Tag: Barisan Aritmetika

$\begin{aligned} \left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3 & = (a^{1-(-3)}b^{2-2}c^{-3-4}) ^3 \\ & = (a^4b^0c^{-7})^3 \\ & = a^{4 \times 3}c^{-7 \times 3} \\ & = a^{12}c^{-21} \\ & = \dfrac{a^{12}} {c^{21}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{ab^2c^{-3}} {a^{-3}b^2c^4}\right)^3$ adalah $\boxed{\dfrac{a^{12}} {c^{21}}}$
(Jawaban A) 

$\begin{aligned} (2n^2)^3 \cdot (3n)^2 & = (2^3n^{2 \times 3}) \cdot (3^2n^2) \\ & = 8n^6 \cdot 9n^2 \\ & = 72n^{6+2} = 72n^8 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $(2n^2)^3 \cdot (3n)^2$ adalah $\boxed{72n^8}$ (Jawaban D)

$\begin{aligned} x^{-\dfrac{2}{3}} \cdot y^{\dfrac{4}{3}} & = 343^{-\dfrac{2}{3}} \cdot (64)^{\dfrac{4}{3}} \\ & = (7^3)^{-\dfrac{2}{3}} \cdot (4^3)^{\dfrac{4}{3}} \\ & = (7^\cancel{3})^{-\dfrac{2}{\cancel{3}}} \cdot (4^{\cancel{3}})^{\dfrac{4}{\cancel{3}} } \\ & = 7^{-2} \cdot 4^4 \\ & = \dfrac{4^4}{7^2} = \dfrac{256}{49} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x^{-\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{4}{3}}$ jika $x = 343$ dan $y = 64$ adalah $\boxed{\dfrac{256}{49}}$
(Jawaban D)

Akan dicari nilai $x$ sedemikian sehingga persamaan berpangkat yang diberikan itu bernilai benar. Perhatikan bahwa $8$ dan $128$ memiliki hubungan pangkat, yaitu $8 = 2^3$ dan $128 = 2^7$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} 8^{3x+1} & = 128^{x-1} \\ (2^3)^{3x+1} & = (2^7)^ {x-1} \\ 2^{3(3x+1)} & = 2^{7(x-1)} \\ 2^{9x+3} & = 2^{7x-7} \\ \cancel{2}^{9x+3} & = \cancel{2}^{7x-7} \\ 9x+3 & = 7x-7 \\ 9x-7x & = -7-3 \\ 2x & = -10 \\ x &= \dfrac{-10}{2} = -5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban B)

Pecahan itu memiliki penyebut tak rasional sehingga perlu dirasionalkan dengan cara dikalikan bentuk akar yang sama. 
$\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}} {\sqrt{3}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
Jadi, hasil (bentuk sederhana) dari $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{\dfrac{2}{3}\sqrt{3}}$
(Jawaban A)

Pecahan itu memiliki penyebut tak rasional (memuat bentuk akar) sehingga perlu dirasionalkan dengan cara dikalikan akar sekawan.
$\begin{aligned} \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} & = \dfrac{13}{4-\sqrt{3}} \times \dfrac{4+\sqrt{3}} {4+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {4^2-(\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{13(4+\sqrt{3})} {16-3} \\ & = \dfrac{\cancel{13}(4+\sqrt{3})} {\cancel{13}} \\ & = 4 + \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{13}{4-\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{4+\sqrt{3}}$
(Jawaban C)

$$\begin{aligned} & \sqrt{75} + \dfrac{1}{4}\sqrt{48}- \sqrt{27} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \\ & = \sqrt{75} + \dfrac{1}{4}\sqrt{48}- \sqrt{27} + \sqrt{6 \times 2} \\ & = \sqrt{25 \times 3} + \dfrac{1}{4} \sqrt{16 \times 3} -\sqrt{9 \times 3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 5\sqrt{3} + \dfrac{1}{4} \cdot 4 \sqrt{3} -3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (5+1-3+2)\sqrt{3} \\ & = 5\sqrt{3} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{ \sqrt{75} + \dfrac{1}{4}\sqrt{48} – \sqrt{27} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{3}}$
(Jawaban B)

$$\begin{aligned} p + q & = \dfrac{1}{4}\sqrt{32}- \sqrt{50} + (5\sqrt{18}-2\sqrt{8}) \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt{16\times 2}- \sqrt{25 \times 2} + 5\sqrt{9 \times 2} -2\sqrt{4\times 2} \\ & = \dfrac{1}{4} \times 4\sqrt{2} -5\sqrt{2} + 5 \times 3 \sqrt{2} -2 \times 2 \sqrt{2} \\ & = \sqrt{2} – 5\sqrt{2} + 15\sqrt{2} -4\sqrt{2} \\ & = (1-5+15-4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p+q$ jika $p = \dfrac{1}{4}\sqrt{32} -\sqrt{50}$ dan $q = 5\sqrt{18} -2\sqrt{8}$ adalah $\boxed{7\sqrt{2}}$
(Jawaban B)

