Category: Matriks

Diketahui:
$B$ = Bunga yang dikenakan = 
Rp550.000,00 – Rp500.000,00 = Rp50.000,00.
$M$ = Besar pinjaman = Rp500.000,00.
$i$ = suku bunga tunggal = $2\dfrac12\% = \dfrac52\%.$
Ditanya: $t =$ lama pinjaman
Dari informasi yang diketahui, diperoleh
$\begin{aligned} B & = M \times i \times t \\ t & = \dfrac{B} {M \times i} \\ & = \dfrac{\cancel{50.000}}{\cancelto{10}{500.000} \times \dfrac52\%} \\ & = \dfrac{1}{10 \times \dfrac52 \times \dfrac{1}{100}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac14} = 4. \end{aligned}$
Jadi, lama Siti meminjam adalah $\boxed{4}$ bulan.
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 5.000.000 \\ i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 5.000.000(1+0,1)^3 \\ & = 5.000.000(1,331) \\ & = 6.655.000 \end{aligned}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp6.655.000,00.
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} i & = 30\% = 0,3 \\ n & = 3 \\ M & = 2.197.000 \end{aligned}$
Ditanya: $M_0 = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ 2.197.000 & = M_0(1+0,3)^3 \\ 2.197.000 & = M_0(2,197) \\ M_0 & = \dfrac{2.197.000}{2,197} = 1.000.000\end{aligned}$
Jadi, nilai tunai modal tersebut adalah Rp1.000.000,00.
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 300.000.000 \\ i & = 5\% = \dfrac{1}{20} \\ n & = 8 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$$\begin{aligned} M & = M_0 -M_0 \times i \times n \\ & = 300.000.000- 300.000.000 \times \dfrac{1}{20} \times 8 \\ & = 300.000.000 -120.000.000 \\ & = 180.000.000\end{aligned}$$Jadi, nilai rumah setelah 8 tahun adalah Rp180.000.000,00
(Jawaban D)

Misalkan 
$\begin{aligned} b_1 & = \text{Bunga pada bulan pertama} \\ M & = \text{Pinjaman awal} \\ S_1 & = \text{Pinjaman akhir bulan pertama} \\ a_1 & = \text{Angsuran bulan pertama} \\ i & = \text{persentase bunga} \end{aligned}$
Dari tabel, diketahui bahwa
$\begin{aligned} M & = 2.000.000 \\ S_1 & = 1.542.817 \end{aligned}$
Nilai $a_1$ dapat ditentukan sbb.
$\begin{aligned} M & = a_1 + S_1 \\ a_1 & = M -S_1 \\ a_1 & = 2.000.000 -1.542.817 \\ & = 457.183 \end{aligned}$
Didapat angsuran bulan pertama sebesar Rp457.183,00.
Selanjutnya,
$\begin{aligned} b_1 & = M \times i \\ & = 2.000.000 \times 0,06 \\ & = 120.000. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{Anuitas} & = a_1 + b_1 \\ & = 457.183+120.000 \\ & = 577.183. \end{aligned}$
Jadi, besar anuitasnya adalah Rp577.183,00.
(Jawaban D)

Pada matriks $P$, ada 2 entri ke bawah dan 3 entri ke samping. Ini berarti, $P$ merupakan matriks berordo $2 \times 3$ (baris kali kolom). 
Catatan: Entri adalah bilangan yang terdapat dalam baris dan kolom tertentu pada suatu matriks. 
(Jawaban B)

Karena $A=B$, maka
$ \begin{pmatrix} 4 & 3x-y \\ 8 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ x + y & 6 \end{pmatrix}.$
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, pada baris ke-1 kolom ke-2, diperoleh
$3x – y = 4~~~~~(\cdots 1)$
Pada baris ke-2 kolom ke-1, diperoleh
$x + y = 8~~~~(\cdots 2)$
Dengan menggunakan metode eliminasi pada SPLDV di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y & = 4 \\ x+y& = 8 \end{aligned} \\ \rule{2 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x=3}$
(Jawaban A)

Diketahui bahwa
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2x+6y & 5 \\ 3 & 3x-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2z & z+y \\ 4y & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+6y+2z & y + z + 5 \\ 4y + 3 & 3x – z + 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari baris ke-2 kolom ke-1, didapat
$\begin{aligned} 4y + 3 & = 11 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2. \end{aligned}$
Dari baris ke-1 kolom ke-2, didapat
$\begin{aligned} y + z + 5 & = 8 \\ \text{Substitusikan}~&y = 2 \\ 2 + z + 5 & = 8 \\ z & = 8-7 = 1. \end{aligned}$
Dari baris ke-2 kolom ke-2, didapat
$\begin{aligned} 3x -z + 2 & = 4 \\ \text{Substitusikan}~&z = 1 \\ 3x -1 + 2 & = 4 \\ 3x+1 & = 4 \\ 3x&=3 \\ x&=1. \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{x+y+z=1+2+1=4}$
(Jawaban D)

