Tag: Lingkaran

Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $(10, -6)$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$. Untuk $(a, b) = (10, -6)$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{(x-10)^2+(y+6)^2 = 100}$
(Jawaban D)

Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum (kanonik), yakni
$$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ (x+4)^2- 16 + (y-1)^2-1-8 & = 0 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2-25 & = 0 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 &=25 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $(x_p, y_p)$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2.$
Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $(-4, 1)$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5.$
Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$ sehingga
$\boxed{r + k-h = 5 + 1-(-4) = 10}$
(Jawaban A)

Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran.
$\begin{aligned} (x+1)^2+(y-3)^2 &=9 \\ (x+1)^2+(\color{red}{3}-3)^2 & = 9 \\ (x+1)^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya di $(2,3)$ dan $(-4, 3).$
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-x_p)^2+(y-y_p)^2 = r^2$ dan melalui $(a, b)$ adalah $(x-x_p)(a-x_p) + (y-y_p)(b-y_p).$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(2,3)$ adalah
$\begin{aligned} (x+1)(2+1) + (y-3)(3-3) & = 9 \\ 3(x+1) & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(-4,3)$ adalah
$$\begin{aligned} (x+1)(-4+1) + (y-3)(3-3) & = 9 \\-3(x+1) & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4,$ seperti yang tampak pada gambar grafik berikut.
(Jawaban A) 

Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran.
$\begin{aligned} (x-3)^2+(y-2)^2 &=4 \\ (x-3)^2+(\color{red}{2}-2)^2 & = 4 \\ (x-3)^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya di $(1,2)$ dan $(5,2)$.
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-x_p)^2+(y-y_p)^2 = r^2$ dan melalui $(a, b)$ adalah $$(x-x_p)(a-x_p) + (y-y_p)(b-y_p) = r^2.$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(1,2)$ adalah
$\begin{aligned} (x-3)(1-3) + (y-2)(2-2) & = 4 \\-2(x-3) & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(5,2)$ adalah
$\begin{aligned} (x-3)(5-3) + (y-2)(2-2) & =4 \\ 2(x-3) & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5,$ seperti yang tampak pada gambar berikut.

(Jawaban D) 

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh
$$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}$$Diketahui:
$A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}(12)(x-2)+\dfrac{1}{2}(-6)(y-1) + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y+1 = 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
(Jawaban A)

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh
$$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}$$Diketahui:
$A =-6, B = 4$, $C = 11$, $x_1 = 2,$ dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}(-6)(x+2)+\dfrac{1}{2}(4)(y-1) + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y-3= 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
(Jawaban C) 

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh
$$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}$$Diketahui:
$A =-6, B = 4$, $C =-12,$ $x_1 = 7$, dan $y_1 = 1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}(-6)(x+7)+\dfrac{1}{2}(4)(y+1)-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
(Jawaban D) 

Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $(x_p, y_p) = (1,2).$
Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti,
$$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan:
$\boxed{r = \dfrac{|ax_p + by_p + c|} {\sqrt{a^2+b^2}}}$
yaitu
$\begin{aligned} r & = \dfrac{-1(1) + 1(2) + 0}{\sqrt{(-1)^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2 \\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $(1,2)$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
(Jawaban B)

Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$
Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$
Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum (kanonik).
$$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ (x^2- 8x) + (y^2 + 6y)-20 & = 0 \\ (x- 4)^2-16 + (y+3)^2-9-20 & = 0 \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $(4,-3).$
Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,-3)$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y-(-3) & =-\dfrac{1}{2}(x- 4) \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$
Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya.
(Jawaban A)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $(0,0)$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25.$
Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya.
Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya.
Untuk itu, pasangan $(x, y) \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah
$\begin{aligned} & \{(0, 5), (0,-5), (5, 0), (-5, 0), (3, 4), \\ & (3,-4), (-3, 4), (-3,-4), (4, 3), \\ & (4,-3), (-4, 3), (-4,-3)\} \end{aligned}$
Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$
(Jawaban D)

Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. 
$$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ (x-1)^2-1 + (y + 3)^2-9-10 & = 0 \\ (x-1)^2 + (y+3)^2 & = 20 \end{aligned}$$Lingkaran tersebut berpusat di $(1,-3)$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5.$
Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2.$
Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2.$
Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $(1,-3)$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y-y_p & = m(x-x_p) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-(-3) & = 2(x-1) \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu
$\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$
(Jawaban D)

Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum:
$$\begin{aligned} (x^2+6x) + (y^2-8y) + 21 & = 0 \\ (x+3)^2-9 + (y-4)^2-16 + 21 & = 0 \\ (x+3)^2 + (y-4)^2 = 4 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $(-3, 4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2.$
Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum:
$$\begin{aligned} (x^2+10x) + (y^2-8y) + 25 & = 0 \\ (x+5)^2-25 + (y-4)^2-16 + 25 & = 0 \\ (x+5)^2 + (y-4)^2 & = 16 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $(-5, 4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$
Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-(-5) = 2.$
Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2.$
Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam.
Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut.
(Jawaban D)

Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$.
Diketahui $P(x, y), A(-2,1), B(4,-3).$
Dengan menggunakan rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, diperoleh persamaan
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}\right)^2 + & \left(\sqrt{(x-4)^2+(y+3)^2}\right)^2 \\ & = \left(\sqrt{(-2-4)^2+(1+3)^2}\right)^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya.
$\begin{aligned} & (x^2+4x+4)+ (y^2-2y+1)+ \\ & (x^2-8x+16)+ (y^2+6y+9) = 52 \end{aligned}$
Sederhanakan bentuk aljabarnya.
$\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$
Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat.
Lingkaran ini memotong sumbu $X$ saat $y = 0$, sehingga
$\begin{aligned} x^2+0^2-2x+2(0)-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$
Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas.
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-11)}} {2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$
Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu $X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$.
(Jawaban B)

Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $(x_1,y_1)$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$.
Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $(9,-6)$ adalah
$\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa berikut.

Jika titik pusat lingkaran di $(2, 3)$, maka jarak titik ini ke titik singgung $(2, 7)$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4^2 = 16.$
Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah:
$\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7  = 0 \end{aligned}$
Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B.

Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $(x_1, y_1)$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25.$
Agar nilai tersebut nol, kita tuliskan 
$\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$
(Jawaban E)

Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. 
$$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ (x- 3)^2- 9 + (y-1)^2-1+k&=0 \\ (x-3)^2 + (y-1)^2 & =10- k \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $P(3,1)$ dan $r = \sqrt{10-k}.$
Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P(3,1)$ ke titik $C(8,1)$ membentuk garis horizontal (mendatar). Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal sehingga segi empat $PABC$ berupa layang-layang. 
Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya.

Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A.$
Diketahui:
$\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$
Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. 
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-(10-k)} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ (10-k) (k+15) & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ (k+6)(k-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1.$
Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C.

Karena lingkaran memotong sumbu $Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran.
$\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-16(0)-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ y(y+12) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $(0,0)$ atau $(0,12)$.
Diketahui: $A =-16, B =-12$, $C = 0$, $x_1 = y_1 = 0.$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P(0,0)$ adalah
$$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1)+C & = 0 \\ 0x + 0y + \dfrac{1}{2}(-16)(x + 0)+\dfrac{1}{2}(-12)(y+0) + 0 & = 0 \\ -8x-6y  & = 0 \\ 4x + 3y  & = 0 \end{aligned}$$
Diketahui: $A =-16, B =-12$, $C = 0,$ $x_1 = 0, y_1 = 12.$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P(0,12)$ adalah
$$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1)+C & = 0 \\ 0x + 12y + \dfrac{1}{2}(-16)(x + 0)+\dfrac{1}{2}(-12)(y+12) + 0 & = 0 \\ 12y-8x-6y-72 & = 0 \\ 6y & = 8x + 72 \\ 3y & = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A.
Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya.

Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut.
Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $(-r, r).$
Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0,$ maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh
$\begin{aligned} 2(-r)+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$
Pusat lingkaran di $(-5, 5)$.
Persamaan lingkarannya adalah
$$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2 \\ (x+5)^2+(y-5)^2 & = 5^2 \\ (x^2+10x+25)+(y^2-10y+\cancel{25}) & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$$(Jawaban C)

Persamaan lingkaran $(x+1)^2+y^2=9$ berpusat di $(x_1, y_1) = (-1, 0)$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$.
Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} r & = 3 \\ \left|\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| & = 3 \\ \left|\dfrac{a(-1)+b(0)+(-2a)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| & = 3 \\ \left|\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$
(Jawaban B)

Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $(0,6)$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu
$6 = 2x \Leftrightarrow x = 3.$
Jadi, pusat lingkaran $L$ di $(3,6).$ 
Panjang jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $(3,26$ ke $(0,6)$, yaitu $r = 3.$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-3)^2 + (y-6)^2 &= 3^2 \\ (x^2-6x + 9) + (y^2-12y + 36) & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban E)

Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran.
Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan
$$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ (x-1)^2-1+(y-2)^2-4-10 & = 0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 & = 15 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat di $(1, 2).$
Persamaan garis yang melalui $(1, 2)$ dan $(a, b)$ adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ (y-2)(a-1) & = (b-2)(x-1) \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ (b-2)x+(1-a)y+(2a-b) & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{(b-2)x+(1-a)y+(2a-b) = 0}$
(Jawaban E)

Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran itu sehingga diperoleh
$$(0)^2 + (4)^2 = 16 > 4.$$Ini artinya titik $(0, 4)$ berada di luar lingkaran.
Misalkan persamaan garis singgung yang dimaksud berbentuk $y = mx + c.$ Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada persamaan garis sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 4 & = m(0) + c \\ c & = 4. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $y = mx + 4.$
Berikutnya, substitusikan pada persamaan lingkaran.
$$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx + 4)^2 & = 4 \\ x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 & = 4 \\ \underbrace{(1+m^2)}_{a}x^2 + \underbrace{8m}_{b}x + \underbrace{12}_{c} & = 0. \end{aligned}$$Karena garis menyinggung lingkaran, maka persamaan kuadrat di atas harus berdiskriminan $0.$
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (8m)^2-4(1+m^2)(12) & = 0 \\ 64m^2-48-48m^2 & = 0 \\ 16m^2 & = 48 \\ m^2 & = 3 \\ m & = \pm \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $y = \sqrt3x + 4$ atau $y = -\sqrt3x + 4.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x^2+y^2-4x-14y + 44 & = 0 \\ (x^2-4x)+(y^2-14y) + 44 & = 0 \\ (x-2)^2-4 + (y-7)^2-49 + 44 & = 0 \\ (x-2)^2 + (y-7)^2 & = 9. \end{aligned}$$Jadi, lingkaran itu berpusat di $(2, 7)$ dan berjari-jari $\sqrt9 = 3.$Titik $(14, 2)$ berada di luar lingkaran tersebut karena substitusi pada ruas kiri menghasilkan nilai lebih dari $9.$
Untuk mencari jarak terdekat titik ini ke lingkaran, cari dulu jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, kemudian dikurangi dengan panjang jari-jarinya.
$$\begin{aligned} (14, 2) \to (2, 7) \Rightarrow |d| & = \sqrt{(14-2)^2 + (2-7)^2} \\ & = \sqrt{144 + 25} \\ & = 13 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran sama dengan $3$ sehingga jarak terdekat titik $(14, 2)$ ke lingkaran tersebut adalah $\boxed{13-3=10}$
(Jawaban D)

Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ dengan $(a, b)$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$.
Jawaban a)
Persamaan $(x-4)^2 + (y-1)^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $(x- 4)^2 + (y-1)^2 = 36$
Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $(4, 1)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6.$
Jawaban b)
Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut.
$$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ (x^2-4x)+(y^2-8y) + 25 & = 0 \\ (x-2)^2-4 + (y-4)^2-16 + 25 & = 0 \\ (x-2)^2 + (y-4)^2 & =-5 \end{aligned}$$Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran.
Jawaban c)
Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran.

