Tag: Barisan Geometri

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) \\ & = 4 \sum_{i=4}^{51} i -\sum_{i=4}^{51} 5 \\ & = 4 \left(\sum_{i=1}^{51} i- \sum_{i=1}^3 i\right) -\left(\sum_{i=1}^{51} 5 -\sum_{i=1}^3 5\right) \\ & = 4\left(\dfrac{51 \times \cancelto{26}{52}}{\cancel{2}} -\dfrac{3 \times \cancelto{2}{4}}{\cancel{2}}\right) -[5(51) -5(3)] \\ & = 4(51 \times 26 -3 \times 2) -240 \\ & = 4(1.326 -6) -240 \\ & = 5.040 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) = 5.040}$
(Jawaban B)

Deret tersebut terbentuk dari barisan aritmetika: $2, 6, 10, 14, 18, \cdots, 134$
Diketahui suku pertamanya $a=2$ dan beda antarsuku $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(4) \\ & = 4n -2 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan itu adalah
$134 = 4n -2 \Leftrightarrow n = \dfrac{134+2}{4} = 34$
Barisan baru: $2, -6, 10, -14, \cdots, -134$
Karena untuk setiap suku genap, nilai suku pada barisan bernilai negatif, maka rumus suku ke-$n$ berubah menjadi
$\text{U}_n = (-1)^{n+1}(4n-2)$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret yang terbentuk adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1}(4k-2)}$
(Jawaban E)

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2 & = \sum_{k=5-4}^{9-4} (2(k+4)-5)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (2k + 3)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2 + 12x + 9) \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2) + \sum_{k=1}^5 (12x + 9) \\ & = 4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3) \end{aligned}$
Jadi, Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\boxed{4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3)}$
(Jawaban D)

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\displaystyle \sum_{i=1}^n c = cn$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) & = \sum_{i=6}^{25} 2 + \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = \left(\sum_{i=1}^{25} 2 -\sum_{i=1}^{5} 2\right)+ \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = (2(25) -2(5)) + 10 \\ & = 40 + 10 = 50 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = 50}$
(Jawaban A)

Tinjau barisan aritmetika:
$-3, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots, 25$ 
Diketahui: $a=-3$ dan $b=2$
Rumus suku ke-$n$ barisan di atas adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n &= a + (n-1)b \\ & = -3 + (n-1)(2) \\ & = 2n -5 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan tersebut dinyatakan oleh
$25= 2n – 5 \Leftrightarrow n = \dfrac{25+5}{2} = 15$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)} $
(Jawaban B)

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4) & = \sum_{n=1-3}^{10-3} ((n+3)^2-4) \\ & = \sum_{n=-2}^7 (n^2+6n+5) \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi $\boxed{\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)}$ 
(Jawaban E)

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) & = 4 \sum_{k=1}^p k- \sum_{k=1}^p 15 \\ & = \cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{p(p+1)} {\cancel{2}} -15p \\ & = 2p(p+1) -15p \\ & = 2p^2 -13p \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) = 2p^2-13p}$
(Jawaban D)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya roti jenis I dan II, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{R1} & \text{R2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15  &  \leq 5.000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4.000 \\ \hline \end{array}$
(Semua satuan harus diubah menjadi gram)
$\begin{cases} 20x + 15y \leq 5.000 \Leftrightarrow 4x + 3y \leq 1.000 \\  10x + 10y \leq 4.000 \Leftrightarrow x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban D) 

Daerah penyelesaian itu memiliki $3$ titik pojok. Salah satunya adalah titik potong kedua garis itu. Koordinat titik potongnya dapat dicari dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV. Persamaan garis yang dimaksud dituliskan dalam sistem persamaan linear dua variabel berikut.
$\begin{cases} 6x + 3y & = 18 \Rightarrow 2x + y = 6 \\ 4x + 4y & = 16 \Rightarrow x + y = 4 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) pada SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} & 2x + y  = 6 \\ & x + y = 4 \\ & \rule{2.2 cm}{0.6pt} – \\ & x  = 2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 2$ pada persamaan kedua,
$\begin{aligned} x + y & = 4 \\ 2 + y & = 4 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya ada di koordinat $(2, 2)$.
Koordinat titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $(4, 0), (2, 2)$, dan $(0, 6)$. Uji titik ini pada fungsi objektif $Z=2x+5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z=2x+5y \\ \hline  \color{green} {(4, 0)} & \color{green}{8} \\ (2, 2) & 14 \\ (0, 6) & 30 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai minimum fungsi objektif $Z=2x+5y$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban B)

