Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Syarat suatu fungsi kuadrat definit negatif (selalu bernilai negatif berapapun nilai $x$) adalah koefisien $x^2$ bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.
Syarat koefisien $x^2$ negatif:
$a+1<0\iff a<-1.$
Syarat diskriminan negatif:
$\begin{array}{rl}(-2a{)}^2-4(a+1)(a-2)& <0\\ 4a^2-(4a^2-4a-8)& <0\\ 4a+8& <0\\ a& <-2\end{array}$
Irisan dari $a<-1$ dan $a<-2$ dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar. Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{{\displaystyle a<-2}}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=y=a{x}^2+6x+a.$
Akan ditentukan nilai $a$ terlebih dahulu dengan menggunakan persamaan sumbu simetri.
$\begin{array}{rl}{x}_p& =3\\ -{\displaystyle \frac{\text{Koef.}x}{2\cdot \text{Koef.}{x}^2}}& =3\\ -{\displaystyle \frac{6}{2a}}& =3\\ -6& =6a\\ a& =-1\end{array}$
Jadi, $f(x)=-x^2+6x-1.$
Substitusikan $x=3$ untuk mendapatkan nilai maksimum fungsi.
$f(3)=y_p=-(3{)}^2+6(3)-1=8.$
Jadi, nilai maksimum fungsi tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 8}}$
(Jawaban B)

Dari gambar, parabola tersebut tampak memiliki puncak di $(x_p,y_p)=(2,4).$
Dengan demikian, fungsi kuadratnya akan berbentuk
$\begin{array}{rl}& f(x)=a(x-x_p{)}^2+y_p\\ & \Rightarrow f(x)=a(x-2{)}^2+4.\end{array}$
Apabila parabola terbuka ke atas (seperti huruf U), maka nilai $a>0$, begitu sebaliknya.
Dari gambar, parabola terbuka ke bawah (seperti huruf n) sehingga $a<0$.
(Jawaban D)

Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p,y_p)$ dan melalui titik $(x,y)$ diberikan oleh $y-y_p=a(x-x_p{)}^2.$
Diketahui $x_p=-2,y_p=-1,x=0$, dan $y=-5$ sehingga didapat
$\begin{array}{rl}-5-(-1)& =a(0-(-2){)}^2\\ -4& =a(2{)}^2\\ a& =-1.\end{array}$
Untuk itu, rumus fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{array}{rl}y& =a(x-x_p{)}^2+y_p\\ \Rightarrow y& =-(x+2{)}^2+1.\end{array}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}f(2)=y& =-(2+2{)}^2-5\\ & =-4^2+1=-17\end{array}}}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x)=-2x^2+4x+3$.
Absis grafik dari fungsi kuadrat itu adalah
$x_p=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{4}{2(-2)}}=1.$
Karena koefisien $x^2$ bernilai negatif, maka parabola akan terbuka ke bawah. Di titik $x=1$, nilai maksimum fungsi akan tercapai, yaitu
$\begin{array}{rl}f(1)& =-2(1{)}^2+4(1)+3\\ & =-2+4+3=5.\end{array}$
Nilai minimum fungsi pada interval $-2\le x\le 3$ tercapai pada nilai $x$ yang paling jauh jaraknya dari $x=1$, yaitu $x=-2$ sehingga
$\begin{array}{rl}f(-2)& =-2(-2{)}^2+4(-2)+3\\ & =-8-8+3=-13.\end{array}$
Dengan demikian, daerah hasil fungsi $f$ adalah $\boxed{{\displaystyle \{y|-13\le y\le 5,y\in \mathbb{R}\}}}$
(Jawaban E)