Karena $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, maka transposnya dinyatakan oleh
$C^T = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$
Untuk itu, 
$$\begin{aligned} 2A + B -C^T & = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4+4-5 & 2+3-4 \\ 6+2-1 & 4+3-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{2A+B-C^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks, diperoleh
$$\begin{aligned} PQ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2(2) + 1(0) & 2(-1) + 1(4) \\ 3(2) + (-4)(0) & 3(-1) + (-4)(4) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix} }$
(Jawaban B)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}.$
Determinan matriks ini adalah
$\begin{aligned} \det(A) & = -4(4) – 3(-5) \\ & = -16 + 15 = -1. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -(-5) & -4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban B)

Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \det(Q) & = (2)(2)(7) + 3(3)(1) + (4)(1)(5) \\ & -((1)(2)(4) + (5)(3)(2) + (7)(1)(3)) \\ & = 28 + 9 + 20 -(8 + 30 + 21) \\ & = 57 -59 = -2 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks $Q$ adalah $\boxed{\det(Q) = -2}$
(Jawaban D)

Konversi derajat ke radian:
$\boxed{a^{\circ} = a \times \dfrac{\pi} {180}}$
Untuk itu, 
$140^{\circ} = \cancelto{7}{140} \times \dfrac{\pi} {\cancelto{9}{180}} = \dfrac79\pi.$
Jadi, $A = 140^{\circ}$ setara dengan $\boxed{\dfrac79\pi~\text{rad}}$
(Jawaban C)

Diketahui: $x = y = -2\sqrt2.$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r, \theta)$, dengan
$\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4 \end{aligned} $
dan
$\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45^{\circ} \lor 225^{\circ}. \end{aligned}$
Karena titik $A$ berada di kuadran 3 (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta = 225^{\circ}$. 
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ adalah $\boxed{(4, 225^{\circ})}$
(Jawaban E)

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c = AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} c & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} \\ & = \sqrt4=2. \end{aligned}$
Cosinus sudut  adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku. Untuk itu,
$\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran 3 sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.

Karena $\tan \alpha = \dfrac34$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $4$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{mi} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5.$
Untuk itu, 
$\sin \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} = -\dfrac{3}{5}.$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 3)
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \alpha =-\dfrac35}$
(Jawaban C)

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{aligned} \sin (180^{\circ} + \alpha) & =-\sin \alpha \\ \cos (180^{\circ} + \alpha) & = -\cos \alpha \\ \tan (180^{\circ} + \alpha) & = \tan \alpha \end{aligned}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180^{\circ} + \alpha)$ adalah $\boxed{-\cos \alpha}$
(Jawaban D)

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin 60^{\circ}}{1 + \cos 60^{\circ}} & = \dfrac{\frac12\sqrt3}{1 + \frac12} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}} \sqrt3}{\frac{3}{\cancel{2}}} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt3. \end{aligned}$
Bentuk yang nilainya setara dengan $\dfrac13\sqrt3$ adalah $\boxed{\tan 30^{\circ}}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar.
Dengan menggunakan perbandingan cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{AB} {AC} \\ \dfrac12 & = \dfrac{AB} {3,2} \\ AB & = \dfrac12 \times 3,2 = 1,6. \end{aligned}$
Jadi, jarak ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah $\boxed{1,6~\text{meter}}$
(Jawaban B)

Karena nilai maksimum dari $\cos x$ adalah $1$, maka nilai maksimum dari $y = 2 \cos x + 1$ tercapai saat $\cos x = 1$, yaitu $y_{\text{maks}} = 2(1)+1=3.$ 
Karena nilai minimum dari $\cos x$ adalah $-1$, maka nilai minimum dari $y = 2 \cos x + 1$ tercapai saat $\cos x = -1$, yaitu $y_{\text{min}} = 2(-1)+1=-1$. 
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $A$ berada di kuadran III sehingga sinus sudutnya bernilai negatif, cosinus sudut bernilai negatif, dan tangen sudut bernilai positif.