Gambar garis $x + 2y \geq 6$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 3) & (6,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 3)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 6$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 6$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $x + y \leq 8$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 8 \\ \hline y & 8 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 8) & (8, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 8)$ dan $(8, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + y \leq 8$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq 8$ (bernilai benar), sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(0, 0)$.

Daerah penyelesaian dari $x \geq 0$ berarti seluruh daerah di kuadran I dan IV.
Daerah penyelesaian dari $y \geq 2$ dapat dilihat langsung pada gambar di bawah sekaligus dengan semua garis yang ada.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan 4 titik pojok, yaitu titik $A(0, 3), B, C$, dan $D(0, 8)$.
Garis $y = 2$ dan $x + 2y = 6$ berpotongan di titik $B$ dengan koordinat $(2, 2)$.
Garis $y = 2$ dan $x + y = 8$ berpotongan di titik $C$ dengan koordinat $(6, 2)$.
Uji keempat titik pojok pada fungsi objektif $f(x, y) = 4x + 5y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & f(x, y) = 4x + 5y \\ \hline A(0, 3) & 15 \\  B(2, 2) & 18 \\ C(6, 2) & 34 \\ \color{green}{D(0, 8)} & \color{green}{40} \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, nilai maksimum fungsi objektif $f(x,y) = 4x+5y$ adalah $\boxed{40}$
(Jawaban D)

Grafik garis lurus di atas memotong sumbu-$X$ di $(-3, 0)$ dan memotong sumbu-$Y$ di $(0, -1)$. Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk
$\begin{aligned} -1x + (-3)y & = (-1)(-3) \\ -x -3y & = 3 \\ 3y + x & = -3 \end{aligned}$
Uji titik $(0, 0)$ untuk mengecek tanda:
$0 + 3(0) = 0 \geq -3$
Dengan demikian, pertidaksamaan garisnya adalah $\boxed{3y + x \geq -3}$
(Catatan: Bila garisnya putus-putus, gunakan tanda $>$)
(Jawaban A)

Gambar garis $x + 2y \geq 2$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 1) & (2,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 1)$ dan $(2, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $x + 2y \geq 2$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 2$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $-3x + y \leq -3$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -3 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, -3) & (1,0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, -3)$ dan $(1, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $-3x + y \leq -3$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \leq -3$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Gambar garis $y \leq 4$ seperti berikut.

Gabungkan ketiga gambar di atas dalam satu sistem koordinat.

(Jawaban C)

Gambar garis $5x + 6y \geq 30$ dengan memanfaatkan titik potong terhadap sumbu koordinat.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 5 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 5) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(0, 5)$ dan $(6, 0)$. Uji titik $(0, 0)$ pada $5x + 6y \geq 30$, sehingga diperoleh $0 + 0 = 0 \geq 30$ (bernilai salah), sehingga daerah penyelesaiannya tidak meliputi titik $(0, 0)$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah II dan III.
Selanjutnya, gambar garis $-2x + y \leq 0$ dengan menentukan dua titik yang dilalui garis
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 2  \\ \hline y & 2 & 4 \\ \hline (x, y) & (1, 2) & (2, 4) \\ \hline \end{array}$
Jadi, garis melalui titik $(1, 2)$ dan $(2, 4)$. Uji titik $(1, 1)$ pada $-2x + y \leq 0$, sehingga diperoleh $-2(1) + 1 = -1 \leq 0$ (bernilai benar), sehingga daerah penyelesaiannya meliputi titik $(1, 1)$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah III, IV, dan V.
Terakhir, gambarkan garis $y \geq 2$.