Koordinat titik balik dari grafik $f(x)=x^2+4x+3$ adalah
$\begin{array}{rl}{x}_p& =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{4}{2(1)}}=-2\\ y_p& =(-2{)}^2+4(-2)+3=-1.\end{array}$
Jadi, koordinat titik baliknya adalah $(-2,-1)$.
Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p,y_p)$ dan melalui titik $(x,y)$ diberikan oleh $y-y_p=a(x-x_p{)}^2.$
Diketahui $x_p=-2,y_p=-1,x=-1$, dan $y=3$ sehingga didapat
$\begin{array}{rl}3-(-1)& =a(-1-(-2){)}^2\\ 4& =a(1{)}^2\\ a& =4.\end{array}$
Substitusi balik $x_p=-2,y_p=-1,a=4$ sehingga didapat
$\begin{array}{rl}y-(-1)& =4(x-(-2){)}^2\\ y+1& =4(x^2+4x+4)\\ y& =4x^2+16x+15.\end{array}$
Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah $\boxed{{\displaystyle f(x)=y=4x^2+16x+15}}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)=2-x-x^2$.
Cek opsi A:
Tampak bahwa grafik memotong sumbu $X$ di dua titik, yaitu $(-2,0)$ dan $(1,0)$.
Untuk memastikan, kita periksa nilai determinannya.
$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(-1{)}^2-4(-1)(2)\\ & =1+8=9\end{array}$
Karena $D$ bertanda positif, maka grafik fungsi memotong sumbu $X$ di dua titik (memiliki dua akar real berlainan).
Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek Opsi B:
Persamaan sumbu simetri fungsi $f(x)$ ditentukan oleh rumus $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$, yaitu $x=-{\displaystyle \frac{-1}{2(-1)}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.$
Jadi, pernyataan pada opsi B benar.
Cek Opsi C:
Tampak pada gambar bahwa parabola terbuka ke bawah sehingga tidak memiliki nilai minimum.
Pernyataan pada opsi C salah.
Cek Opsi D:
Nilai maksimum fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan beberapa cara. Salah satunya adalah dengan mensubstitusikan $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pada rumus fungsinya.
$\begin{array}{rl}f(x)& =2-x-x^2\\ f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})& =2-(-{\displaystyle \frac{1}{2}})-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{9}{4}}\end{array}$
Pernyataan pada opsi D benar.
Cek Opsi E:
Titik potong grafik terhadap sumbu $Y$ tercapai ketika $x=0$.
$\begin{array}{rl}f(x)& =2-x-x^2\\ f(0)& =2-0-0^2=2\end{array}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0,2)$.
Pernyataan pada opsi E benar.
(Jawaban C)

Pergeseran grafik fungsi kuadrat (parabola) hanya perlu kita pandang sebagai pergeseran satu titik tetap, misalkan titik baliknya.
Jelas bahwa koordinat titik balik grafik $f(x)=x^2$ adalah $(0,0)$.
Koordinat titik balik grafik $f(x)=x^2-6x+7$ adalah
$\begin{array}{rl}{x}_p& =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{-6}{2(1)}}=3\\ y_p& =(3{)}^2-6(3)+7=-2,\end{array}$
yakni di $(3,-2).$
Dengan demikian, pergeseran grafik $f(x)=x^2-6x+7$ diperoleh dengan cara menggeser grafik $f(x)=x^2$ ke arah kanan sumbu $X$ sejauh $3$ satuan dan ke arah bawah sumbu $Y$ sejauh $2$ satuan (jika bertanda negatif, pergeserannya ke arah bawah).
(Jawaban C)

Karena $f(x)=a{x}^2+(2a+6)x+2a-2$ menyinggung sumbu $X$, diskriminannya harus bernilai $0.$
$\begin{array}{rl}D& =0\\ b^2-4ac& =0\\ (2a+6{)}^2-4a(2a-2)& =0\\ (4a^2+24a+36)-8a^2+8a& =0\\ -4a^2+32a+36& =0\\ a^2-8a-9& =0\\ (a-9)(a+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $a=9$ atau $a=-1.$
Karena titik baliknya maksimum, maka haruslah $a<0$ (parabola terbuka ke bawah) sehingga nilai $a$ yang diambil adalah $a=-1.$ Substitusikan pada $f(x)=a{x}^2+(2a+6)x+2a-2$ sehingga diperoleh $f(x)=-x^2+4x-4.$
Absis titik baliknya adalah
$x_p=-{\displaystyle \frac{\text{Koef.}x}{2\cdot \text{Koef.}{x}^2}}=-{\displaystyle \frac{4}{2(-1)}}=2.$
Karena grafik menyinggung sumbu $X,$ maka $y_p=0.$
Jadi, koordinat titik balik maksimumnya adalah $\boxed{{\displaystyle (x_p,y_p)=(2,0)}}$
(Jawaban C)

Substitusikan $f(x)=y=x^2+x+p$ ke persamaan $3x+y=1$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}3x+(x^2+x+p)& =1\\ x^2+4x+(p-1)& =0.\end{array}$
Karena grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garisnya bersinggungan, maka diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac=0\\ (4{)}^2-4(1)(p-1)& =0\\ 16-4p+4& =0\\ 4p& =20\\ p& =5\end{array}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{{\displaystyle 5}}$
(Jawaban A)

