Persamaan bentuk eksponen sederhana dijumpai dalam tiga bentuk berikut.
Untuk $a \in$ himpunan bilangan real tak nol, selalu berlaku:
- Jika $a^{f(x)} = a^p$, maka $f(x) = p$.
- Jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, maka $f(x) = g(x)$.
- Jika $(f(x))^{a} = (g(x))^{a}$, maka ada sejumlah kemungkinan yang menjadi penyelesaian persamaan, yakni
$$\begin{cases} f(x) = g(x) & (1) \\ f(x) = -g(x)~\text{dengan syarat}~a~\text{genap} & (2) \end{cases}$$
Today Quote
Contoh 1
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan:
a. $7^x = 49$
b. $3^{-x} = 81$
c. $8^x = \sqrt2$
d. $3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}$
Pembahasan:
Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
Jawaban a)
$7^x = 49 \Leftrightarrow 7^x = 7^2 \Rightarrow \therefore x = 2$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 3^{-x} & = 81 \\ 3^{-x} & = 3^4 \\ -x & = 4 \\ \therefore x & = -4 \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 8^x & = \sqrt2 \\ (2^3)^x & = 2^{\frac12} \\ 2^{3x} & = 2^{\frac12} \\ 3x & = \dfrac12 \\ \therefore x & = \dfrac16 \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} 3^{2x-1} & = \dfrac{1}{27} \\ 3^{2x-1} & = 3^{-3} \\ 2x-1 & = -3 \\ 2x & = -2 \\ \therefore x & = -1 \end{aligned}$
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut.
a. $9^{3x-4} = \dfrac{1}{81^{2x-5}}$
b. $4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} = 432$
Pembahasan:
Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = g(x)$.
Jawaban a)
$\begin{aligned} 9^{3x-4} & = \dfrac{1}{81^{2x-5}} \\ 9^{3x-4} & = (81)^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = (9^2)^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = 9^{10-4x} \\ \Rightarrow 3x-4 & = 10-4x \\ 3x+4x & = 10+4 \\ 7x & = 14 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=2}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} & = 432 \\ (4^1 \cdot 4^{2x}) \cdot (3^{4x} \cdot 3^1) & = 432 \\ 4^{2x} \cdot (3^2)^{2x} & = \dfrac{432}{4 \cdot 3} \\ 4^{2x} \cdot 9^{2x} & = 36 \\ 36^{2x} & = 36 \\ \Rightarrow 2x & = 1 \\ x & = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=\dfrac12}$
Agar lebih memahami submateri ini, berikut disajikan soal-soal beserta pembahasannya yang super lengkap. Semoga bermanfaat, ya!
Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma
Soal Nomor 1
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{x+1} = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $0$ E. $-2$
B. $1$ D. $-1$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 2^{x+1} & = 8 \\ 2^{x+1} & = 2^3 \\ \Rightarrow x+1 & = 3 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 2
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2-x} = 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $0$ E. $-2$
B. $1$ D. $-1$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2-x} & = 27 \\ 3^{2-x} & = 3^3 \\ \Rightarrow 2-x & = 3 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2^x = \dfrac{1}{32}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-5\}$ C. $\{0\}$ E. $\{5\}$
B. $\{-3\}$ D. $\{3\}$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 2^{x} & = \dfrac{1}{32} \\ 2^{x} & = 2^{-5} \\ \Rightarrow x & = -5 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{-5\}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 4
Penyelesaian dari persamaan $4^{x+1} = 128$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=1,5$ D. $x=3,0$
B. $x=2,0$ E. $x=3,5$
C. $x=2,5$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 4^{x+1} & = 128 \\ (2^2)^{x+1} & = 2^7 \\ 2^{2x+2} & = 2^7 \\ \Rightarrow 2x+2 & = 7 \\ 2x & = 5 \\ x & = \dfrac52 = 2,5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2,5}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^{4+x} = 0,2^x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$ C. $-3$ E. $2$