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah
$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}$
Jawaban a)
Diketahui: $d = 10, r = 5$, $r^2 = 25, a =-5, b = 5.$
Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter.
Persamaan lingkarannya adalah
$\boxed{(x+5)^2+(y-5)^2 = 25}$
atau bila diuraikan, maka akan menjadi
$\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$
Jawaban b)
Diketahui: $r = 7, r^2 = 49$, $a = 1, b = 0.$
Persamaan lingkarannya adalah
$\boxed{(x-1)^2+y^2 = 49}$
atau bila diuraikan, maka akan menjadi
$\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$
Jawaban c)
Diketahui: $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0.$
Catatan: Titik asal disebut juga titik pusat koordinat, yaitu $(0, 0).$
Persamaan lingkarannya adalah
$\boxed{x^2+y^2 = 3}$

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah
$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}$
Jawaban a)
Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$.
Jadi, kooordinat titik pusatnya di $(-5,3)$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang.
Jawaban b)
Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum (kanonik).
$$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ (x^2+10x) + (y^2-8y) + 8 & = 0 \\ (x+5)^2- 25 + (y-4)^2-16 + 8 & = 0 \\ (x+5)^2 + (y-4)^2 = 33 \end{aligned}$$Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.$
Jadi, koordinat titik pusatnya di $(-5,4)$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang.
Jawaban c)
Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum (kanonik).
$\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ (x^2+4x) + (y^2-3y) & = 0 \\ (x + 2)^2-4 + \left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ (x + 2)^2 + \left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$
Diperoleh
$a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$.
Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left(-2,\dfrac{3}{2}\right)$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang.

Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $(x, y)$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran.
Jawaban a)
Titik $A(2,5)$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$$\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (2-2)^2 + (5+5)^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu.
Jawaban b)
Titik $B(-4,-3)$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned} & (x-2)^2 + (y+5)^2 \\ & = (-4-2)^2 + (-3+5)^2 \\ & = (-6)^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu.
Jawaban c)
Titik $C(0,-4)$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned} & (x-2)^2 + (y+5)^2 \\ & = (0-2)^2 + (-4+5)^2 \\ & = (-2)^2 + 1^2 \\ & = 5 < 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $C$ berada di dalam lingkaran itu.
Jawaban d)
Titik $D(8,-7)$. Substitusikan $x = 8$ dan $y =-7$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned} & (x-2)^2 + (y+5)^2 \\ & = (8-2)^2 + (-7+5)^2 \\ & = 6^2 + (-2)^2 \\ & = 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $D$ berada pada lingkaran itu.
Jawaban e)
Titik $E(-1, 2)$. Substitusikan $x =-1$ dan $y = 2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$$\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (-1-2)^2 + (2+5)^2 \\ & = (-3)^2 + 7^2 \\ & = 58 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu.
Jawaban f)
Titik $F(6,-2)$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$$\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (6-2)^2 + (-2+5)^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 < 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $F$ berada di dalam lingkaran itu.
Grafik lingkaran dan posisi titiknya pada bidang koordinat ada pada gambar berikut.

Jika diameter lingkaran melalui kedua titik itu, maka panjang diameternya sama dengan panjang garis yang ditarik dari kedua titik tersebut, yaitu
$\begin{aligned} d & = \sqrt{(5-2)^2+(-1-4)^2} \\ & =\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \end{aligned}$
Jari-jarinya adalah
$r = \dfrac{1}{2}d = \dfrac{1}{2}\sqrt{34}.$
Pusat lingkaran di titik tengah garisnya:
$$\begin{aligned} (x_p, y_p) & = \left(\dfrac{5+2}{2}, \dfrac{-1+4}{2}\right) \\ & = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right) \end{aligned}$$Persamaan lingkaran yang berpusat di $(x_p, y_p) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ dan berjari-jari $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{34}$ adalah
$$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2&=r^2 \\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2& = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{34}\right)^2 \\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2& = \dfrac{17}{2} \end{aligned}$$Perhatikan grafiknya agar lebih jelas.

