Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Sudut: Garis dan Bidang)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $P$ titik tengah $EG$. Sudut $\alpha$ adalah sudut antara garis $AE$ dan bidang $AFH$ sama dengan sudut antara garis $AE$ dan $AP$. Perhatikan bahwa segitiga $AEF$ merupakan segitiga siku-siku di titik $E$. Panjang $EP$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $EG$. Karena panjang rusuk kubus $4~\text{cm}$, maka dengan teorema Pythagoras, diperoleh $EG = 4\sqrt2~\text{cm}$ sehingga $EP = 2\sqrt2~\text{cm}.$
Panjang $AP$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AP & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{(4)^2 + (2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{16+8} \\ & = \sqrt{24} = 2\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{EP}{AP} \\ & = \dfrac{2\sqrt2}{2\sqrt6} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga $BDG$ ternyata merupakan segitiga sama sisi karena $BD = BG = DG$, sebab ketiganya merupakan diagonal bidang kubus.
Dengan demikian, besar sudut antara garis $BD$ dan $DG$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$ 
Catatan: Masing-masing sudut pada segitiga sama sisi besarnya $60^{\circ}.$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sudut antara garis $TR$ dan garis $PS$ sama dengan sudut antara garis $TR$ dan garis $QR$.
Perhatikan bahwa segitiga $TQR$ merupakan segitiga siku-siku di $Q$.
Diketahui bahwa panjang $QT$ merupakan diagonal bidang kubus sehingga $QT = 8\sqrt2~\text{cm}$, sedangkan $QR = 8~\text{cm}.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \tan \angle(TR, QR) & = \dfrac{QT}{QR} \\ & = \dfrac{8\sqrt2}{8} = \sqrt2. \end{aligned}$
Jadi, nilai tangen sudut antara garis $TR$ dengan garis $PS$ adalah $\boxed{\sqrt2}$
(Jawaban B)

Misalkan titik $P$ dan $Q$ berturut-turut adalah titik tengah diagonal $EG$ dan $AC$. 
Sudut antara bidang $AFH$ dan bidang $ABCD$ adalah sudut $\alpha$, yang dapat diwakili oleh $\angle PAQ$ pada segitiga siku-siku $PQA$.
Panjang $AQ$ adalah setengah dari panjang $AC$ (diagonal bidang kubus). Karena $AC = 12\sqrt2~\text{cm}$, maka $AQ = \dfrac12(AC) = 6\sqrt2~\text{cm}$. Panjang $PQ$ sama dengan panjang rusuk kubus, yakni $PQ = 12~\text{cm}$.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle PQA$, panjang $AP$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} AP & = \sqrt{AQ^2 + PQ^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt2)^2 + (12)^2} \\ & = \sqrt{72 +144} \\ & = \sqrt{216} = 6\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{AQ}{AP} \\ & = \dfrac{6\sqrt2}{6\sqrt6} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, kosinus sudut antara bidang $AFH$ dan bidang $ABCD$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt3}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $P$ titik tengah $AC$. Sudut $\theta$ adalah sudut antara garis $PF$ dan $BF.$ Perhatikan bahwa segitiga $BFP$ merupakan segitiga siku-siku di titik $B$. Panjang $BP$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $BD$. Karena panjang rusuk kubus $6~\text{cm}$, maka dengan teorema Pythagoras, diperoleh $BD = 6\sqrt2~\text{cm}$ sehingga $BP = 3\sqrt2~\text{cm}.$
Panjang $PF$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} PF & = \sqrt{BP^2 + BF^2} \\ & = \sqrt{(3\sqrt2)^2 + (6)^2} \\ & = \sqrt{18+36} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{BF}{PF} \\ & = \dfrac{6}{3\sqrt6} = \dfrac{2}{\sqrt6} = \dfrac13\sqrt6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac13\sqrt6}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan titik $P$ merupakan titik tengah diagonal bidang $EG$. Sudut antara garis $BF$ dan bidang $BEG$ sama dengan sudut antara garis $BF$ dan $BP$. Sekarang, perhatikan $\triangle BPF$ yang siku-siku di $F.$
Diketahui bahwa $BF = 4~\text{cm}$, sedangkan $PF = 2\sqrt2~\text{cm}$ karena merupakan setengah dari panjang diagonal bidang kubus.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \tan \angle(BF, BP) & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} \\ & = \dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac12\sqrt2. \end{aligned}$
Jadi, tangen sudut antara garis $BF$ dan bidang $BEG$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt2}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dari gambar, kita misalkan $ER = BR = x~\text{cm}.$ $BE$ merupakan diagonal bidang kubus sehingga $BE = 6\sqrt2~\text{cm}.$
Pada segitiga sama kaki $BER$, berlaku Aturan kosinus. Aturan ini diterapkan untuk mencari nilai $x.$
$$\begin{aligned} BE^2 & = BR^2 + ER^2 -2 \cdot BR \cdot ER \cdot \cos \theta \\ (6\sqrt2)^2 & = x^2+x^2-2(x)(x) \cdot \dfrac25 \\ 72 & = 2x^2 -\dfrac45x^2 \\ 72 & = \dfrac65x^2 \\ x^2 & = 72 \cdot \dfrac{5}{6} = 60 \end{aligned}$$Ini berarti, $ER = BR = \sqrt{60}~\text{cm}.$
Sekarang, perhatikan bahwa $\triangle EFR$ merupakan segitiga siku-siku di $F$ sehingga panjang $RF$ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} ER^2 & = EF^2 + RF^2 \\ (\sqrt{60})^2 & = 6^2 + RF^2 \\ 60 & = 36 + RF^2 \\ RF^2 & = 24 \\ RF & = \sqrt{24} = 2\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $RF$ adalah $\boxed{2\sqrt6~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Segitiga $QTW$ merupakan segitiga siku-siku. Siku-sikunya di titik $T$ (ini dapat diketahui karena jarak $Q$ ke garis $TW$ sama dengan jarak $Q$ ke $T$).
