6)(7) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ & = 36 + 49-42 \\ & = 43~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{43}$ cm.
Perhatikan segitiga $PQR$ berikut.
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi kondisi yang diberikan pada gambar.
Dari gambar yang diberikan, diketahui informasi berikut.
- $PQ = (x + 1)$ cm.
- $PR = (x-1)$ cm.
- $QR = 2\sqrt{x+2}$ cm.
- $\angle P = 60^\circ.$
Dengan menggunakan aturan kosinus ditinjau dari $\angle P,$ diperoleh
$$\begin{aligned} QR^2 & = PQ^2 + PR^2-2 \cdot PQ \cdot PR \cdot \cos P \\ (2\sqrt{x+2})^2 & = (x+1)^2 + (x-1)^2 -2(x+1)(x-1) \cdot \cos 60^\circ \\ 4(x + 2) & = (x^2 + 2x + 1) + (x^2-2x+1)-\cancel{2}(x+1)(x-1) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ 4x + 8 & = (2x^2 + 2)-(x^2-1) \\ 4x + 8 & = x^2 + 3 \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ \color{red}{(x-5)}\color{blue}{(x+1)} & = 0. \end{aligned}$$Persamaan terakhir menghasilkan $\color{red}{x-5=0}$ atau $\color{blue}{x+1=0},$ yang berarti $x = 5$ atau $x = -1.$ Perhatikan bahwa $x = -1$ tidak mungkin karena akan membuat panjang sisi $PR$ bernilai $0.$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{x = 5}.$
Diketahui $\triangle ABC$ dengan $a+c = 12$ cm dan $b + c = 13$ cm, serta $\angle A = 60^{\circ}$. Tentukan nilai $a$.
Perhatikan sketsa gambar $\triangle ABC$ berikut.
Karena $a + c = 12$ cm, itu berarti $c = (12-a)$ cm.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} (a + c)-(b+c) & = 12-13 \\ a-b & = -1 \\ b & = (a+1)~\text{cm}. \end{aligned}$
Selanjutnya, untuk mencari nilai $a,$ kita gunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} a^2 & = b^2+c^2-2bc \cos A \\ a^2 & = (a+1)^2+(12-a)^2-2(a+1)(12-a) \cos 60^{\circ} \\ a^2 & = (a^2+2a+1)+(144-24a+a^2)-\cancel{2}(-a^2+11a+12) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ a^2 & = a^2+2a+1+144-24a+a^2+a^2-11a-12 \\ a^2 & = 3a^2-33a+133 \\ 0 & = 2a^2-33a + 133 \\ 0 & = (2a-19)(a-7) \end{aligned}$$Diperoleh $a = \dfrac{19}{2}$ atau $a = 7$.
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{a = \dfrac{19}{2}~\text{atau}~a = 7}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah segi empat tali busur lingkaran (besar sudut yang berhadapan jumlahnya $180^{\circ}$). Buktikan bahwa $\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}.$
Jika pada segi empat $ABCD$ itu ditarik garis $BD$, maka dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle ABD$ dan $\triangle BCD$, diperoleh
$\begin{cases} BD^2 = c^2+d^2-2cd \cos \theta~~~~(\cdots 1) \\ BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos C.~~~~(\cdots 2) \end{cases}$
Pada segi empat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$ sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ}-\theta.$
Persamaan $2$ selanjutnya dapat diubah menjadi
$BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos (180^{\circ}-\theta).$
Dengan menggunakan konsep relasi sudut, diperoleh
$BD^2 = a^2+b^2+2ab \cos \theta.~~~(\cdots 3)$
Eliminasi $BD^2$ pada persamaan $1$ dan $3$ sehingga kita peroleh
$$c^2+d^2-2cd \cos \theta-a^2-b^2-2ab \cos \theta = 0.$$Substitusi nilai masing-masing.