Pertama, sketsakan koordinat empat titik sudut persegi, lalu hubungkan dengan garis seperti berikut.

Kita peroleh bahwa persegi itu memiliki panjang sisi $4$.
Persamaan Lingkaran Dalam
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Lingkaran di dalam persegi tersebut memiliki panjang jari-jari yang nilainya setengah kali dari panjang sisinya, yaitu $\dfrac12 \times 4 = 2$.
Titik pusat lingkaran sama dengan titik pusat persegi, atau titik tengah dari titik ujung diagonalnya, yaitu $\left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{-1+3}{2}\right) = (4, 1)$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(4, 1)$ dan berjari-jari $2$ adalah
$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ \Rightarrow (x-4)^2+(y-1)^2 & = 4 \end{aligned}$
Persamaan Lingkaran Luar
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Lingkaran di luar persegi tersebut memiliki panjang diameter yang nilainya sama dengan panjang diagonal persegi, yaitu $\sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt2$, berarti panjang jari-jarinya $2\sqrt2$.
Titik pusat lingkaran sama dengan titik pusat persegi, atau titik tengah dari titik ujung diagonalnya, yaitu $\left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{-1+3}{2}\right) = (4, 1)$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(4, 1)$ dan berjari-jari $2\sqrt2$ adalah
$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ \Rightarrow (x-4)^2+(y-1)^2 & = (2\sqrt2)^2 = 8 \end{aligned}$

Persamaan lingkaran yang memiliki $r = 2$ dan pusat di $(0, 0)$ adalah
$x^2 + y^2 = 4 \Leftrightarrow y^2 = 4-x^2~~~\bigstar$
Persamaan lingkaran yang memiliki $r = 2$ dan pusat di $(2, 0)$ adalah
$(x-2)^2 + y^2 = 4$
Substitusikan ($\bigstar$) pada persamaan di atas,
$\begin{aligned} (x-2)^2 + (4-x^2) & = 4 \\ (x^2-4x + 4) + (4-x^2) & = 4 \\-4x + 8 & = 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 1$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x^2 + y^2 = 4$.
$\begin{aligned} x^2 + y^2 & = 4 \\ (1)^2 + y^2 & = 4 \\ y^2 & = 3 \\ y & = \pm \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, titik potong kedua lingkaran itu ada dua, yaitu $(1, \sqrt{3})$ dan $(1,-\sqrt{3})$.

Substitusikan $y = kx$ ke persamaan lingkaran itu, sehingga ditulis
$\begin{aligned} x^2 + y^2-10x + 16 & = 0 \\ x^2 + (kx)^2-10x + 16 & = 0 \\ (1 + k^2)x^2-10x + 16 & = 0 \end{aligned}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan kuadrat dengan $a = 1 + k^2, b =-10, c = 16$. Diskriminan dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-10)^2-4(1 + k^2)(16) \\ & = 100-64-64k^2 \\ & = 36- 64k^2 \end{aligned}$
Jawaban a)
Agar garis dan lingkarannya berpotongan di dua titik, nilai $D$ harus lebih dari $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & < \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\-\dfrac{3}{4} & < k <\dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~|-\dfrac{3}{4} < k <\dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$
Jawaban b)
Agar garis dan lingkarannya bersinggungan, nilai $D$ harus sama dengan $0$.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ 36-64k^2 & = 0 \\-64k^2 & =-36 \\ k^2 & = \dfrac{36}{64} \\ k & = \pm \dfrac{6}{8} = \pm \dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~|~k = \dfrac{3}{4}~\text{atau}~k =-\dfrac{3}{4}\right\}$
Jawaban c)
Agar garis dan lingkarannya tidak berpotongan, nilai $D$ harus kurang dari $0$.
$\begin{aligned} D & < 0 \\ 36- 64k^2 & < 0 \\-64k^2 & <-36 \\ k^2 & > \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & <-\dfrac{3}{4}~\text{atau}~k > \dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~|~k <-\dfrac{3}{4}~\text{atau}~k > \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$

Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, dengan $(a, b)$ titik pusat lingkaran.
Dengan substitusi nilai $(x, y)$ pada persamaan itu, diperoleh
$$\begin{aligned} A(2,-4): (2-a)^2 + (-4-b)^2 & = r^2 && (\cdots 1) \\ B(5,-1): (5-a)^2 + (-1-b)^2 & = r^2 && (\cdots 2) \\ C(2,2): (2-a)^2 + (2-b)^2 & = r^2 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (-4-b)^2-(2-b)^2 & = 0 \\ (-4-b-2+b)(-4-b+2-b) & = 0 \\-6(-2b-2) & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$$Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan.
$$\begin{aligned} (2-a)^2 + (-4+1)^2 & = r^2 \\ (5-a)^2 + (-1+1)^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ (2-a)^2 + 9-(5-a)^2 & = 0 \\ (4- 4a + a^2) + 9-(25-10a + a^2) & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1.
$\begin{aligned} (2-a)^2 + (-4-b)^2 & = r^2 \\ (2-2)^2 + (-4+1)^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9}$
Gambar grafiknya sebagai berikut.

Jawaban a)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$.
Lingkaran ini memiliki pusat di $(0, 0)$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-0 & = 2(x-0) \pm 2\sqrt{1+(2)^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$.
Jawaban b)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$.
Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu
$\begin{aligned} ((x-2)^2-4) + y^2-2 & = 0 \\ (x-2)^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$
Lingkaran ini memiliki pusat di $(2, 0)$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$$\begin{aligned} y-0 & =-1(x-2) \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+(-1)^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$.
Jawaban c)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$.
Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu
$$\begin{aligned} \left[\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94\right] + [(y+1)^2-1]-3 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + (y+1)^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + (y+1)^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + (y+1)^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left(\dfrac32,-1\right)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$$\begin{aligned} y-(-1)& = 1\left(x-\dfrac32\right) \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+(1)^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$.
Jawaban d)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$.
Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu
$\begin{aligned} \left[\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$
Lingkaran ini memiliki pusat di $\left(\dfrac32, 0\right)$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$$\begin{aligned} y-0 & =-3\left(x-\dfrac32\right) \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+(-3)^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$.
Jawaban e)
Diketahui persamaan lingkaran $(x+2)^2+(y-1)^2=8$.
Lingkaran ini memiliki pusat di $(-2, 1)$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$$\begin{aligned} y-1 & = 1(x-(-2)) \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+(1)^2} \\ y & = x+3 \pm 4 \end{aligned}$$Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1.$
Jawaban f)
Diketahui persamaan lingkaran $(x-1)^2+(y-5)^2=10$.
Lingkaran ini memiliki pusat di $(1, 5)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-5 & = 2(x-1) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+(2)^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$.

Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni
$$\begin{aligned} ((x-2)^2-4)+((y+4)^2-16)+10 & =0 \\ (x-2)^2+(y+4)^2 & = 10 \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki titik pusat di $(2,-4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$.
Jawaban a)
Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} y-b & = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-(-4) & =3(x-2) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + (3)^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$.
Jawaban b)
Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} y-b & = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-(-4) & =-\dfrac13(x-2) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left(-\dfrac13\right)^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23  \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$.

Jawaban a)
Karena pusatnya di $(-3,2)$ dan menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $X$ ke sumbu $Y$, yaitu $r = 3$.
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x + 3)^2 + (y- 2)^2 & = 3^2 \\ (x+3)^2 + (y-2)^2 & = 9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{(x+3)^2 + (y-2)^2 = 9}$
Jawaban b)
Karena pusatnya di $(4,2)$ dan menyinggung sumbu $X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $Y$ ke sumbu $X$, yaitu $r = 2$.
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 2^2 \\ (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{(x-4)^2 + (y-2)^2 = 4}$

Persamaan garis yang melalui titik pusat $(0,0)$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya.
Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut.
$$\begin{aligned} (x-3)^2 + (y-4)^2 & = 25 \\ (x-3)^2 + (mx-4)^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ (1 + m^2)x^2- (8m + 6)x & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0.$
Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$.
$\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ (-8m-6)^2- 4(1 + m^2)(0) & = 0 \\ (-8m- 6)^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} \\ m & =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$