B. $-4$ D. $-2$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 5^{4+x} & = 0,2^x \\ 5^{4+x} & = \left(\dfrac15\right)^x \\ 5^{4+x} & = 5^{-x} \\ \Rightarrow 4+x & = -x \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)
Soal Nomor 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left(\dfrac25\right)^{\frac12} = \left(\dfrac52\right)^{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac32$ C. $0$ E. $-\dfrac32$
B. $\dfrac12$ D. $-\dfrac12$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac25\right)^{\frac12} & = \left(\dfrac52\right)^{x+1} \\ \left(\dfrac25\right)^{\frac12} & = \left(\dfrac25\right)^{-x-1} \\ \Rightarrow \dfrac12 & = -x-1 \\ \dfrac32 & = -x \\ x & = -\dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-\dfrac32}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 7
Persamaan yang ekuivalen dengan persamaan $8^x = 2^{y+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x-y-1=0$
B. $3x-y+1=0$
C. $3x+y-1=0$
D. $x-3y-1=0$
E. $x+3y-1=0$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 8^x & = 2^{y+1} \\ 2^{3x} & = 2^{y+1} \\ \Rightarrow 3x & = y+1 \\ 3x-y-1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{3x-y-1=0}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan $3^{x^2-5x-3} = 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-5x-3=0$
B. $x^2-5x-6=0$
C. $x^2-5x=0$
D. $x^2+5x-6=0$
E. $x^2+5x-3=0$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{x^2-5x-3} & = 27 \\ 3^{x^2-5x-3} & = 3^3 \\ \Rightarrow x^2-5x-3 & = 3 \\ x^2-5x-6 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{x^2-5x-6=0}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 9
Penyelesaian dari persamaan $2^{3x-2} = \left(\dfrac14\right)^{x-9}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-4$ D. $x=2$
B. $x=-2$ E. $x=4$
C. $x=0$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 2^{3x-2} & =\left(\dfrac14\right)^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = (2^{-2})^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = 2^{-2x+18} \\ \Rightarrow 3x-2 & = -2x+18 \\ 3x+2x & = 18+2 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{x=4}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{2x-3} + 16^{x-1} = \dfrac{5}{64}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ C. $0$ E. $4$
B. $-2$ D. $2$
Persamaan di atas dapat disederhanakan sehingga memunculkan bentuk $a^{f(x)} = a^p$.
$\begin{aligned} 4^{2x-3} + 16^{x-1} & = \dfrac{5}{64} \\ 4^{2x-3} + (4^2)^{x-1} & = \dfrac{5}{4^3} \\ 4^{2x-3} + 4^{2x-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ 4^{2x} \cdot 4^{-3} + 4^{2x} \cdot 4^{-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ \text{Kali}~4^{3}~\text{pada kedua}~&\text{ruas} \\ 4^{2x} + 4^{2x} \cdot 4 & = 5 \\ (1+4) \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 5 \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 4^{2x} & = 1 \\ 4^{2x} & = 4^0 \\ \Rightarrow 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=0}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 11
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\left\{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2n+6}\right\}^{\frac16} = 5^{-4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $5$ E. $9$
B. $3$ D. $7$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(n)} = a^p$ yang berarti $f(n) = p.$
$\begin{aligned} \left\{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ \left\{(5^{-2})^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ 5^{(-2)(2n+6)\left(\frac{1}{6}\right)} & = 5^{-4} \\ 5^{-\frac{2n+6}{3}} & = 5^{-4} \\ \Rightarrow -\dfrac{2n+6}{3} & = -4 \\ -(2n+6) & = -12 \\ 2n+6 & = 12 \\ 2n & = 6 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{n=3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 12
