Category: Matriks

Diketahui:
$B$ = Bunga yang dikenakan = 
Rp550.000,00 – Rp500.000,00 = Rp50.000,00.
$M$ = Besar pinjaman = Rp500.000,00.
$i$ = suku bunga tunggal = $2{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{\%}.$
Ditanya: $t=$ lama pinjaman
Dari informasi yang diketahui, diperoleh
$\begin{array}{rl}B& =M\times i\times t\\ t& ={\displaystyle \frac{B}{M\times i}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{50.000}}{{\cancel{500.000}}^{10}\times {\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{\%}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{10\times {\displaystyle \frac{5}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{100}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=4.\end{array}$
Jadi, lama Siti meminjam adalah $\boxed{{\displaystyle 4}}$ bulan.
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{M}_0& =5.000.000\\ i& =10\mathrm{\%}=0,1\\ n& =3\end{array}$
Ditanya: $M=\cdots$
$\begin{array}{rl}M& =M_0(1+i{)}^n\\ & =5.000.000(1+0,1{)}^3\\ & =5.000.000(1,331)\\ & =6.655.000\end{array}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp6.655.000,00.
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}i& =30\mathrm{\%}=0,3\\ n& =3\\ M& =2.197.000\end{array}$
Ditanya: $M_0=\cdots$
$\begin{array}{rl}M& =M_0(1+i{)}^n\\ 2.197.000& =M_0(1+0,3{)}^3\\ 2.197.000& =M_0(2,197)\\ M_0& ={\displaystyle \frac{2.197.000}{2,197}}=1.000.000\end{array}$
Jadi, nilai tunai modal tersebut adalah Rp1.000.000,00.
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{M}_0& =300.000.000\\ i& =5\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{1}{20}}\\ n& =8\end{array}$
Ditanya: $M=\cdots$
$$\begin{array}{rl}M& =M_0-M_0\times i\times n\\ & =300.000.000-300.000.000\times {\displaystyle \frac{1}{20}}\times 8\\ & =300.000.000-120.000.000\\ & =180.000.000\end{array}$$Jadi, nilai rumah setelah 8 tahun adalah Rp180.000.000,00
(Jawaban D)

Misalkan 
$\begin{array}{rl}{b}_1& =\text{Bunga pada bulan pertama}\\ M& =\text{Pinjaman awal}\\ S_1& =\text{Pinjaman akhir bulan pertama}\\ a_1& =\text{Angsuran bulan pertama}\\ i& =\text{persentase bunga}\end{array}$
Dari tabel, diketahui bahwa
$\begin{array}{rl}M& =2.000.000\\ S_1& =1.542.817\end{array}$
Nilai $a_1$ dapat ditentukan sbb.
$\begin{array}{rl}M& =a_1+S_1\\ a_1& =M-S_1\\ a_1& =2.000.000-1.542.817\\ & =457.183\end{array}$
Didapat angsuran bulan pertama sebesar Rp457.183,00.
Selanjutnya,
$\begin{array}{rl}{b}_1& =M\times i\\ & =2.000.000\times 0,06\\ & =120.000.\end{array}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}\text{Anuitas}& =a_1+b_1\\ & =457.183+120.000\\ & =577.183.\end{array}$
Jadi, besar anuitasnya adalah Rp577.183,00.
(Jawaban D)

Pada matriks $P$, ada 2 entri ke bawah dan 3 entri ke samping. Ini berarti, $P$ merupakan matriks berordo $2\times 3$ (baris kali kolom). 
Catatan: Entri adalah bilangan yang terdapat dalam baris dan kolom tertentu pada suatu matriks. 
(Jawaban B)