Kurva $f(x)=y=x^2+bx+4$ dan $y=3x+4$ bersinggungan (berpotongan di satu titik) sehingga berlaku persamaan
$\begin{array}{rl}{x}^2+bx+4& =3x+4\\ x^2+(b-3)x& =0.\end{array}$
Karena kedua kurva bersinggungan, maka haruslah diskriminan dari persamaan kuadrat di atas bernilai $0.$
$\begin{array}{rl}D& =0\\ b^2-4ac& =0\\ (b-3{)}^2-4(1)(0)& =0\\ (b-3{)}^2& =0\\ b& =3\end{array}$
Jadi, nilai $b$ yang memenuhi adalah $\boxed{{\displaystyle b=3}}$
(Jawaban D)

Fungsi kuadrat $f(x)=a{x}^2-(2a-4)x+(a+4)$ akan bernilai positif (grafiknya selalu berada di atas sumbu $X$) apabila koefisien $x^2$ bernilai positif, sedangkan diskriminan $D$ bernilai negatif.
Karena koefisien $x^2$ harus bernilai positif, maka $a>0$.
$\begin{array}{rl}D& <0\\ b^2-4ac& <0\\ (-(2a-4){)}^2-4a(a+4)& <0\\ (4a^2-16a+16)-4a^2-16a& <0\\ -32a+16& <0\\ -32a& <-16\\ a& >{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{{\displaystyle a>{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$
(Jawaban D)

Catatan:
Misalkan fungsi kuadratnya berbentuk $f(x)=a{x}^2+bx+c.$

1. Bila parabola tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu $X$, maka dikatakan bahwa:
   a) parabola di atas sumbu $X$ bila $D<0$ dan $a>0.$
   b) parabola di atas sumbu $X$ bila $D<0$ dan $a<0.$
   
2. Parabola memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda, berarti $D>0.$  
3. Parabola memotong sumbu $X$ hanya di satu titik, berarti $D=0.$

Karena grafik $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+3$ berada di atas sumbu $X$, berarti diskriminan bernilai kurang dari 0 dan koefisien $x^2$ bernilai lebih dari $0$.
Dalam kasus ini, syarat $a>0$ adalah $m>0$ dan syarat diskriminan:
$\begin{array}{rl}D& <0\\ b^2-4ac& <0\\ (2m-1{)}^2-4m(m+3)& <0\\ (4m^2-4m+1)-4m^2-12m& <0\\ -16m+1& <0\\ -16m& <-1\\ m& >{\displaystyle \frac{1}{16}}\end{array}$
Dengan demikian,
$$\{m:m>0\}\cap \{m:m>{\displaystyle \frac{1}{16}}\}=\{m:m>{\displaystyle \frac{1}{16}}\}$$(Jawaban E)

Grafik fungsi $f(x)=(p+6)x^2+px+2$ memotong sumbu $X$ di dua titik di sebelah kanan $O(0,0)$ memiliki arti bahwa dua akar persamaan kuadratnya bernilai positif. Misalkan dua akar itu adalah $x_1$ dan $x_2.$

1. Jumlah akarnya pasti juga positif sehingga
   $$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2& >0\\ -{\displaystyle \frac{b}{a}}& >0\\ -{\displaystyle \frac{p}{p+6}}& >0\\ {\displaystyle \frac{p}{p+6}}& <0.\end{array}$$Dari sini, diperoleh $-6<p<0.$
2. Selain itu, hasil kali kedua akarnya juga harus positif. Oleh karena itu, diperoleh
   $$\begin{array}{rl}{x}_1{x}_2& >0\\ {\displaystyle \frac{c}{a}}& >0\\ {\displaystyle \frac{2}{p+6}}& >0\\ p+6& >0\\ p& >-6.\end{array}$$
3. Karena fungsi kuadrat tersebut memiliki dua akar berbeda, haruslah diskriminannya bernilai positif.
   $$\begin{array}{rl}D& >0\\ p^2-4(p+6)(2)& >0\\ p^2-8p-48& >0\\ (p-12)(p+4)& >0\end{array}$$Jadi, didapat $p<-4$ atau $p>12.$

Irisan dari ketiga selang di atas adalah $\boxed{{\displaystyle -6<p<-4}}$
(Jawaban E)