(Langkah 1: Menentukan titik potong kedua lingkaran)
Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah:
$\begin{aligned} (x-1)^2 + (y-1)^2 & = 36 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 & = 117 \end{aligned}$
Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (x-1)^2-(x + 4)^2 & =-81 \\ (x^2-2x + 1)-(x^2 + 8x + 16) & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 36$, sehingga didapat
$\begin{aligned} \left(\dfrac{33}{5}-1\right)^2 + (y-1)^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$
Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left(\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$ dan $\left(\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$.
(Langkah 2: Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud)
Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $(x_p, y_p)$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti,
$\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-x_p)^2 + (y + x_p- 5)^2 & = r^2 \end{aligned}$
Karena lingkaran melalui titik $\left(\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$ dan $\left(\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{33}{5}-x_p\right)^2 + \left(\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right)^2 & = r^2 \\ \left(\dfrac{33}{5}-x_p\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right)^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan
$\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right)^2 \\ & = \left(-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right)^2 \end{aligned}$
Jabarkan, sehingga nantinya didapat
$x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$
Ini berarti, $y_p = 1$.
Jadi, titik pusat lingkarannya di $(4, 1)$.
(Langkah 3: Menentukan persamaan lingkaran)
Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2= r^2$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} r^2 & = \left(\dfrac{33}{5}-4\right)^2 + \left(1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right)^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran itu adalah
$\boxed{(x-4)^2 + (y-1)^2 = \dfrac{57}{5}}$
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum (kanonik) sebagai berikut. 
$$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ (x^2+6x) + (y^2+8y)- 37 & = 0 \\ (x+3)^2-9+(y+4)^2-16-37 &= 0 \\ (x+3)^2 + (y+4)^2 & = 62 \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $(-3,-4).$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(-3,-4)$ dan melalui titik $(2,1)$ adalah
$r^2 = (2 + 3)^2 + (1 + 4)^2 = 50.$
Jadi, diperoleh $r^2 = 50.$
Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\boxed{(x+3)^2 + (y+4)^2 = 50}$

Jawaban a)
Perhatikan bahwa $(x-13)^2 + (y-4)^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $(13, 4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$
Posisikan titik $(13, 4)$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $(9, 4), (17, 4), (13, 8)$, dan $(13, 0)$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran.

Jawaban b)
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $(x, y)$ yang diberikan ke bentuk $(x-13)^2 + (y-4)^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut:
Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran (sinar lampu sorot);
Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran (tepi sinar lampu sorot);
Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran (sinar lampu sorot);
Untuk koordinat $(11, 4)$, diperoleh
$\begin{aligned} (11-13)^2 + (4-4)^2 & = (-2)^2 + 0^2 \\ & = 4 < 16 \end{aligned}$
Jadi, Handi berada di dalam sinar lampu sorot.
Untuk koordinat $(8, 5)$, diperoleh
$\begin{aligned} (8-13)^2 + (5-4)^2 & = (-5)^2 + 1^2 \\ & = 26 > 16 \end{aligned}$
Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot.
Untuk koordinat $(15, 5)$, diperoleh
$$\begin{aligned} (15-13)^2 + (5-4)^2 & = (2)^2 + 1^2 \\ & = 5 < 16 \end{aligned}$$Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi.

Jawaban a)
Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $(2, 3)$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$.
Persamaannya adalah $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 2500.$
Jawaban b)
Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $(x-2)^2 + (y-3)^2$ menghasilkan
$\begin{aligned} (40-2)^2 + (20-3)^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$
Karena itu, objek yang berada pada koordinat$(40, 20)$ terdeteksi oleh radar itu.

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$
Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} x^2+(x+10)^2 & = 52 \\ x^2 + (x^2+20x+100) & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ (x+6)(x+4) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4.$
Untuk $x=-6$, diperoleh
$y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4.$
Untuk $x=-4$, diperoleh
$y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6.$
Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $(-6,4)$ dan $(-4, 6).$