$\begin{aligned} & ^2 \log 64 + ^2 \log 8 -^2 \log 16 \\ & = ^2 \log 2^6 + ^2 \log 2^3 -^2 \log 2^4 \\ & = 6 +3-4 = 5 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $^2 \log 64 + ^2 \log 8 -^2 \log 16$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban A)

Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b \cdot ^b \log c = \! ^a \log c}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & ^3 \log 7 \cdot \! ^2 \log 5 \cdot \! ^5 \log 3 \\ & = \! ^2 \log 5 \! \cdot ^5 \log 3 \! \cdot ^3 \log 7 \\ & = \! ^2 \log 7 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{^3 \log 7 \! \cdot ^2 \log 5 \! \cdot ^5 \log 3 = \! ^2 \log 7}$
(Jawaban C)

Diketahui $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$. 
$\begin{aligned} ^9 \log 36 & = \dfrac{\log 36}{\log 9} \\ & = \dfrac{\log (2 \times 2 \times 3 \times 3)}{\log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{\log 2 + \log 2 + \log 3 + \log 3}{\log 3 + \log 3} \\ & = \dfrac{a + a + b + b} {b + b} \\ &= \dfrac{2a+2b} {2b} \\ & = \dfrac{a+b} {b} \\ & = \dfrac{a} {b} + \dfrac{b} {b} = \dfrac{a} {b}+1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^9 \log 36$ jika $\log 2 = a$ dan $\log 3 = b$ adalah $\boxed{\dfrac{a} {b} +1}$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} 7x-3 & = 5x+9 \\ 7x-5x & = 9+3 \\ 2x & = 12 \\ x & = \dfrac{12}{2} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan linear itu adalah $x = 6$. Dengan kata lain, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{\{6\}}$
(Jawaban C)

Variabel dari persamaan tersebut adalah $q$ sehingga yang akan dicari adalah nilai dari $q$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} 5(2q-1) & = 2(q+3) \\ 10q -5 & = 2q+6 \\ 10q-2q & = 6+5 \\ 8q & = 11 \\ q & = \dfrac{11}{8} \end{aligned}$
Jadi, nilai variabel dari persamaan itu adalah $\boxed{\dfrac{11}{8}}$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} \dfrac{3x-1}{4} & = \dfrac{2x+5}{3} \\ 3(3x-1) & = 4(2x+5) \\ 9x-3 & = 8x+20 \\ 9x-8x & = 20+3 \\ x & = 23 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 23}$
(Jawaban A)

Kalikan $14$ pada kedua ruas pertidaksamaan itu, kemudian selesaikan. 
$\begin{aligned} 1 -\dfrac{9-x} {14} & < 2 -\dfrac{5+x} {7} \\ 14 -(9-x) & < 28- 2(5+x) \\ 14 -9 + x & < 28 -10 -2x \\ 5+x & < 18-2x \\ x+2x & < 18-5 \\ 3x & < 13 \\ x & < \dfrac{13}{3} \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < \dfrac{13}{3}}$
(Jawaban E)

$\begin{aligned} 2x-4 & \leq 5x + 8 \leq 2x + 14 \\ -4 & \leq 3x + 8 \leq 14 \\-4-8 &\leq 3x +8-8  \leq 14-8 \\ -12 & \leq 3x \leq 6 \\ \dfrac{-12}{3} & \leq \dfrac{3x} {3} \leq \dfrac{6}{3} \\ -4 & \leq x \leq 2 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear itu adalah $\boxed{\{x~|~-4 \leq x \leq 2, x \in \mathbb{R}\}}$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} |2x -3| & = |2(-3) -3| \\ & = |-6-3| \\ & = |-9| = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $|2x-3|$ untuk $x = -3$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} & |x-1| < 2 \\ & -2 < x – 1 < 2 \\ & -2+1 < x-1+1 < 2+1 \\ & -1 < x < 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $\boxed{-1 < x < 3}$ (Jawaban E)

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 3x – y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2x+3y & = 3 \\ 9x-3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 33 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 3$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 2(3) + 3y & = 3 \\ 6 + 3y & = 3 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = -1$ sehingga $\boxed{2x-y = 2(3)-(-1) = 7}$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x-3y & = 15 \\~3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} x-y & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(10, 5)\}$.
(Jawaban B)