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $25^{x^2-5x+7} = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x-x^2-15}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$ C. $-2$ E. $6$
B. $-4$ D. $4$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 25^{x^2-5x+7} & = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = (25^{-1})^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = {25}^{x^2-x+15} \\ \Rightarrow \cancel{x^2}-5x+7 & = \cancel{x^2}-x+15\\ -5x+x & = 15-7 \\ -4x & = 8 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 13
Himpunan penyelesaian dari persamaan $10^{2-3x} = 10^{5x-6}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{~\}$ C. $\{1\}$ E. $\{1, 2\}$
B. $\{0\}$ D. $\{2\}$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 10^{2-3x} & = 10^{5x-6} \\ \Rightarrow 2-3x & = 5x-6 \\ -3x-5x & = -6-2 \\ -8x & = -8 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{1\}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 14
Penyelesaian persamaan $3^{2x+1}=81^{x-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $4\dfrac12$ E. $16$
B. $4$ D. $6\dfrac12$
Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2x+1} & =81^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = (3^4)^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = 3^{4x-8} \\ \Rightarrow 2x+1 & = 4x-8 \\ 2x-4x & = -8-1 \\ -2x & = -9 \\ x & = \dfrac92 = 4\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{4\dfrac12}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 15
Jika $x$ memenuhi persamaan $\left(\dfrac{1}{9^{2x}}\right)^{\frac13} = \dfrac{(27^x)^2}{81^{x-2}}$, maka nilai $(-5x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$ C. $0$ E. $12$
B. $-8$ D. $8$
Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{9^{2x}}\right)^{\frac13} & = \dfrac{(27^x)^2}{81^{x-2}} \\ ((3^{-2})^{2x})^{\frac13} & = \dfrac{3^{6x}}{3^{4(x-2)}} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{6x-4x+8} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{2x+8} \\ \Rightarrow -\dfrac43x & = 2x + 8 \\ \text{Kali}~3&~\text{pada kedua ruas} \\ -4x & = 6x+24 \\ -10x & = 24 \\ -5x & = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(-5x) = 12}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 16
Nilai $x$ yang $\dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} = \dfrac{1}{2^{2x+1}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ C. $-\dfrac12$ E. $2$
B. $-1$ D. $\dfrac14$
Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \dfrac{1}{2^{2x+1}} \\ \dfrac{\left((2^2)^{5-x}\right)^{\frac13}}{2^3} & = (2^{-1})^{2x+1} \\ 2^{\frac23(5-x)-3} & = 2^{-2x-1} \\ \Rightarrow \dfrac23(5-x)-3 & = -2x-1 \\ \dfrac23(5-x) & = -2x+2 \\ 2(5-x) & = 3(-2x+2) \\ 10-2x & = -6x+6 \\ -2x+6x & = 6-10 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Jumlah semua akar real dari persamaan $3^{2x^2-7x-7} = 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1,5$ C. $3,5$ E. $5,5$
B. $2,5$ D. $4,5$
Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang ekuivalen dengan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2x^2-7x-7} & = 9 \\ 3^{2x^2-7x-7} & = 3^2 \\ \Rightarrow 2x^2-7x-7 & = 2 \\ \color{blue}{2}x^2\color{red}{-7}x\color{green}{-9} & = 0 \end{aligned}$
Kita peroleh sebuah persamaan kuadrat. Diskriminan persamaan kuadrat ini dapat dicari menggunakan rumus $D = \color{red}{b}^2-4\color{blue}{a}\color{green}{c}$. Kita dapatkan
$\begin{aligned} D & = (-7)^2-4(2)(-9) \\ & = 49+72 \\ & = 121 > 0 \end{aligned}$
Karena diskriminannya bernilai lebih dari $0$, maka akar persamaan kuadratnya adalah dua bilangan real (nyata) berbeda.
