Sebelumnya, kita sudah mempelajari persamaan trigonometri dasar dan lanjutan. Soal-soal beserta pembahasannya dapat dilihat pada tautan berikut.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ untuk bilangan real tak nol $a, b, c$ dapat diselesaikan dengan syarat $a^2+b^2 \geq c^2.$ Bentuk tersebut ekuivalen dengan $k \cos (x-p)$ dengan keterangan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k & = \sqrt{a^2+b^2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a}, -\pi \leq x \leq \pi \end{aligned}$$Selain itu, bisa juga dituliskan dalam bentuk $k \sin (x+p)$ dengan keterangan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k & = \sqrt{a^2+b^2} \\ \tan p & = \dfrac{a}{b}, -\pi \leq x \leq \pi \end{aligned}$$Perbedaannya hanya pada bentuk perbandingan tangennya. Perhatikan juga bahwa besar sudut $p$ yang akan diambil tergantung dari tanda kepositivan koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ mengikuti tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Koef.}~\cos x & \text{Koef.}~\sin x & \text{Kuad}\text{ran}~p \\ \hline + & + & \text{I} \\ \hline – & + & \text{II} \\ \hline – & – & \text{III} \\ \hline + & – & \text{IV} \\ \hline \end{array}$$
Bukti:
Ekspansi dari bentuk $k \cos (x-p)$ dengan menggunakan identitas selisih sudut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k \cos (x-p) & = k \left(\cos x \cos p + \sin x \sin p\right) \\ & = (k \cos p) \cos x + (k \sin p) \sin x \end{aligned}$$Misal
$$\begin{cases} a = k \cos p \\ b = k \sin p \end{cases}$$Kedua persamaan dibandingkan dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{k \sin p}{k \cos p} & = \dfrac{b}{a} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} \end{aligned}$$Kedua persamaan dikuadratkan, lalu dijumlahkan, dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (k^2 \cos^2 p)+(k^2 \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(\cos^2 p + \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(1) & = a^2+b^2 \\ k & = \sqrt{a^2+b^2}. \end{aligned}$$
Ekspansi dari bentuk $k \sin (x+p)$ dengan menggunakan identitas selisih sudut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k \sin (x+p) & = k \left(\sin x \cos p + \cos x \sin p\right) \\ & = (k \cos p) \sin x + (k \sin p) \cos x \end{aligned}$$Misal
$$\begin{cases} a = k \sin p \\ b = k \cos p \end{cases}$$Kedua persamaan dibandingkan dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{k \sin p}{k \cos p} & = \dfrac{a}{b} \\ \tan p & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$$Kedua persamaan dikuadratkan, lalu dijumlahkan, dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (k^2 \cos^2 p)+(k^2 \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(\cos^2 p + \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(1) & = a^2+b^2 \\ k & = \sqrt{a^2+b^2}. \end{aligned}$$(Terbukti)
Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)
Perhatikan beberapa contoh soal tentang cara mengubah bentuk trigonometri tersebut.
Contoh 1
Ubah $\sqrt3 \cos x + \sin x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.
Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=1$ sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \\ p & = \color{blue}{30^{\circ}}. \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos x + \sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x-\color{red}{30^{\circ}})$.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Contoh 2
Ubah $\sin x + \cos x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.
Diketahui $a = 1$ dan $b=1$ sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt{1+1} = \color{red}{\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{1} = 1 \\ p & = \color{blue}{45^{\circ}}. \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sin x + \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{\sqrt2} \cos (x-\color{red}{45^{\circ}})$.
Contoh 3
Ubah $\cos x -\sqrt3 \sin x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.
Diketahui $a = 1$ dan $b=-\sqrt3$ sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (-\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{1+3} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-\sqrt3}{1} = -\sqrt3 \\ p & = 300^{\circ}~\text{atau}~\color{blue}{p = -60^{\circ}}. \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\cos x -\sqrt3 \sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x+\color{red}{60^{\circ}})$.