Daerah penyelesaian meliputi daerah I, II, III, dan V.
Daerah yang terkena ketiga arsiran daerah penyelesaian di atas adalah daerah III.
(Jawaban C) 

Misalkan $x$ menyatakan banyaknya mangga dan $y$ menyatakan banyaknya apel, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mangga} & \text{Apel} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Uang} & 2.000 & 4.000  &  \leq 20.000 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 12 \\ & \leq 6 & & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} 2.000x + 4.000y \leq 20.000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 10 \\  x + y \geq 12 \\  x \leq 6 \end{cases}$$(Jawaban B) 

Gambarkan grafik pertidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius seperti gambar.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian. Tampak bahwa daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku sama kaki ($AB = BC = 8$).
(Jawaban E)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil kecil dan mobil besar, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Mobil Kecil} & \text{Mobil Besar} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas} & 4 & 20  &  \leq 1.760 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 200 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 4x + 20y \leq 1.760 \Leftrightarrow x + 5y \leq 440 \\ x + y \leq 200 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Fungsi objektif: $Z = 1.000x + 2.000y$
Gambarkan sistem pertidaksamaan linear di atas ke dalam sistem koordinat.

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan tiga titik pojok, yaitu titik $B(200, 0), C(140, 60)$, dan $D(0, 88)$.
Untuk mencari koordinat titik $C$, carilah penyelesaian dari $\begin{cases} x + y = 200 \\ x + 5y = 440 \end{cases}$ karena $C$ merupakan titik potong kedua garis itu.
Uji ketiga titik pojok pada fungsi objektif $Z = 1.000x + 2.000y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z = 1.000x + 2.000y \\ \hline B(200, 0) & 200.000 \\ \color{green}{C(140, 60)} & \color{green}{260.000} \\ D(0, 88) & 176.000  \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, diketahui bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai sebesar Rp260.000,00.
(Jawaban C)

Berdasarkan definisi invers matriks berordo $2 \times 2$, invers dari $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}$ 
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ B & = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} \\ C & = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$ 
Dengan menggunakan aturan operasi matriks, diperoleh
$\begin{aligned} & 2A –B + C \\ & = 2 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 -3 + (-1) & 6 -(-4) + (-4) \\ -4 -6 + 3 & 2 -5 + 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2\end{bmatrix} \\ B & = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Akan dicari matriks $C$ terlebih dahulu. 
$\begin{aligned} C & = A + B \\ & = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Determinan matriks $C$ adalah
$\det(C) = 7(7) -0(-1) = 49$
Invers dari $C = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\det(C)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}$
Dengan demikian, untuk $C = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$, diperoleh
$C^{-1} = \dfrac{1}{49}\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac17 & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $C$ adalah $\boxed{C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac17 & 0 \\ \frac{1}{49} & \frac17 \end{bmatrix}}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} X & = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} \\ Y & = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} X^T + Y & = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari determinan dari matriks $X^T + Y = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{bmatrix}$ dengan menggunakan Aturan Sarrus.

$$\begin{aligned} \det (X^T + Y) & = 6(5)(7) + 3(7)(3) + 2(4)(5) \\ & – 3(5)(2)- 5(7)(6) -7(4)(3) \\ & = 210 + 63 + 40 -30 -210 -84 \\ & = -11 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari matriks $(X^T + Y)$ adalah $\boxed{-11}$
(Jawaban A) 

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ B & = \begin{bmatrix} a & 3 \\ -2 & b \end{bmatrix} \\ C & = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Karena $AB = C$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 3 \\ -2 & b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a-4 & 3+2b \\ 3a-8 & 9+4b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dari kesamaan entri di baris ke-1 kolom ke-1, diperoleh
$a -4 = -2 \Leftrightarrow a = 2$
Dari kesamaan entri di baris ke-2 kolom ke-2, diperoleh
$9 + 4b = -3 \Leftrightarrow b = \dfrac{-3-9}{4} = -3$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a+b=2+(-3)=-1}$
(Jawaban B)