Tanpa pemfaktoran, kita dapat menentukan jumlah akar real dengan menggunakan rumus
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{\color{red}{b}}{\color{blue}{a}} \\ \Rightarrow x_1+x_2 & = -\dfrac{-7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua akar real dari persamaan eksponen di atas adalah $\boxed{3,5}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 18
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}= \sqrt[3]{27^{x-5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$ C. $-4$ E. $8$
B. $-6$ D. $0$
Dengan menggunakan sifat pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} 3^{2x+3} & = \sqrt[3]{(3^3)^{x-5}} \\ 3^{2x+3} & = 3^{3 \times (x-5) \times \frac{1}{3}} \\ \cancel{3}^{2x+3} & = \cancel{3}^{x-5} \\ 2x + 3 & = x -5 \\ 2x – x & = -5 -3 \\ x & = -8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x=-8}$
(Jawaban A)
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen (Lanjut)
Soal Nomor 19
Jika diketahui $3^{x+2} = 6^{x-1}$, maka nilai dari $2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = \cdots \cdot$
A. $58$ C. $54$ E. $50$
B. $56$ D. $52$
Ubah bentuk pada masing-masing ruas sehingga mengandung $3^x.$
$\begin{aligned} 3^{x+2} & = 6^{x-1} \\ 9 \cdot 3^x & = \dfrac{1}{6} \cdot (2 \cdot 3)^x \\ 54 \cdot \cancel{3^x} & = 2^x \cdot \cancel{3^x} \\ 2^x & = 54 && (\bigstar) \\ 2^x & = 2 \cdot 3^3 \\ 2^{x-1} & = 3^3 \\ 2^{2(x-1)} & = 3^6 \\ 2^2 & = 3^{\frac{6}{x-1}} && (\bigstar) \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\boxed{2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = 54 + 2^2 = 58}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 20
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left(\dfrac49\right)^{x^2-3}\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1-x} = \dfrac32$, maka $(x_1-x_2)^2 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac94$ C. $\dfrac{41}{4}$ E. $25$
B. $\dfrac{25}{4}$ D. $\dfrac{25}{2}$
Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang ekuivalen dengan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac49\right)^{x^2-3}\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1-x} & = \dfrac32 \\ \left(\dfrac23\right)^{2(x^2-3)}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3(1-x)} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{2x^2-6}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3-3x} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{(2x^2-6) + (3-3x)} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{2x^2-3x-3} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \Rightarrow 2x^2-3x-3 & = -1 \\ 2x^2-3x-2 & = 0 \\ (2x+1)(x-2) & = 0\end{aligned}$
Diperoleh dua akar, yaitu
$2x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\dfrac12$
$x-2=0 \Rightarrow x_2 =2$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (x_1-x_2)^2 & = \left(-\dfrac12-2\right)^2 \\ & = \left(\dfrac52\right)^2 = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$
Catatan: Perhatikan bahwa $(x_1-x_2)^2 = (x_2-x_1)^2$, artinya hasilnya selalu sama meskipun nilai $x_1$ dan $x_2$ ditukar.
(Jawaban B)
Soal Nomor 21
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^3=(x+2)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $1$ E. $-5$
B. $3$ D. $-3$
Persamaan di atas berbentuk $p^{a} = (f(x))^a$ yang berarti $f(x) = p$ (pangkatnya sama, basisnya berbeda).
$\begin{aligned} 5^3 & = (x+2)^3 \\ \Rightarrow 5 & = x+2 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 22
Jika $(1-x)^5 = (2x-1)^5$, maka nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac23$ C. $\dfrac43$ E. $2$
B. $1$ D. $\dfrac53$
Persamaan di atas berbentuk $(f(x))^{p} = (g(x))^{p}$ yang berarti hanya memungkinkan bila $f(x) = g(x)$ karena $p = 5$ ganjil.