$\begin{aligned}-2 \cos \theta(ab + cd) & = a^2+b^2-c^2-d^2 \\-2\cos \theta & = \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{ab+cd} \\ \cos \theta & = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}}.$
Diketahui $\triangle ABC$ dengan $CD$ adalah garis berat, yaitu garis yang membagi dua sama panjang sisi $AB$. Dengan menggunakan aturan kosinus, buktikan bahwa:
a. $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2$
b. $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C$
Jawaban a)
Perhatikan bahwa $\angle ADC + \angle BDC = 180^{\circ}$ (kedua sudut saling berpelurus), dan dapat juga kita tulis $\angle BDC = 180^{\circ}-\angle ADC.$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle ADC$ dan $\triangle BDC$, diperoleh dua persamaan, yakni
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle (180^{\circ}-ADC) \end{cases}$$Perhatikan juga bahwa $\cos \angle (180^{\circ}-ADC) =-\cos ADC.$ Ini berarti
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2 + 2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos ADC \end{cases}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} b^2+a^2 & = \dfrac12c^2 + 2CD^2 \\ 2CD^2 & = a^2+b^2-\dfrac12c^2 \\ CD^2 & = \dfrac12 a^2+\dfrac12b^2-\dfrac14c^2. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2.$
Jawaban b)
Dengan menggunakan aturan kosinus terhadap sisi $AB$, diperoleh
$c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C.$
Berdasarkan jawaban a, diketahui bahwa
$CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2.$
Persamaan ini ekuivalen dengan
$4CD^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2.$
Substitusikan $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$, didapat
$$\begin{aligned} 4CD^2 & = 2a^2 + 2b^2-(a^2+b^2-2ab \cos C) \\ & = a^2+b^2 + 2ab \cos C. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Penerapan Identitas Trigonometri
Pada $\triangle ABC,$ diketahui perbandingan panjang $$a : b : c = 2 : \sqrt6 : (\sqrt3+1).$$Tentukan besar sudut $A, B,$ dan $C.$
Misalkan $k$ adalah bilangan real positif. Dari perbandingan tersebut berlaku $a = 2k,$ $b = k\sqrt6,$ dan $c = (\sqrt3+1)k.$
Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ & = \dfrac{(k\sqrt6)^2+((\sqrt3+1)k)^2-(2k)^2}{2(k\sqrt6)(\sqrt3+1)k} \\ & = \dfrac{6k^2+(\sqrt3+1)^2k^2-4k^2}{2k^2\sqrt6(\sqrt3+1)} \\ & = \dfrac{2\color{red}{k}^2+(4+2\sqrt3)\color{red}{k}^2}{6\color{red}{k}^2\sqrt2 + 2\color{red}{k}^2\sqrt6} \\ & = \dfrac{2+(4+2\sqrt3)}{6\sqrt2 + 2\sqrt6} \\ & =\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2 + \sqrt6} \times \color{blue}{\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{3\sqrt2- \sqrt6}} \\ & =\dfrac{9\sqrt2-3\sqrt6+3\sqrt6-3\sqrt2}{18-6} \\ & = \dfrac{6\sqrt2}{12} = \dfrac12\sqrt2 \\ \Rightarrow A & = 45^{\circ}. \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ & = \dfrac{(2k)^2+((\sqrt3+1)k)^2-(k\sqrt6)^2}{2(2k)(\sqrt3+1)k} \\ & = \dfrac{4k^2+(\sqrt3+1)^2k^2-6k^2}{4k^2(\sqrt3+1)} \\ & = \dfrac{-2\color{red}{k}^2+(4+2\sqrt3)\color{red}{k}^2}{(4\color{red}{k}^2\sqrt3 + 4\color{red}{k}^2} \\ & = \dfrac{-2+(4+2\sqrt3)}{4\sqrt3 + 4} \\ & =\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt3 + 2} \times \color{blue}{\dfrac{2\sqrt3-2}{2\sqrt3-2}} \\ & = \dfrac{2\sqrt3-2+6-2\sqrt3}{12-4} \\ & = \dfrac{4}{8} = \dfrac12 \\ \Rightarrow B & = 60^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle ABC,$ berlaku jumlah semua sudutnya adalah $180^\circ$ sehingga $$\angle C = 180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ.$$ Jadi, besar sudut $A, B,$ dan $C$ berturut-turut adalah $45^\circ, 60^\circ,$ dan $75^\circ.$