Sederhanakan matriks $P$. 
$\begin{aligned} P & = 2\begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} – 3\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 12 & -4 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 15 & 3 \\ -6 & -9 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -3 & -7 \\ 4 & 15 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, determinan dari matriks $P$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} \det(P) & = -3(15)- (-7)(4) \\ & = -45 + 28 = -17 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} C & = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \\ D & = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Dari sini, kita peroleh
$C^T = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} E & = 2(D+C^T) \\ & = 2\left(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\right) \\ & = 2\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 16 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Jadi, matriks $E$ adalah $\boxed{\begin{bmatrix} 12 & 0 \\ 14 & 16 \end{bmatrix}}$
(Jawaban A)

Invers dari $C = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\det(C)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}}$
Determinan matriks $C$ dinyatakan oleh
$\det(C) = 4(3) – (-2)(1) = 12 + 2 = 14$
Dengan demikian, untuk $C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$, diperoleh
$C^{-1} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$
(Jawaban D) 

Karena $\det(A) = \det(B)$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3x & 5 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 2x-3 & -1 \\ 6 & x \end{vmatrix} \\ 3x(x+1) – 5(2) & = (2x-3)(x)- (-1)(6) \\ 3x^2+3x-10 & = 2x^2-3x+6 \\ x^2 + 6x -16 & = 0 \\ (x +8)(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Kita dapatkan $x=-8$ atau $x=2$. 
(Jawaban B)

Diketahui:
$$\begin{aligned} P & = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \\ Q & = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix} \end{aligned}$$Karena $XP = Q$, maka $X = QP^{-1}$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} X & = \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{(-1)(2) -1(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & -1 \end{bmatrix} \\ & = \dfrac{1}{-6} \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 4 & 14 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & -1 \end{bmatrix} \\ & = -\dfrac16 \begin{bmatrix} -8+8 & 4+2 \\ 8 -56 & -4-14 \end{bmatrix} \\ & = -\dfrac16\begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -48 & -18 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 8 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 8 & 3 \end{bmatrix}}$ 
(Jawaban B)

Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$
Diketahui: $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}$, sehingga
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\ -13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\ -13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\ -20 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}$
(Jawaban A)

Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ 
Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}$
(Jawaban A)

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 
Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta = -90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) & -\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $y = -10$ dan $x = 2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2, -10$). Untuk itu, $a=2$ dan $b=-10$, sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}$
(Jawaban A)

Apabila titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y = -x$, maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y, -x)$. 
Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1)$.
(Jawaban B)

Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k = -4$. 
Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’)$, maka
$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & = -4(5-(-2)) + (-2) \\ & = -4(7)-2 = -30 \end{aligned}$
$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & = -4(4-(-3)) -3 \\ & = -4(7)-3= -31 \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31)$.
(Jawaban A)

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Bayangan titik $A(-2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0 )$ dan faktor skala 4 adalah
$A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12)$
Bayangan titik $B(2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala 4 adalah
$B'(4(2), 4(3)) = (8, 12)$
Bayangan titik $C(0,-4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala 4 adalah
$C'(4(0), 4(-4)) = (0, -16)$ 
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.
Segitiga tersebut memiliki luas
$L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 28}{2} = 224$
(Jawaban B) 

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(a, b) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ -2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}$
(Jawaban E)

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ 
Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}$
(Jawaban A)

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $(-4, 8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala 1 adalah
$\begin{aligned} & (1(-4-(-8))+(-8), 1(8-12)+12) \\ & = (-4 + 8 + (-8), -4 + 12) = (-4, 8) \end{aligned}$ 
Jadi, dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}$
(Jawaban A)

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = -8$ dan $b = 8$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -8 + (n -1) \times 8 \\ & = -8 + 8n -8 \\ & = 8n-16 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 8n-16}$ 
(Jawaban E)

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_{10}- \text{U}_5}{10 – 5} = \dfrac{32-17}{5} = 3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 17 \\ a + 4(3) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-$20$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_{20} = a + 19b = 5 + 19(3) = 62}$
(Jawaban B)