Pada $\triangle PQT$ berlaku teorema Pythagoras untuk mencari panjang $QT$.
$\begin{aligned} QT & = \sqrt{PQ^2+PT^2} \\ & = \sqrt{(12)^2+(9)^2} \\ & = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Pada $\triangle QTW$ berlaku teorema Pythagoras untuk mencari panjang $QW.$
$\begin{aligned} QW & = \sqrt{QT^2+TW^2} \\ & = \sqrt{(15)^2+(20)^2} \\ & = \sqrt{225+400} = \sqrt{625} = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos \angle(QT, QW) & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{QT}{QW} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35. \end{aligned}$
Jadi, nilai kosinus sudut antara garis $TQ$ dan garis $QW$ adalah $\boxed{\dfrac35}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan titik $R$ pada $BF$ sehingga tingginya setara dengan $P.$
Sudut antara bidang $ABFE$ dengan bidang $ABPQ$ sama dengan sudut antara $BP$ dan $BR.$
Perhatikan segitiga siku-siku $BPR.$
Diketahui panjang $BR = \dfrac34 \times 8 = 6~\text{cm}$ dan $RP = BC = 4~\text{cm}$ sehingga dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BR^2+RP^2} \\ & = \sqrt{(6)^2+(4)^2} \\ & = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \sin \angle(BR, BP) & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{RP}{BP} \\ & = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{13}\sqrt{13}. \end{aligned}$
Jadi, nilai sinus sudut antara bidang $ABFE$ dan bidang $ABPQ$ adalah $\boxed{ \dfrac{2}{13}\sqrt{13}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $P$ titik tengah bidang alas $ABCD$. Sudut $\alpha$ antara kedua bidang itu dapat diwakili oleh sudut antara garis $PE$ dan $PG.$
$AC$ merupakan diagonal persegi (bidang alas) sehingga $AC = 10\sqrt2~\text{cm}.$
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $AEP$ (siku-siku di $A$).
Diketahui bahwa $AE = 5~\text{cm}$ dan $AP = \dfrac12(AC) = 5\sqrt2~\text{cm}$ sehingga dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} PE & = \sqrt{AE^2+AP^2} \\ & = \sqrt{(5)^2+(5\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{25+50} = \sqrt{75} = 5\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang $PG$ sama dengan panjang $PE$, yaitu $5\sqrt3~\text{cm}.$
Panjang $EG$ jelas $10\sqrt2~\text{cm}$ (diagonal bidang kubus).
Dengan menggunakan Aturan kosinus pada segitiga sama kaki $EPG,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{PE^2+PG^2-EG^2}{2(PE)(PG)} \\ & = \dfrac{(5\sqrt3)^2+(5\sqrt3)^2-(10\sqrt2)^2}{2(5\sqrt3)(5\sqrt3)} \\ & = \dfrac{75+75-200}{150} = -\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ $\cos \alpha$ merupakan perbandingan panjang sisi samping sudut $\alpha$ terhadap panjang sisi miring segitiga siku-siku sehingga dapat dimisalkan $\text{sa} = 1$ dan $\text{mi} = 3$ (abaikan tanda negatifnya dulu). Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\text{de} = \sqrt{3^2-1^2} = \sqrt8 = 2\sqrt2.$
Sudutnya berada di kuadran II karena kosinus sudut bernilai negatif. Ini berarti, sinus sudutnya bernilai positif.