Karena $A=B$, maka
$\left(\begin{array}{cc}4& 3x-y\\ 8& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ x+y& 6\end{array}\right).$
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, pada baris ke-1 kolom ke-2, diperoleh
$3x–y=4(\cdots 1)$
Pada baris ke-2 kolom ke-1, diperoleh
$x+y=8(\cdots 2)$
Dengan menggunakan metode eliminasi pada SPLDV di atas, diperoleh
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}3x-y& =4\\ x+y& =8\end{array}\\ +\\ \begin{array}{rl}4x& =12\\ x& =3\end{array}\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle x=3}}$
(Jawaban A)

Diketahui bahwa
$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}2x+6y& 5\\ 3& 3x-z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2z& z+y\\ 4y& 2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 11& 4\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}2x+6y+2z& y+z+5\\ 4y+3& 3x–z+2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 11& 4\end{array}\right)\end{array}$$Dari baris ke-2 kolom ke-1, didapat
$\begin{array}{rl}4y+3& =11\\ 4y& =8\\ y& =2.\end{array}$
Dari baris ke-1 kolom ke-2, didapat
$\begin{array}{rl}y+z+5& =8\\ \text{Substitusikan}& y=2\\ 2+z+5& =8\\ z& =8-7=1.\end{array}$
Dari baris ke-2 kolom ke-2, didapat
$\begin{array}{rl}3x-z+2& =4\\ \text{Substitusikan}& z=1\\ 3x-1+2& =4\\ 3x+1& =4\\ 3x& =3\\ x& =1.\end{array}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{{\displaystyle x+y+z=1+2+1=4}}$
(Jawaban D)

Karena $C=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$, maka transposnya dinyatakan oleh
$C^T=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 1& 2\end{array}\right).$
Untuk itu, 
$$\begin{array}{rl}2A+B-C^T& =2\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 6& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}4+4-5& 2+3-4\\ 6+2-1& 4+3-2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 7& 5\end{array}\right).\end{array}$$Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle 2A+B-C^T=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 7& 5\end{array}\right)}}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks, diperoleh
$$\begin{array}{rl}PQ& =\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}2(2)+1(0)& 2(-1)+1(4)\\ 3(2)+(-4)(0)& 3(-1)+(-4)(4)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 6& -19\end{array}\right).\end{array}$$Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{{\displaystyle \left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 6& -19\end{array}\right)}}$
(Jawaban B)

Diketahui $A=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -5& 4\end{array}\right).$
Determinan matriks ini adalah
$\begin{array}{rl}det(A)& =-4(4)–3(-5)\\ & =-16+15=-1.\end{array}$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka inversnya adalah
$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{det(A)}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -(-5)& -4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -5& 4\end{array}\right).\end{array}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{{\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -5& 4\end{array}\right)}}$
(Jawaban B)

Determinan matriks berordo $3\times 3$ dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}det(Q)& =(2)(2)(7)+3(3)(1)+(4)(1)(5)\\ & -((1)(2)(4)+(5)(3)(2)+(7)(1)(3))\\ & =28+9+20-(8+30+21)\\ & =57-59=-2\end{array}$$Jadi, determinan matriks $Q$ adalah $\boxed{{\displaystyle det(Q)=-2}}$
(Jawaban D)

Konversi derajat ke radian:
$\boxed{{\displaystyle a^{\circ }=a\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}}}$
Untuk itu, 
${140}^{\circ }={\cancel{140}}^7\times {\displaystyle \frac{\pi }{{\cancel{180}}^9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}\pi .$
Jadi, $A={140}^{\circ }$ setara dengan $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{7}{9}}\pi \text{rad}}}$
(Jawaban C)

Diketahui: $x=y=-2\sqrt{2}.$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r,\theta )$, dengan
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ & =\sqrt{(-2\sqrt{2}{)}^2+(-2\sqrt{2}{)}^2}\\ & =\sqrt{8+8}=4\end{array}$
dan
$\begin{array}{rl}& \tan \theta ={\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}}=1\\ & \Rightarrow \theta ={45}^{\circ }\vee {225}^{\circ }.\end{array}$
Karena titik $A$ berada di kuadran 3 (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta ={225}^{\circ }$. 
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$ adalah $\boxed{{\displaystyle (4,{225}^{\circ })}}$
(Jawaban E)

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c=AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}c& =\sqrt{a^2+b^2}\\ & =\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}\\ & =\sqrt{4}=2.\end{array}$
Cosinus sudut  adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku. Untuk itu,
$\boxed{{\displaystyle \cos \alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran 3 sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.