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 5x + 30y & = 410.000 \\ 2x + 60y & = 740.000 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+30y & = 410.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10x+60y & = 820.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 8x & = 80.000 \\ x & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan (gantikan) $x = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 5x +30y & = 410.000 \\ 5(10.000) + 30y & = 410.000 \\ 50.000 + 30y & = 410.000 \\ 30y & = 360.000 \\ y & = 12.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp10.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp12.000,00.
Dengan demikian, harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah
$2 \times 10.000 + 5 \times 12.000 = \boxed{\text{Rp}80.000,00}$
(Jawaban B) 

Diberikan
$\begin{aligned} 2x+z & = 5 && (1) \\ y-2z & = -3 && (2) \\ x + y & = 1 && (3) \end{aligned}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} & y – 2z = -3 \\ & x + y  = 1 \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & -2z- x  = -4 \\ & x + 2z  = 4 && (4) \end{aligned}$
Selanjutnya, eliminasi $z$ pada persamaan $(1)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + z & = 5 \\ x + 2z & = 4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4x+2z & = 10 \\ x+2z & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3x & = 6 \\ x & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $x = 2$ pada persamaan $(1)$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} 2x + z & = 5 \\ 2(2) + z & = 5 \\ 4 + z & = 5 \\ z & = 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{x + y + z = (x + y) + z = 1 + 1 = 2}$
(Jawaban C) 

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Truk} & \text{Co}\text{lt} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8  & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} x + y \geq 28 \\ 14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban D) 

Persamaan garis pertama: $50x + 40y = 50 \cdot 40 = 2000$, kemudian disederhanakan dengan membagi 10 pada kedua ruasnya sehingga didapat $\boxed{5x + 4y = 200}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya) sehingga diperoleh $\boxed{5x + 4y \leq 200}$
Persamaan garis kedua: $40x + 80y = 40 \cdot 80 = 3200$, kemudian disederhanakan dengan membagi 40 pada kedua ruasnya sehingga didapat $\boxed{x + 2y = 80}$.
Titik $(0, 0)$ merupakan juga salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut (perhatikan arsirannya) sehingga diperoleh $\boxed{x + 2y \leq 80}$
Kendala non-negatif diberikan oleh $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ karena daerah penyelesaiannya hanya memuat kuadran pertama.
Jadi, sistem persamaan sesuai dengan daerah penyelesaian yang diberikan tersebut adalah
$\boxed{5x + 4y \leq 200; x + 2y \leq 80; x \geq 0; y \geq 0}$
(Jawaban E) 

Daerah penyelesaian itu memiliki $3$ titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 5x + 5y & = 25 \Rightarrow x + y = 5 \\ 3x + 6y & = 18 \Rightarrow x + 2y = 6 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & x + y  = 5 \\ & x + 2y = 6 \\ &\rule{2.2 cm}{0.6pt} – \\ -y & = -1 \\ y & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $y = 1$ pada persamaan pertama,
$\begin{aligned} x + y & = 5 \\ x + 1 & = 5 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(4, 1)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(0, 3), (4, 1)$, dan $(5, 0)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $P = 3x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 3x+5y \\ \hline (0, 3) & 15 \\ \color{green}{(4, 1)} & \color{green}{17} \\ (5, 0) & 15 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $P = 3x+5y$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = -1$ dan $b = 2$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -1 + (n-1) \times 2 \\ & = -1 + 2n-2 \\ & = 2n-3 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 2n-3}$
(Jawaban D) 

Diketahui $\text{U}_n = 15-3n$. Untuk $n = 15$, diperoleh
$\text{U}_{15} = 15 -3(15) = 15-45 = -30$
Jadi, suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{-30}$
(Jawaban E) 

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9 -\text{U}_5}{9 -5} = \dfrac{6-18}{4} = -3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 18$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}$
Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24}$
(Jawaban E) 

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9 -\text{U}_4}{9 -4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-7 barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}$
(Jawaban B) 

 Diketahui $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{S}_4 = 44$. Dengan menggunakan formula jumlah deret aritmetika, yaitu
$\boxed{\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n)}$
diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_4 & = \dfrac{4}{2}(a + \text{U}_4) \\ 44 & = 2(a + 17) \\ \dfrac{44}{2} & = a + 17 \\ 22 & = a + 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari selisih tiap suku yang berdekatan, yaitu $b$.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ 5 + 3b & = 17 \\ 3b & = 12 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi, banyak produksi pada bulan kelima adalah
$\boxed{\text{U}_5 = a + 4b = 5 + 4(4) = 21~\text{ton}}$
(Jawaban D)