Selain menggunakan rumus tersebut, kita juga dapat menggunakan cara lain, yaitu dengan memunculkan bentuk tangen sudut yang senilai dengan koefisien $\cos x$ atau $\sin x$, kemudian menggunakan identitas penjumlahan atau selisih sudut untuk mengubahnya menjadi persamaan dasar trigonometri sederhana. Pada pembahasan soal, cara ini kita sebut sebagai Alternatif 1, sedangkan cara yang melibatkan penggunaan rumus seperti penjelasan di atas disebut sebagai Alternatif 2.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri
Menentukan Nilai Optimum Fungsi
y = a cos x + b sin x
Jika diberikan fungsi trigonometri berbentuk $y = a \cos x + b \sin x$, maka nilai optimumnya ditentukan sebagai berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} y_{\text{maks}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ y_{\text{min}} & = -\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}}$$
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan eksklusif tentang penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$. Semoga bermanfaat.
Quote by Sir Martin Hairer
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Persamaan $(p-3) \cos x + (p-1) \sin x = p+1$ dapat diselesaikan untuk $p$ dalam batas $\cdots \cdot$
A. $-9 \le p \le -1$
B. $-9 \le p \le 1$
C. $1 \le p \le 9$
D. $p \le 1$ atau $p \ge 9$
E. $p \le -9$ atau $p \ge 1$
Persamaan berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ memiliki penyelesaian apabila $a^2 + b^2 \geq c^2$.
Dengan demikian, agar persamaan $(p-3) \cos x + (p-1) \sin x = p+1$ memiliki penyelesaian, maka
$$\begin{aligned} (p-3)^2 + (p-1)^2 \ge (p+1)^2 \\ (p^2-6p+9)+(p^2-2p+1) \ge p^2+2p+1 \\ 2p^2-8p+10 \ge p^2+2p+1 \\ p^2-10p+9 \ge 0 \\ (p-1)(p-9) \ge 0 \end{aligned}$$Dari pertidaksamaan terakhir, diperoleh $p \le 1$ atau $p \ge 9.$
Jadi, nilai $p$ harus berada pada batas $\boxed{p \le 1~\text{atau}~p \ge 9}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Batas-batas nilai $p$ agar persamaan $(p-2) \cos x-(p-1) \sin x = p$ untuk $x \in \mathbb{R}$ dapat diselesaikan adalah $\cdots \cdot$
A. $-2 \le p \le 3$
B. $1 \le p \le 5$
C. $p \le 1$ atau $p \ge 5$
D. $p \le -5$ atau $p \ge 1$
E. $p \le 2$ atau $p \ge 3$
Persamaan berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ memiliki penyelesaian apabila $a^2 + b^2 \geq c^2$.
Dengan demikian, agar persamaan $(p-2) \cos x-(p-1) \sin x = p$ memiliki penyelesaian, maka
$$\begin{aligned} (p-2)^2 + (-(p-1))^2 \ge p^2 \\ (p^2-4p+4)+(p^2-2p+1) \ge p^2 \\ 2p^2-6p+5 \ge p^2 \\ p^2-6p+5 \ge 0 \\ (p-5)(p-1) \ge 0 \end{aligned}$$Dari pertidaksamaan terakhir, diperoleh $p \le 1$ atau $p \ge 5$.
Jadi, nilai $p$ harus berada pada batas $\boxed{p \le 1~\text{atau}~p \ge 5}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari $-\sin x + \cos x = 1$ untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0^{\circ}, 90^{\circ}, 270^{\circ}\}$
B. $\{0^{\circ}, 90^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$
C. $\{0^{\circ}, 90^{\circ}, 360^{\circ}\}$
D. $\{0^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$
E. $\{90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\}$
Diketahui $-\sin x + \cos x = 1.$
Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = 1$, berarti $A = 45^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} 1 \cdot \cos x-\sin x & = 1 \\ \tan A \cos x-\sin x & = 1 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos x-\sin x & = 1 \\ \sin A \cos x-\cos A \sin x & = 1 \cdot \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-x) & = \cos A \\ \sin (45^{\circ}-x) & = \cos 45^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 45^{\circ}) \\ -\sin (x-45^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \sin (x-45^{\circ}) & = \sin -45^{\circ} \\ \Rightarrow x-45^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{0^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{360^{\circ}}_{k = 1} \\ \Rightarrow x-45^{\circ} & = (180-(-45^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{270^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{0^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$.