Karena $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $4$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{mi}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$
Untuk itu, 
$\sin \alpha =-{\displaystyle \frac{\text{de}}{\text{mi}}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}.$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 3)
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sin \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}$
(Jawaban C)

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{array}{rl}\sin ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\sin \alpha \\ \cos ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\cos \alpha \\ \tan ({180}^{\circ }+\alpha )& =\tan \alpha \end{array}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos ({180}^{\circ }+\alpha )$ adalah $\boxed{{\displaystyle -\cos \alpha }}$
(Jawaban D)

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sin {60}^{\circ }}{1+\cos {60}^{\circ }}}& ={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\frac{1}{\cancel{2}}\sqrt{3}}{\frac{3}{\cancel{2}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}.\end{array}$
Bentuk yang nilainya setara dengan ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}$ adalah $\boxed{{\displaystyle \tan {30}^{\circ }}}$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar.
Dengan menggunakan perbandingan cosinus, diperoleh
$\begin{array}{rl}\cos {60}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& ={\displaystyle \frac{AB}{3,2}}\\ AB& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 3,2=1,6.\end{array}$
Jadi, jarak ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah $\boxed{{\displaystyle 1,6\text{meter}}}$
(Jawaban B)

Karena nilai maksimum dari $\cos x$ adalah $1$, maka nilai maksimum dari $y=2\cos x+1$ tercapai saat $\cos x=1$, yaitu $y_{\text{maks}}=2(1)+1=3.$ 
Karena nilai minimum dari $\cos x$ adalah $-1$, maka nilai minimum dari $y=2\cos x+1$ tercapai saat $\cos x=-1$, yaitu $y_{\text{min}}=2(-1)+1=-1$. 
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $A$ berada di kuadran III sehingga sinus sudutnya bernilai negatif, cosinus sudut bernilai negatif, dan tangen sudut bernilai positif.

Karena $\tan A={\displaystyle \frac{1}{2}}$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $1$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $2$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.
Dengan demikian, 
$\text{mi}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$
Untuk itu, 
$\begin{array}{rl}\sin A\cos A& =-{\displaystyle \frac{\text{de}}{\text{mi}}}\times (-{\displaystyle \frac{\text{sa}}{\text{mi}}})\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\times (-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})\\ & ={\displaystyle \frac{2}{5}}.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sin A\cos A={\displaystyle \frac{2}{5}}}}$
(Jawaban C)