$\begin{aligned} (1-x)^5 & = (2x-1)^5 \\ \Rightarrow 1-x & = 2x-1 \\ -x-2x & =-1-1 \\ -3x & = -2 \\ x & = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac23}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 23
Penyelesaian persamaan $(2x-1)^8 = (-2+x)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -1$ saja
B. $x = 0$ saja
C. $x = 1$ saja
D. $x = -1$ atau $x = 1$
E. $\text{tidak ada penyelesaian}$
Persamaan di atas berbentuk $(f(x))^{p} = (g(x))^{p}$ dengan $p$ genap sehingga ada dua kemungkinan penyelesaian, yaitu $f(x) = g(x)$ atau $f(x) = -g(x)$
Kondisi pertama:
$\begin{aligned} f(x) & = g(x) \\ 2x-1 & = -2+x \\ 2x-x &= -2+1 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Kondisi kedua:
$\begin{aligned} f(x) & = -g(x) \\ 2x-1 & = -(-2+x) \\ 2x-1 & = 2-x \\ 2x+x & = 2+1 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1~\text{atau}~x=1}$
(Jawaban D)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pertumbuhan dan Peluruhan
Soal Nomor 24
Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ yang memenuhi
$\begin{cases} 3^a & = 81^{b+2} \\ 125^b & = 5^{a-3} \end{cases}$
Nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$ C. $60$ E. $2018$
B. $29$ D. $64$
Sederhanakan masing-masing persamaan sehingga nantinya terbentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
$\begin{aligned} 3^a & = 81^{b+2} \\ 3^a & = (3^4)^{b+2} \\ 3^a & = 3^{4b+8} \\ a & = 4b + 8 \\ a-4b & = 8 && (\cdots 1) \end{aligned}$
$\begin{aligned} 125^b & = 5^{a-3} \\ (5^3)^b & = 5^{a-3} \\ 5^{3b} & = 5^{a-3} \\ 3b & = a-3 \\ -a+3b & = -3 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-4b & =8 \\ -a+3b & = -3 \end{aligned} \\ \rule{2.9 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} -b & = 5 \\ b & = -5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b = -5$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} a-4\color{red}{b} & = 8 \\ \implies a-4(-5) & = 8 \\ a+20 & = 8 \\ a & = -12 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{ab = (-12)(-5) = 60}$
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma
Soal Nomor 25
Diketahui persamaan $$25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x = 5^{2.021}.$$ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.008$ D. $2.018$
B. $1.010$ E. $2.020$
C. $1.012$
Gunakan sifat-sifat pangkat.
$$\begin{aligned} \underbrace{25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x}_{\text{ada}~5} & = 5^{2.021} \\ 5 \cdot 25^x & = 5^{2.021} \\ 5^1 \cdot (5^2)^x & = 5^{2.021} \\ 5^{1+2x} & = 5^{2.021} \\ \Rightarrow 1+2x & = 2.021 \\ 2x & = 2.020 \\ x & = 1.010 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{1.010}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 26
Jika $x$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}$, maka $ax = \cdots \cdot$
A. $a^2$ C. $a^2b$ E. $a^2b^2$
B. $ab$ D. $ab^2$
Semua ekspresi pada persamaan tersebut berbentuk akar (pangkatnya pecahan) dan dapat dihilangkan dengan memangkatkan kedua ruas dengan $6$.
Sebelumnya, kita dapat ubah bentuk akar menjadi pangkat dengan mengingat bahwa $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}}\right)^6 & = \left(\sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}\right)^6 \\ \dfrac{a^{\frac23 \cdot 6} x^{\frac12 \cdot 6}}{a^{\frac12 \cdot 6} (ab)^{\frac13 \cdot \frac12 \cdot 6}} & = a^{\frac12 \cdot 6} b^{\frac23 \cdot \frac12 \cdot 6} \\ \dfrac{\cancel{a^4}x^3}{\cancel{a^3}(\cancel{a}b)} & = a^3b^2 \\ \dfrac{x^3}{b} & = a^3b^2 \\ x^3 & = a^3b^3 \\ x & = ab \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{ax = a(ab) = a^2b}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 27
Persamaan $64^x + 2^{x+6} = 2^{x+7}$ berlaku untuk $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac76$ C. $\dfrac54$ E. $\dfrac23$
B. $\dfrac65$ D. $\dfrac43$
Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, kita peroleh
$$\begin{aligned} 64^x + 2^{x+6} & = 2^{x+7} \\ (2^6)^x & = 2^{x+7}-2^{x+6} \\ 2^{6x} & = 2^{x+6}(2-1) \\ 2^{6x} & = 2^{x+6} \\ \Rightarrow 6x & = x+6 \\ 5x & = 6 \\ x & = \dfrac65 \end{aligned}$$Jadi, persamaan tersebut berlaku untuk $\boxed{x=\dfrac65}$
(Jawaban B)
Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade
Soal Nomor 28
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b = 2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $3$ C. $19$ E. $23$
B. $7$ D. $21$
Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, kita peroleh
$$\begin{aligned} a^b & = 2^{19} \cdot 2-2^{19} \\ & = 2^{19}(2-1) \\ & = 2^{19} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh $a = 2$ dan $b = 19$ sehingga $\boxed{a+b=2+19=21}$
(Jawaban D)