Untuk itu, kita peroleh
$\boxed{\sin \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{2}{3}\sqrt2}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sudut yang dibentuk oleh garis $PQ$ dan bidang alas $ABCD$ diwakili oleh sudut antara garis $PC$ dan $PQ.$
Pertama, akan dicari panjang $PC$ dengan menerapkan rumus Pythagoras pada segitiga $PBC$ (siku-siku di $B$). Karena $P$ di pertengahan $AB,$ maka panjang $PB = 5~\text{cm}.$
$\begin{aligned} PC & = \sqrt{PB^2+BC^2} \\ & =\sqrt{5^2 + 5^2} \\ & = 5\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, akan dicari panjang $PQ$ dengan menerapkan rumus Pythagoras pada segitiga $PCQ$ (siku-siku di $C$). Karena $Q$ di pertengahan $CG$, maka panjang $CQ = 5~\text{cm}.$
$\begin{aligned} PQ & = \sqrt{PC^2+CQ^2} \\ & =\sqrt{(5\sqrt2)^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{50+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
kosinus sudut yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} \cos CPQ & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{PC}{PQ} \\ & = \dfrac{5\sqrt2}{5\sqrt3} = \dfrac13\sqrt6~\text{cm}. \end{aligned}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut (prisma tegak yang dimaksud di sini adalah balok).
Posisikan titik $P$ dan $Q$ sebagai titik tengah diagonal bidang $AC$ dan $EG.$ Sudut yang dibentuk oleh bidang $BDG$ dan $BDE$ dapat diwakili oleh sudut antara garis $EP$ dan $PG.$ Misalkan $\angle QPG = \theta.$ Pada sgitiga siku-siku $PQG$ dengan $PQ = 4~\text{cm}$ dan $QG = \dfrac12(EG) = \dfrac12(2\sqrt2) = \sqrt2~\text{cm}$, berlaku teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} PG & = \sqrt{QG^2 + PQ^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt2)^2 + (4)^2} \\ & = \sqrt{2+16} = \sqrt{18}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $\cos \theta = \dfrac{PQ}{PG} = \dfrac{4}{\sqrt{18}}.$
Akibatnya,
$\begin{aligned} \cos \angle EPQ & = \cos 2\angle \theta \\ & = 2 \cos^2 \theta -1 \\ & = 2 \left(\dfrac{4}{\sqrt{18}}\right)^2 -1 \\ & = 2 \cdot \dfrac{16}{18} -1 = \dfrac79. \end{aligned}$
Jadi, kosinus sudut yang dibentuk oleh bidang $BDG$ dan $BDE$ adalah $\boxed{\dfrac79}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan proyeksi titik $P$ ke bidang $QRST$ adalah titik $O$ yang terletak tepat di tengah bidang. 
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $POT.$
Karena $TR$ merupakan diagonal bidang $QRST$ (berupa persegi), maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh $TR = 3\sqrt2~\text{cm}$ sehingga $TP = \dfrac12TR = \dfrac32\sqrt2~\text{cm}.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle POT$, panjang $PO$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} PO & = \sqrt{PT^2 -TP^2} \\ & = \sqrt{(3\sqrt2)^2- \left(\dfrac32\sqrt2\right)^2} \\ & = \sqrt{18 -\dfrac92} \\ & = \sqrt{\dfrac{27}{2}} = \dfrac{3\sqrt3}{\sqrt2} = \dfrac32\sqrt6~\text{cm} \end{aligned}$
Sudut $\alpha$ merupakan sudut antara garis $PT$ dan bidang alas $QRST$ sehingga 
$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} \\ & = \dfrac{PO}{TP} = \dfrac{\cancel{\frac32}\sqrt6}{\cancel{\frac32}\sqrt2} = \sqrt3. \end{aligned}$
Jadi, tangen sudut antara garis $PT$ dan bidang alas $QRST$ adalah $\boxed{\sqrt3}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Kita misalkan titik $E$ di pertengahan bidang alas $ABCD$ sedemikian sehingga $TE$ merupakan tinggi limas. Ruas garis $PQ$ memotong $TE$ di titik $F.$ Sudut antara bidang $APQ$ dan $ABCD$ diwakili oleh sudut $A$ pada segitiga $FEA.$ Karena $ABCD$ berupa persegi, maka panjang diagonalnya adalah $AC = \sqrt{12^2+12^2} = 12\sqrt2~\text{cm}.$
Untuk itu, $AE = \dfrac12(AC) = 6\sqrt2~\text{cm}.$
Tinggi limas $TE$ dapat dicari dengan menerapkan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $TEA.$
$\begin{aligned} TE & = \sqrt{TA^2-AE^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt6)^2-(6\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{216-72} \\  & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Karena $F$ terletak tepat di pertengahan $TE$, maka $FE = \dfrac12(TE) = 6~\text{cm}.$
Sekarang, panjang $AF$ telah dapat ditentukan dengan menerapkan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $FEA.$
$\begin{aligned} AF & = \sqrt{AE^2+FE^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt2)^2+6^2} \\ & = \sqrt{72+36} \\  & = \sqrt{108} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos (APQ, ABCD) & = \cos (\angle EAF) \\ & = \dfrac{AE}{AF} \\ & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}\sqrt3} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt6. \end{aligned}$
Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang $APQ$ dan $ABCD$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt6}$
(Jawaban A)