Category: Barisan dan Deret

Dengan menggunakan sifat pangkat:
$\boxed{\begin{aligned} a^{-1} & = \dfrac{1}{a} \\ a^m \cdot a^n & = a^{m+n} \\ \dfrac{a^m} {a^n} & = a^{m-n} \end{aligned}}$
diperoleh
$\begin{aligned} & \left(\dfrac{8x^2y^{-4}} {x^{-1}y^2}\right)\left(\dfrac{4^{-2}x^{-4}} {x^{-2}y^{-3}}\right) \\ & = (2^3 \times (2^2)^{-2})x^{2+(-4)-(-1)-(-2)}y^{-4-2-(-3)} \\ & = 2^{3-4}x^{2-4+1+2}y^{-4-2+3} \\ & = 2^{-1}xy^{-3} \\ & = \dfrac{1}{2}xy^{-3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}xy^{-3}}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned} 27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} -8^{\frac{2}{3}} & = (3^3)^{\frac{1}{3}} + (2^4)^{\frac{1}{4}} -(2^3)^{\frac{2}{3}} \\ & = 3^1 + 2^1 -2^2 \\ & = 3 + 2 -4 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{27^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{4}} -8^{\frac{2}{3}} = 1}$
(Jawaban C)

$\begin{aligned} \left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3 & = (a^{1-(-3)}b^{2-2}c^{-3-4}) ^3 \\ & = (a^4b^0c^{-7})^3 \\ & = a^{4 \times 3}c^{-7 \times 3} \\ & = a^{12}c^{-21} \\ & = \dfrac{a^{12}} {c^{21}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3$ adalah $\boxed{\dfrac{a^{12}} {c^{21}}}$
(Jawaban A) 

Akan dicari nilai $x$ sedemikian sehingga persamaan berpangkat yang diberikan itu bernilai benar. Perhatikan bahwa $8$ dan $128$ memiliki hubungan pangkat, yaitu $8 = 2^3$ dan $128 = 2^7$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} 8^{3x+1} & = 128^{x-1} \\ (2^3)^{3x+1} & = (2^7)^ {x-1} \\ 2^{3(3x+1)} & = 2^{7(x-1)} \\ 2^{9x+3} & = 2^{7x-7} \\ \cancel{2}^{9x+3} & = \cancel{2}^{7x-7} \\ 9x+3 & = 7x-7 \\ 9x-7x & = -7-3 \\ 2x & = -10 \\ x &= \dfrac{-10}{2} = -5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan sifat-sifat akar, diperoleh
$$\begin{aligned} & 7\sqrt{294} -5\sqrt{726} + \sqrt{96} -3\sqrt{150} \\ & = 7\sqrt{49 \cdot 6}- 5\sqrt{121 \cdot 6} + \sqrt{16 \cdot 6} -3\sqrt{25 \cdot 6} \\ & = 7 \cdot 7\sqrt{6} -5 \cdot 11\sqrt{6} + 4\sqrt{6} -3 \cdot 5\sqrt{6} \\ & = 49\sqrt{6}- 55\sqrt{6} + 4\sqrt{6} -15\sqrt{6} \\ & = (49-55+4-15)\sqrt{6} \\ & = -17\sqrt{6} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $7\sqrt{294} -5\sqrt{726} + \sqrt{96} -3\sqrt{150}$ adalah $\boxed{-17\sqrt{6}}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned}\sqrt{2}(\sqrt{3} -\sqrt{12} + \sqrt{32}) & = \sqrt{6} -\sqrt{24} + \sqrt{64} \\ & = \sqrt{6} -\sqrt{4 \cdot 6} + 8 \\ & = \sqrt{6} -2\sqrt{6} + 8 \\ & = 8 -\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sqrt{2}(\sqrt{3} -\sqrt{12} + \sqrt{32})$ adalah $\boxed{8-\sqrt{6}}$
(Jawaban A)

$$\begin{aligned} p + q & = \dfrac{1}{4}\sqrt{32}- \sqrt{50} + (5\sqrt{18}-2\sqrt{8}) \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{16\times 2}- \sqrt{25 \times 2} + 5\sqrt{9 \times 2} -2\sqrt{4\times 2} \\ & = \dfrac{1}{4} \times 4\sqrt{2} -5\sqrt{2} + 5 \times 3 \sqrt{2} -2 \times 2 \sqrt{2} \\ & = \sqrt{2}- 5\sqrt{2} + 15\sqrt{2} -4\sqrt{2} \\ & = (1-5+15-4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p+q$ jika $p = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} -\sqrt{50}$ dan $q = 5\sqrt{18} -2\sqrt{8}$ adalah $\boxed{7\sqrt{2}}$
(Jawaban B)

Pecahan itu memiliki penyebut tak rasional (memuat bentuk akar) sehingga perlu dirasionalkan dengan cara dikalikan akar sekawan.
$\begin{aligned} \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} & = \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} \times \dfrac{4+\sqrt{3}} {4+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {4^2-(\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {16-3} \\ & = \dfrac{\cancel{13}(4+\sqrt{3})} {\cancel{13}} \\ & = 4 + \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{13}{4-\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{4+\sqrt{3}}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned} & \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{12+\sqrt{18}} {\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}} {\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{12\sqrt{6} + \sqrt{108}} {6} \\ & = \dfrac{12\sqrt{6} + 6\sqrt{3}} {6} \\ & = 2\sqrt{6} + \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
(Jawaban C)