Substitusikan $(0,5)$ pada fungsi kuadrat untuk menentukan nilai $a$.
$\begin{array}{rl}y& =a{x}^2+6x+(a+4)\\ 5& =a(0{)}^2+6(0)+(a+4)\\ 5& =a+4\\ a& =1\end{array}$
Dengan demikian, rumus fungsi kuadratnya adalah $y=x^2+6x+5$ dengan $a=1,b=6,c=5.$
Sumbu simetri (absis titik balik):
$x_p=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{6}{2(1)}}=-3.$
Substitusikan ke $y=x^2+6x+5$ untuk memperoleh
$\begin{array}{rl}{y}_p& =(-3{)}^2+6(-3)+5\\ & =9-18+5=-4\end{array}$
ATAU
nilai balik minimum dicari dengan menggunakan rumus langsung, yakni
$\begin{array}{rl}{y}_p& =-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(6{)}^2-4(1)(5)}{4(1)}}\\ & =-{\displaystyle \frac{36-20}{4}}=-4.\end{array}$
Jadi, nilai balik minimum fungsi kuadrat itu adalah $\boxed{{\displaystyle -4}}$
Catatan: Parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) karena $a>0$ sehingga hanya ada nilai balik minimum, tidak ada maksimum.
(Jawaban A)

Secara aljabar, kasus di atas dapat dimisalkan sebagai suatu persamaan kuadrat yang memiliki akar $x_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ dan $x_2=1$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x-1)& =0\\ x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}& =0\\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}& -2\\ -2x^2+3x-1& =0.\end{array}$
Bandingkan dengan rumus fungsi $y=a{x}^2+bx-1.$
Dari sini, diperoleh $a=-2$ dan $b=3$.
Karena koefisien $x^2$, yaitu $a$, bernilai negatif, maka parabola (grafik fungsi) akan terbuka ke bawah sehingga nilai ekstremnya maksimum, yaitu
$\begin{array}{rl}{y}_p& =-{\displaystyle \frac{D}{4a}}\\ & =-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}\\ & =-{\displaystyle \frac{3^2-4(-2)(-1)}{4(-2)}}\\ & =-{\displaystyle \frac{9-8}{-8}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$
Jadi, nilai ekstrem fungsi tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle \text{maksimum}{\displaystyle \frac{1}{8}}}}$
(Jawaban C)

Karena titik $P(-3,5)$ terletak pada grafik fungsi $f(x)=y$, maka substitusikan $x=-3$ dan $y=5$ sehingga diperoleh
$5=p(-3-q{)}^2+r(\cdots 1)$
Begitu juga dengan titik $Q(7,5)$. Substitusikan $x=7$ dan $y=5$ sehingga diperoleh
$5=p(7-q{)}^2+r(\cdots 2)$
Eliminasi $r$ dari kedua persamaan di atas sehingga didapat
$$\begin{array}{rl}0& =p(-3-q{)}^2-p(7-q{)}^2\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan}p\\ 0& =(-3-q{)}^2-(7-q{)}^2\\ 0& =(-3-q+7-q)(-3-q-7+q)\\ 0& =(-2q+4)(-10)\\ -2q+4& =0\\ q& =2.\end{array}$$Catatan: (bagian yang ditanda merah) gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b).$
Jadi, nilai $q$ adalah $\boxed{{\displaystyle 2}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=x^2+2px+p$
Sumbu simetri:
$x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{2p}{2(1)}}=-p.$
Substitusi $x=-p$ pada $f(x)$ mengakibatkan tercapainya nilai minimum fungsi, yaitu $f(-p)=y_p=-p$ sehingga
$\begin{array}{rl}f(x)& =x^2+2px+p\\ -p& =(-p{)}^2+2p(-p)+p\\ -p& =p^2-2p^2+p\\ 0& =-p^2+2p\\ 0& =p(-p+2)\end{array}$
Diperoleh $p=0$ atau $p=2.$
Karena diberikan bahwa $p\ne 0$ (pada soal), maka diambil $p=2$ sehingga $f(x)=x^2+4x+2.$
Sumbu simetrinya adalah
$x=-{\displaystyle \frac{4}{2(1)}}=-2=a.$
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}a+f(a)& =-2+((-2{)}^2+4(-2)+2)\\ & =-2+(4-8+2)=-4\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle a+f(a)=-2+(-2)=-4}}$
(Jawaban C)