Barisan di atas merupakan barisan aritmetika dengan $a=4$ dan $b=5$, serta $\text{U}_n = 104$. Dengan menggunakan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a+(n-1)b \\ 104 & = 4+(n-1)(5) \\ n & = \dfrac{104-4}{5}+1 = 21 \end{aligned}$
Jadi, banyak suku dalam barisan bilangan tersebut adalah $\boxed{21}$
(Jawaban B)

Barisan di atas merupakan barisan aritmetika dengan $a=4, n = 21$, serta $\text{U}_n = 104$ (lihat penyelesaian soal nomor 38). 
Dengan menggunakan rumus $\text{S}_n$ barisan aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{21} & = \dfrac{21} {2}(4+104) \\ & = \dfrac{21}{\cancel{2}}(\cancelto{54}{108}) \\ & = 21 \times 54 = 1.134 \end{aligned}$
Jadi, jumlah bilangan dalam barisan tersebut adalah $\boxed{1.134}$
(Jawaban A)

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a+(n-1)b$. Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} U_2+ U_{15}+U_{40} & = 165 \\ (a+b) + (a+14b) + (a+39b) & = 165 \\ 3a + 54b & = 165 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&3 \\ a + 18b & = 55 \\ \text{U}_{19} & = 55 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$19$ adalah $\boxed{55}$
(Jawaban D)

Barisan di atas merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a = \dfrac14$ dan rasio $r = 2$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ & = \dfrac14(2)^{n-1} \\ & = 2^{-2}(2)^{n-1} \\ & = 2^{-2+(n-1)} = 2^{n-3} \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U} _n = 2^{n-3}}$
(Jawaban A)

Diketahui: $\text{U}_4 = 24; r = 2$
Akan dicari nilai dari suku pertama sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_4 & = ar^3 \\ 24 & = a(2)^3 = 8a \Leftrightarrow a = 3 \end{aligned}$
Jumlah delapan suku pertama deret geometri itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_8 &= \dfrac{3(2^8-1)} {2-1} \\ & = 3(255) = \boxed{765} \end{aligned}$
(Jawaban B)

Kasus di atas merupakan kasus barisan geometri. Misalkan banyak lembar kertas sebelum dipotong (mula-mula) dianggap sebagai suku pertama barisan. Banyak lembar kertas pada potongan pertama selanjutnya dianggap sebagai $\text{U}_2$ hingga seterusnya. 
Diketahui: $\text{U}_4 = 160; r = 2$
Akan dicari nilai dari suku pertama sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_4 & = ar^3 \\ 160 & = a(2)^3 \Leftrightarrow a = \dfrac{160}{8} = 20 \end{aligned}$
Banyak potongan kertas pada potongan yang ketujuh dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_8 & = 20(2)^7 = 20(128) = 2.560~\text{lembar}\end{aligned} $
(Jawaban D)

Diketahui: $\text{S}_6 = 189; r = \dfrac12$
Akan dicari nilai dari suku pertama sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(1-r^n)} {1-r} \\ \text{S}_6 & = \dfrac{a(1-r^6)} {1-r} \\ 189 & = \dfrac{a\left(1-\left(\dfrac12\right)^6\right)} {1 -\dfrac12} \\ 189 & = \dfrac{a \left(1 -\dfrac{1}{64}\right)} {\dfrac12} \\ a & = \cancelto{3}{189} \times \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancelto{32}{64}}{\cancel{63}} \\ a & = 3 \times 32 = 96 \end{aligned}$
Dengan demikian, suku ketiganya adalah
$\text{U}_3 = ar^2 = 96 \times \left(\dfrac12\right)^2 = 24$
Jadi, jumlah dari suku pertama dan suku ke-$3$ deret itu adalah $\boxed{\text{U}_1+\text{U}_3=96+24=120}$
(Jawaban E)

Barisan di atas merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a=125$ dan rasio $r = \dfrac15$. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_8 & = 125\left(\dfrac15\right)^7 \\ & = \dfrac{5^3}{5^7} = \dfrac{1}{5^4} = \dfrac{1}{625} \end{aligned}$
Jadi, suku kedelapan barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{1}{625}}$
(Jawaban D)