Alternatif 2:
Diketahui $a = 1$ dan $b=-1$, serta $c = 1$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{1+1} = \color{blue}{\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{1} = -1 \\ p & = 315^{\circ}~\text{atau}~\color{red}{p = -45^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $-\sin x + \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{\sqrt2} \cos (x \color{red}{+45^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$\sqrt2 \cos (x + 45^{\circ}) = 1.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x + 45^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x + 45^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x + 45^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{0^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{360^{\circ}}_{k = 1} \\ \Rightarrow x + 45^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{270^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{0^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$.
(Jawaban D)
Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt3 \cos x-\sin x = \sqrt2$ untuk $0 < x < 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{15^{\circ}, 75^{\circ}\}$ D. $\{75^{\circ}, 285^{\circ}\}$
B. $\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}$ E. $\{75^{\circ}, 315^{\circ}\}$
C. $\{15^{\circ}, 315^{\circ}\}$
Diketahui $\sqrt3 \cos x-\sin x = \sqrt2$.
Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = \sqrt3$, berarti $A = 60^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \tan A \cos x-\sin x & = \sqrt2 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos x-\sin x & = \sqrt2 \\ \sin A \cos x-\cos A \sin x & = \sqrt2 \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-x) & = \sqrt2 \cos A \\ \sin (60^{\circ}-x) & = \sqrt2 \cos 60^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 60^{\circ}) \\ -\sin (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \sin (x-60^{\circ}) & = \sin -45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = (180-(-45^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 285^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{285^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}$.
Alternatif 2:
Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=-1$, serta $c = \sqrt2$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{blue}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{\sqrt3} = -\dfrac13\sqrt3 \\ p & = 330^{\circ}~\text{atau}~\color{red}{p = -30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos x -\sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x\color{red}{+30^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2 \cos (x + 30^{\circ}) = \sqrt2.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x + 30^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x + 30^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x + 30^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \\ x + 30^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -75^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{285^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 5
Himpunan penyelesaian dari $2\sqrt3 \cos 2x-4 \sin x \cos x = 2$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\dfrac14\pi, \dfrac56\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac{13}{6}\pi \right\}$
B. $\left\{\dfrac16\pi, \dfrac12\pi, \dfrac34\pi, \dfrac{3}{2}\pi \right\}$
C. $\left\{\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac34\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi \right\}$
D. $\left\{\dfrac{3}{4}\pi, \dfrac56\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac53\pi\right\}$
E. $\left\{\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac{3}{4}\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi \right\}$
Persamaan dapat disederhanakan (dibagi 2), lalu digunakan identitas sudut ganda.
$$\begin{aligned} \sqrt3 \cos 2x-2 \sin x \cos x & = 1 \\ \sqrt3 \cos 2x-\sin 2x & = 1 \end{aligned}$$Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = \sqrt3$, berarti $A = 60^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \tan A \cos 2x-\sin 2x & = 1 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos 2x-\sin 2x & = 1 \\ \sin A \cos 2x-\cos A \sin 2x & = 1 \cdot \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-2x) & = \cos A \\ \sin (60^{\circ}-2x) & = \cos 60^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 60^{\circ}) \\ -\sin (2x-60^{\circ}) & = \dfrac12 \\ \sin (2x-60^{\circ}) & = \sin -30^{\circ} \\ \Rightarrow 2x-60^{\circ} & = -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{195^{\circ}}_{k = 1} \\ \Rightarrow 2x-60^{\circ} & = (180^{\circ}-(-30^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{135^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{315^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Alternatif 2:
Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=-1$, serta $c = 1.$