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{{\displaystyle a\text{rad}=a\times {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi }}}}$
Untuk itu, 
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \times {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi }}={120}^{\circ }\\ & {\displaystyle \frac{7}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{7}{3}}\pi \times {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi }}={420}^{\circ }\end{array}$
Dengan demikian, 
$\begin{array}{rl}& \sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi +\sin {\displaystyle \frac{7}{3}}\pi \\ & =\sin {120}^{\circ }+\sin {420}^{\circ }\\ & =\sin (180-60{)}^{\circ }+\sin (360+60{)}^{\circ }\\ & =\sin {60}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}=\sqrt{3}.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi +\sin {\displaystyle \frac{7}{3}}\pi =\sqrt{3}}}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{array}{rl}\cos Q& ={\displaystyle \frac{p^2+r^2-q^2}{2pr}}\\ & ={\displaystyle \frac{4^2+7^2-6^2}{2(4)(7)}}\\ & ={\displaystyle \frac{16+49-36}{56}}={\displaystyle \frac{29}{56}}.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \cos Q={\displaystyle \frac{29}{56}}}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan seluruh panjang sisi segitiga. Karena $BC$ tidak diketahui panjangnya, maka harus ditentukan lebih dulu dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{array}{rl}A{B}^2& =A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos {120}^{\circ }\\ 7^2& =5^2+B{C}^2-2\cdot 5\cdot BC\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ 49& =25+B{C}^2+5BC\\ 0& =B{C}^2+5BC-24\\ 0& =(BC+8)(BC-3)\end{array}$$Diperoleh $BC=-8$ (tidak memenuhi) atau $BC=3$.
Dengan demikian, keliling segitiga $ABC$ adalah
$$\boxed{{\displaystyle AB+AC+BC=7+5+3=15\text{cm}}}$$(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }C& ={180}^{\circ }-(\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B)\\ & ={180}^{\circ }-({120}^{\circ }+{30}^{\circ })={30}^{\circ }\end{array}$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut aturan trigonometri (3 sudut dan 1 sisi), diperoleh
$\begin{array}{rl}L& ={\displaystyle \frac{B{C}^2\sin B\sin C}{2\sin A}}\\ & ={\displaystyle \frac{{36}^2\sin {30}^{\circ }\sin {30}^{\circ }}{2\sin {120}^{\circ }}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cancel{36}}^{18}\times {\cancel{36}}^{18}\times \frac{1}{\cancel{2}}\times \frac{1}{\cancel{2}}}{2\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{18\times 18}{\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{324}{\sqrt{3}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\\ & ={\displaystyle \frac{324}{3}}\sqrt{3}=108\sqrt{3}.\end{array}$
Jadi, luas segitiga $ABC=108\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{M}_0& =250.000\\ i& =30\mathrm{\%}=0,3\\ n& =3\end{array}$
Ditanya: $M=\cdots$
$\begin{array}{rl}M& =M_0(1+i{)}^n\\ & =250.000(1+0,3{)}^3\\ & =250.000(2,197)\\ & =549.250\end{array}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp549.250,00.

Diketahui:
$\begin{array}{rl}i& =3\mathrm{\%}=0,03\\ b_1& =22.500\\ a_1& =127.500\\ n& =2\end{array}$
Ditanya: $b_2=\cdots$
Besarnya angsuran pada bulan ke-2 dinyatakan oleh
$\begin{array}{rl}{a}_n& =a_1(1+i{)}^{n-1}\\ a_2& =127.500(1+0,03{)}^{2-1}\\ & =127.500(1,03)=131.325.\end{array}$
Dengan menerapkan kesamaan nilai anuitas untuk setiap periode, diperoleh
$\begin{array}{rl}{a}_1+b_1& =a_2+b_2\\ 127.500+22.500& =131.325+b_2\\ 150.000& =131.325+b_2\\ 18.675& =b_2.\end{array}$
Jadi, bunga pada bulan ke-2 sebesar Rp18.675,00.

$\begin{array}{rl}A+B^T& =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 5\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1+1& 2+3& 3+5\\ 4+2& 5+4& 6+5\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 8\\ 6& 9& 11\end{array}\right)\end{array}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle A+B^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 8\\ 6& 9& 11\end{array}\right)}}$

Dengan menggunakan aturan perkalian matriks, diperoleh
$$\begin{array}{rl}PQ& =\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}0(2)+(-3)(1)& 0(3)+(-3)(0)\\ 2(2)+4(1)& 2(3)+4(0)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 8& 6\end{array}\right).\end{array}$$Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{{\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 8& 6\end{array}\right)}}$

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran $2$ sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan tangen sudutnya bernilai negatif.

Karena $\sin \alpha =0,6={\displaystyle \frac{3}{5}}$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang hipotenusa (sisi miring) adalah $5$ (sin = de/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{sa}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4.$
Untuk itu, 
$\tan \alpha =-{\displaystyle \frac{\text{de}}{\text{sa}}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}.$
(Tangen sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 2)
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \tan \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{4}}}}$