Karena $\tan A= \dfrac12$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $1$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $2$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.
Dengan demikian, 
$\text{mi} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}.$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} \sin A \cos A & = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} \times \left(-\dfrac{\text{sa}} {\text{mi}}\right) \\ & = -\dfrac{1}{\sqrt5} \times \left(-\dfrac{2}{\sqrt5}\right) \\ & = \dfrac25. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin A \cos A =\dfrac25}$
(Jawaban C)

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{a~\text{rad} = a \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi}}$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} & \dfrac23\pi = \dfrac23\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 120^{\circ} \\ & \dfrac73\pi = \dfrac73\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 420^{\circ} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi \\ & = \sin 120^{\circ} + \sin 420^{\circ} \\ & = \sin (180-60)^{\circ} + \sin (360+60)^{\circ} \\ & = \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt3 +\dfrac12\sqrt3 = \sqrt3. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi = \sqrt3}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos Q & = \dfrac{p^2 + r^2 -q^2}{2pr} \\ & = \dfrac{4^2+7^2-6^2}{2(4)(7)} \\ & = \dfrac{16+49-36}{56} = \dfrac{29}{56}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos Q = \dfrac{29}{56}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan seluruh panjang sisi segitiga. Karena $BC$ tidak diketahui panjangnya, maka harus ditentukan lebih dulu dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + BC^2 -2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 120^{\circ} \\ 7^2 & = 5^2 + BC^2 -2 \cdot 5 \cdot BC \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ 49 & = 25 + BC^2 + 5BC \\ 0 & = BC^2 + 5BC -24 \\ 0 & = (BC + 8)(BC -3) \end{aligned}$$Diperoleh $BC = -8$ (tidak memenuhi) atau $BC = 3$.
Dengan demikian, keliling segitiga $ABC$ adalah
$$\boxed{AB+AC+BC = 7 + 5 + 3 = 15~\text{cm}}$$(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$\begin{aligned} \angle C & = 180^{\circ} -(\angle A + \angle B) \\ &= 180^{\circ} -(120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut aturan trigonometri (3 sudut dan 1 sisi), diperoleh
$\begin{aligned} L & = \dfrac{BC^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\ & = \dfrac{36^2 \sin 30^{\circ} \sin 30^{\circ}}{2 \sin 120^{\circ}} \\ & = \dfrac{\cancelto{18}{36} \times \cancelto{18}{36} \times \frac{1}{\cancel2} \times \frac{1}{\cancel2}}{2 \times \frac12\sqrt3} \\ & = \dfrac{18 \times 18}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{324}{\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & = \dfrac{324}{3}\sqrt3 = 108\sqrt3. \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $ABC = 108\sqrt3~\text{cm}^2.$
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 250.000 \\ i & = 30\% = 0,3 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 250.000(1+0,3)^3 \\ & = 250.000(2,197) \\ & = 549.250 \end{aligned}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp549.250,00.

Diketahui:
$\begin{aligned} i & = 3\% = 0,03 \\ b_1 & = 22.500 \\ a_1 & = 127.500 \\ n & = 2 \end{aligned}$
Ditanya: $b_2 = \cdots$
Besarnya angsuran pada bulan ke-2 dinyatakan oleh
$\begin{aligned} a_n & = a_1(1+i)^{n-1} \\ a_2 & = 127.500(1+0,03)^{2-1} \\ & = 127.500(1,03) = 131.325. \end{aligned}$
Dengan menerapkan kesamaan nilai anuitas untuk setiap periode, diperoleh
$\begin{aligned} a_1+b_1 & = a_2+b_2 \\ 127.500 + 22.500 & = 131.325 + b_2 \\ 150.000 & = 131.325 + b_2 \\ 18.675 & = b_2. \end{aligned}$
Jadi, bunga pada bulan ke-2 sebesar Rp18.675,00.

$\begin{aligned} A+B^T & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+1 & 2+3 & 3+5 \\ 4+2 & 5+4 & 6+5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 6 & 9 & 11 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{A+B^T = \begin{pmatrix} 2 &5&8 \\ 6&9&11 \end{pmatrix}}$

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks, diperoleh
$$\begin{aligned} PQ & = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0(2) + (-3)(1) & 0(3) + (-3)(0) \\ 2(2) + 4(1) & 2(3) + 4(0) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} }$

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran $2$ sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan tangen sudutnya bernilai negatif.

Karena $\sin \alpha = 0,6 = \dfrac35$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang hipotenusa (sisi miring) adalah $5$ (sin = de/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{sa} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16}=4.$
Untuk itu, 
$\tan \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{sa}} = -\dfrac{3}{4}.$
(Tangen sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 2)
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \alpha =-\dfrac34}$