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{\sqrt3} = -\dfrac13\sqrt3 \\ p & = 330^{\circ}~\text{atau}~\color{blue}{p = -30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos 2x -\sin 2x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (2x+\color{red}{30^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2 \cos (2x + 30^{\circ}) = 1.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (2x + 30^{\circ}) & = \dfrac12 \\ \cos (2x + 30^{\circ}) & = \cos 60^{\circ} \\ \Rightarrow 2x + 30^{\circ} & = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{195^{\circ}}_{k=1} \\ \Rightarrow 2x + 30^{\circ} & = -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = -90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{135^{\circ}}_{k = 1}, \underbrace{315^{\circ}}_{k=2} \end{aligned}$$Konversi ke satuan radian:
$$\begin{aligned} 15^{\circ} & = \dfrac{15}{180}\pi = \dfrac{1}{12}\pi \\ 135^{\circ} & = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3}{4}\pi \\ 195^{\circ} & = \dfrac{195}{180}\pi = \dfrac{13}{12}\pi \\ 315^{\circ} & = \dfrac{315}{180}\pi = \dfrac{7}{4}\pi \end{aligned}$$Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\left\{\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac34\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi \right\}}$
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri
Soal Nomor 6
Nilai maksimum dari $y = 3 \cos x + 4 \sin x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$ C. $6$ E. $25$
B. $5$ D. $9$
Diketahui koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ berturut-turut adalah $a = 3$ dan $b = 4$ sehingga nilai maksimumnya adalah
$$\begin{aligned} y_{\text{maks}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{3^2+4^2} \\ & = \sqrt{25} = 5. \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari $y = 3 \cos x + 4 \sin x$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Nilai minimum dari $y = -5 \sin x-12 \cos x + 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-13$ C. $-5$ E. $21$
B. $-8$ D. $13$
Diketahui $y = -5 \sin x-12 \cos x + 8.$
Pertama, kita akan mencari nilai minimum dari $z = -5 \sin x-12 \cos x,$ yaitu
$$\begin{aligned} z_{\text{min}} & = -\sqrt{(-5)^2+(-12)^2} \\ & = -\sqrt{25+144} = -13.\end{aligned}$$Dengan demikian, nilai minimum dari $y$ adalah
$$\begin{aligned} y_{\text{min}} & = z_{\text{min}} + 8 \\ & = -13 + 8 = -5. \end{aligned}$$(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri
Soal Nomor 8
Misalkan nilai maksimum dan minimum dari $y = a \sin x-b\cos x$ berturut-turut adalah $k$ dan $m$. Nilai dari $k + m = \cdots \cdot$
A. $0$ D. $2\sqrt{a^2+b^2}$
B. $\sqrt{a^2-b^2}$ E. $a^2+b^2$
C. $\sqrt{a^2+b^2}$
Diketahui $y = a \sin x-b \cos x$.
Nilai maksimumnya adalah
$$k = \sqrt{a^2+(-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2}.$$Nilai minimumnya adalah $$m = -\sqrt{a^2+(-b)^2} = -\sqrt{a^2+b^2}.$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} k+m & = \sqrt{a^2+b^2} + \left(-\sqrt{a^2+b^2}\right) \\ & = 0. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{k+m=0}$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Soal Nomor 9
Jika $3 \sin x + 4 \cos y = 5$, maka nilai maksimum dari $3 \cos x + 4 \sin y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt3$ D. $3\sqrt3$
B. $2\sqrt6$ E. $3\sqrt6$
C. $3\sqrt2$
Diketahui $3 \sin x + 4 \cos y = 5$. Kuadratkan kedua ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (3 \sin x + 4 \cos y)^2 & = 5^2 \\ 9 \sin^2 x + 24 \sin x \cos y + 16 \cos^2 y & = 25 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Misalkan $3 \cos x + 4 \sin y = k$, maka bila kedua ruas persamaan ini dikuadratkan, diperoleh
$$\begin{aligned} (3 \cos x + 4 \sin y)^2 & = k^2 \\ 9 \cos^2 x + 24 \cos x \sin y + 16 \sin^2 y & = k^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Apabila persamaan $(1)$ dan $(2)$ dijumlahkan, didapat
$$\begin{aligned} 9(\sin^2 x + \cos^2 x) + 24(\sin x \cos y + \cos x \sin y) + 16(\cos^2 y + \sin^2 y) & = 25 + k^2 \\ 9(1) + 24 \sin (x+y) + 16(1) & = 25 + k^2 \\ 25 + 24 \sin (x+y) & = 25 + k^2 \\ 24 \sin (x+y) & = k^2 \end{aligned}$$Agar $k$ maksimum, maka $\sin (x+y)$ harus dibuat maksimum juga. Nilai maksimum dari $\sin (x + y)$ adalah $1$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} 24 \cdot 1 & = k^2 \\ k & = \pm \sqrt{24} \\ k & = \pm 2\sqrt6 \end{aligned}$$Karena $k$ harus diambil maksimum, maka pilih $k = 2\sqrt6$. Jadi, nilai maksimum dari $3 \cos x + 4 \sin y$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Diberikan $f(y) = (\sqrt3+1) \sin y + (\sqrt3-1) \cos y.$ Nilai maksimum dari $f^2(y)$ untuk $y$ bilangan real adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $6$ E. $12$
B. $4$ D. $8$
Diketahui koefisien $\cos y$ dan $\sin y$ pada bentuk fungsi tersebut berturut-turut adalah $a = \sqrt3-1$ dan $b=\sqrt3+1$. Dengan demikian, nilai maksimumnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} f(y)_{\text{maks}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3-1)^2 + (\sqrt3+1)^2} \\ & = \sqrt{(3-2\sqrt3+1)+(3+2\sqrt3+1)} \\ & = \sqrt8. \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari $f^2(y)$ adalah $\boxed{f^2(y)_{\text{maks}} = (\sqrt8)^2 = 8}$
(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Selesaikan persamaan trigonometri berikut untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$.