$^3 \log 27 = ^3 \log 3^3 = 3$
Jadi, nilai dari $^3 \log 27$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban E)

Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b \cdot ^b \log c = ^a \log c}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & ^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 \\ & = ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 \cdot ^3 \log 7 \\ & = ^2 \log 7 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{^3 \log 7 \cdot ^2 \log 5 \cdot ^5 \log 3 = ^2 \log 7}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma:
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b \! + ^a \log c & = \! ^a \log bc \\ ^a \log b -\! ^a \log c & = \! ^a \log \dfrac{b}{c} \end{aligned}}$
diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log 6 – \! ^2 \log 12 + \! ^2 \log 8 & = \! ^2 \log \left(\dfrac{6}{12} \cdot 8\right) \\ & = \! ^2 \log 4 \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^2 \log 6 -^2 \log 12 + ^2 \log 8$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D) 

Diketahui $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$. 
$\begin{aligned} ^9 \log 36 & = \dfrac{\log 36}{\log 9} \\ & = \dfrac{\log (2 \times 2 \times 3 \times 3)}{\log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{\log 2 + \log 2 + \log 3 + \log 3}{\log 3 + \log 3} \\ & = \dfrac{a + a + b + b} {b + b} \\ &= \dfrac{2a+2b} {2b} \\ & = \dfrac{a+b} {b} \\ & = \dfrac{a} {b} + \dfrac{b} {b} = \dfrac{a} {b}+1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^9 \log 36$ jika $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$ adalah $\boxed{\dfrac{a} {b} +1}$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} |2x -3| & = |2(-3) -3| \\ & = |-6-3| \\ & = |-9| = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $|2x-3|$ untuk $x = -3$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban A)

Gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
$\boxed{|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a}$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} & |x-1| < 2 \\ & -2 < x -1 < 2 \\ & -2+1 < x-1+1 < 2+1 \\ & -1 < x < 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $\boxed{-1 < x < 3}$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
$\boxed{|x| \geq a \iff x \leq -a ~\text{atau}~x \geq a}$
diperoleh
$\begin{aligned}& |2x-1| \geq 7 \\ & 2x-1 \leq -7~\text{atau} ~2x-1 \geq 7 \\ & 2x \leq -6~\text{atau}~2x \geq 8 \\ & x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x~|~x \leq -3~\text{atau}~x \geq 4\}}$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x+6y & = -10 \\~15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 13$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(13, -32)\}.$
(Jawaban A)

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 3x-3y & = 15 \\ 3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} x-y & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(10, 5)\}$
(Jawaban B)

Misalkan $x$ = harga $1$ buku tulis dan $y$ = harga $1$ pensil, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 \\ 3x + 2y & = 9.000 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli $1$ buku tulis dan $1$ pensil.
(Jawaban E)

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 \\ 3x + 3y & = 33.000 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\  \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 2x +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp5.000,00.
(Jawaban A)

Grafik dari pertidaksamaan $3x + 2y \leq 36$ memotong sumbu $X$ di $x = 12$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 18$. Karena bertanda $\leq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V. 
Grafik dari pertidaksamaan $x + 2y \geq 20$ memotong sumbu $X$ di $x = 20$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 10$. Karena bertanda $\geq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V. 
$x, y$ juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II.
(Jawaban D)

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Colt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} x + y \geq 28 \\ 14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban B) 

Persamaan garis pertama: $50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $\boxed{5x + 4y = 200}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $\boxed{5x + 4y \leq 200}$
Persamaan garis kedua: $40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya, sehingga didapat $\boxed{x + 2y = 80}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya), sehingga diperoleh $\boxed{x + 2y \leq 80}$
Kendala non-negatif diberikan oleh $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
$\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0}$
(Jawaban E) 

Daerah penyelesaian itu memiliki $3$ titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & -y  = -1 \\ & y = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $y = 1$ pada persamaan pertama,
$\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4, 1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0, 3), (4, 1)$, dan $(5, 0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P = 3x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 3) & 15 \\ \color{red}{(4, 1)} & \color{red}{17} \\ (5, 0) & 15 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P = 3x+5y$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = 6$ dan $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n -1) \times 4 \\ & = 6 + 4n -4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 4n + 2}$
(Jawaban C) 

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9 -\text{U}_4}{9 -4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-7 barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}$
(Jawaban B) 

Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 = -6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & = -27 \\ r^3 & = -27 \\ r & = -3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban A) 

Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri:
$\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1 – \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1 – \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$ (Jawaban B) 

Diketahui $a = 6$ dan $r = \dfrac{2}{3}$. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
$\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}$
diperoleh
$S_\infty = \dfrac{6}{1-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{6}{\dfrac{1}{3}} = 6 \cdot \dfrac{3}{1} = 18$
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut adalah $\boxed{18}$
(Jawaban D)

Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan $\text{U} _1 = a = 2$ dan $\text{U}_4 = 54$. Dalam hal ini, akan dicari $\text{S}_4 = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4$
Langkah pertama adalah menentukan rasionya.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = ar^3 \\ 54 & = 2r^3 \\ 27 & = r^3 \\ r & = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisannya adalah $3$. Untuk itu, didapat
$\text{U}_2 = ar = 2 \cdot 3 = 6$
dan
$\text{U}_3 = ar^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$
Dengan demikian,
$\text{S}_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80$
Jadi, panjang tali semula (sebelum dipotong) adalah $\boxed{80~\text{cm}}$
(Jawaban C)