$$\sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x = 2$$
Alternatif 1:
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x & = 2 \\ \sqrt2(\sqrt3 \sin x + \cos x) & = 2 \\ \color{blue}{\sqrt3} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \end{aligned}$$Misalkan $\tan A = \sqrt3$ sehingga $A = 60^{\circ}$. Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} \color{blue}{\tan A} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \\ \sin A \sin x + \cos x \cos A & = \sqrt2 \cos A && (\text{Kali}~\cos A) \\ \cos (x-A) & = \sqrt2 \cos A \\ \Rightarrow \sin (x + 60^{\circ}) & = \sqrt2 \cos 60^{\circ} \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 105^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{105^{\circ}}_{k=0} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k=0} \end{aligned}$$Alternatif 2:
Diketahui $a = \sqrt2$ dan $b=\sqrt6$, serta $c = 2$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt2)^2 + (\sqrt6)^2} \\ & = \sqrt{2+6} = \color{blue}{2\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt2} = \sqrt3 \\ p & = \color{red}{60^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ keduanya bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2\sqrt2} \cos (x-\color{red}{60^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2\sqrt2 \cos (x-60^{\circ}) = 2.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 105^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{105^{\circ}}_{k = 0} \\ x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $x = 15^{\circ}$ atau $x = 105^{\circ}$.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri
Soal Nomor 2
Pada gambar berikut, $\triangle ABC$ siku-siku di $C$ dan $f(\theta) = a + \sqrt3b$.
- Buktikan bahwa $f(\theta) = 5 \cos \theta + 5\sqrt3 \sin \theta$.
- Nyatakan $f(\theta)$ ke dalam $k \cos (\theta-\alpha)$ dengan $k > 0$.
- Tentukan nilai maksimum dari $f(\theta)$.
- Tentukan nilai $\theta$ agar $f(\theta)$ maksimum.
Jawaban a)
Dari gambar segitiga di atas, diketahui bahwa
$$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{b}{5} \Leftrightarrow b = 5 \sin \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{a}{5} \Leftrightarrow a = 5 \cos \theta \end{aligned}$$Substitusikan nilai $a$ dan $b$ ini pada $f(\theta) = a+\sqrt3b$ sehingga diperoleh $f(\theta) = 5 \cos \theta + 5\sqrt3 \sin \theta.$ (Terbukti)
Jawaban b)
Diketahui $f(\theta) = 5 \cos \theta + 5\sqrt3 \sin \theta$.
Karena $a = 5$ dan $b = 5\sqrt3$, maka
$$\begin{aligned} k & = \sqrt{(5)^2 + (5\sqrt3)^2} = \sqrt{25+75} = 10 \\ \tan \alpha & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{5\sqrt3}{5} = \sqrt3 \Rightarrow \alpha = 60^{\circ} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran pertama, karena nilai $a$ dan $b$ keduanya positif.
Dengan demikian, diperoleh $f(\theta) = 10 \cos (\theta-60^{\circ})$.
Jawaban c)
$f(\theta)$ mencapai nilai maksimum ketika $\cos (\theta-60^{\circ})$ bernilai maksimum, yaitu $1$. Dengan demikian, $f_{\text{maks}}(\theta) = 10(1) = 10$.
Jawaban d)
Agar $\cos (\theta-60^{\circ})$ bernilai $1$, maka nilai $\boxed{\theta = 60^{\circ}}$, mengingat $\cos 0^{\circ} = 1$.