Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

     Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal standar dengan tingkat LOTS dan MOTS) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (HOTS & Olimpiade)

Today Quote

Don’t stop when you’re tired. STOP when you are done. 

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 1
Ubahlah bentuk berikut ke bentuk pangkat positif, kemudian hitunglah hasilnya.
a) $5^{-3}$
b) $4^{-2} \times 7^{-2}$
c) $\dfrac{8^{-6}} {8^{-2}}$
d) $(2^{-5})^{-2}$

Penyelesaian

Perpangkatan negatif didefinisikan sebagai $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} $
Jawaban a)
$5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5} = \dfrac{1}{125}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{-2} \times 7^{-2} & = \dfrac{1}{4^2} \times \dfrac{1}{7^2} \\ & = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{784} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{8^{-6}} {8^{-2}} & = 8^{-6-(-2)} =8^{-4} \\ & = \dfrac{1}{8^4} = \dfrac{1}{8 \times 8 \times 8 \times 8}= \dfrac{1}{4.096} \end{aligned}$
Jawaban d)
$(2^{-5})^{-2} = 2^{-5 \times (-2)} = 2^{10} = 1.024$

[collapse]

Soal Nomor 2
Penulisan dalam bentuk baku (notasi ilmiah) adalah $a \times 10^n$ dengan $1 \leq a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku.
a) $0,0053$
b) $0,00082$
c) $3^{-5}$
d) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8$
e) $1 329 000 000 000 000$
f) $9 880 034 000 000 000$

Penyelesaian

Jawaban a)
$0,0053 = 5,3 \times 10^{-3}$
Jawaban b)
$0,00082 = 8,2 \times 10^{-4}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 3^{-5} = \dfrac{1}{3^5} & = \dfrac{1}{243} \approx 0,004115226 \\ & = 4,115226 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 & = (0,5)^8 = (5 \times 10^{-1})^8 \\ & = 390.625 \times 10^{-8} \\ & = 3,90625 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban e)
$1 329 000 000 000 000 = 1,329 \times 10^{15}$
Ada $12$ angka nol (dari belakang) dan $3$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $12+3=15$.
Jawaban f)
$9 880 034 000 000$ = 9,880034 \times 10^{12}$
Ada $6$ angka nol (dari belakang) dan $6$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $6+6=15$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari $\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned}  & \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 10^6}{(10^2)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6 + 6}} {10^{-6}} \\ & = 5 \times 10^{-6 + 6 – (-6)} = \boxed{5 \times 10^6} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Bentuk $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Akar sekawan dari $\sqrt{7} – 2\sqrt{3}$ adalah $\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$, sehingga
$$\begin{aligned} & \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3}.\sqrt{7} + 3\sqrt{3}. 2\sqrt{3} +\sqrt{7}. \sqrt{7} + \sqrt{7}. 2\sqrt{3}} {(\sqrt{7})^2- (2\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{3\sqrt{21} + 18 + 7 + 2\sqrt{21}} {7-12} \\ & = \dfrac{5\sqrt{21} + 25}{-5} \\ & = -\dfrac{\cancel{5}(\sqrt{21}+5)}{\cancel{5}} \\ & = -(\sqrt{21} + 5) \\ & = \boxed{-5 – \sqrt{21}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 5
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} -3\sqrt{5}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Akar sekawan dari $2\sqrt{3} -3\sqrt{5}$ adalah $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$, sehingga
$$\begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} -3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} – 3\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} {2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}.2\sqrt{3}+\sqrt{3}.3\sqrt{5} + \sqrt{5}. 2\sqrt{3} + \sqrt{5}. 3\sqrt{5}} {(2\sqrt{3})^2 -(3\sqrt{5})^2} \\ & = \dfrac{6 + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 15}{12-45} \\ & = \dfrac{21+5\sqrt{15}} {-33} \\ & = \boxed{\dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $^x \log \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 = -2$

Penyelesaian

Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, kita dapatkan
$\begin{aligned} x^{-2} & = \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 \\ (x^{-2})^{-\frac{1}{2}} & = \left(\left(\dfrac{2}{9}\right)^3\right)^{-\frac{1}{2}} \\ x & = \left( \dfrac{9}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{27}{2\sqrt{2}} = \dfrac{27}{4}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x = \dfrac{27}{4}\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$. Nilai dari $^4 \log 15 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^5 \log 3 = a \iff ^3 \log 5 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 4 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^4 \log 15 = \cdots$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^4 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log (3 \times 5)}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log 3 + ^3 \log 5}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{1 + \frac{1}{a}} {b} \\ & = \dfrac{1+\frac{1}{a}} {b} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a + 1}{ab}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $^2 \log 3 = a$ dan $^2 \log 5 = b$. Nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui: 
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \\ &^2 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^9 \log 150$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^9 \log 150 & = \dfrac{^2 \log 150}{^2 \log 9} \\ & = \dfrac{^2 \log (2 \times 3 \times 5^2)} {^2 \log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{^2 \log 2 + ^2 \log 3 + 2 \cdot ^2 \log 5}{^2 \log 3 + ^2 \log 3} \\ & = \boxed{\dfrac{1 + a + 2b}{2a}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} & = \dfrac{27a^{-1}b^2c^2}{9a^2b^{-1}c^3} \\ & = 3a^{-1-2}b^{2-(-1)}c^{2-3} \\ & = 3a^{-3}b^3c^{-1} \\ & = \boxed{\dfrac{3b^3}{a^3c}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $\dfrac{^3 \log^2 18 -^3 \log^2 2}{^3 \log 36}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. $\boxed{a^2-b^2 = (a+b) (a-b)}$
Dalam hal ini, $a = ^3 \log 18$ dan $b = ^3 \log 2$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \dfrac{^3 \log^2 18 -^3 \log^2 2}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 18 -^3 \log 2)(^3 \log 18 + ^3 \log 2)}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log \frac{18}{2})(^3 \log (18 \times 2))} {^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 9)(\cancel{^3 \log 36})} {\cancel{^3 \log 36}} \\ & = ^3 \log 9 = \boxed{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Bentuk sederhana dari
$\left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} & = \left(\dfrac{y^{2-(-3)}}{2x^{1-(-1)}z^{2-(-2)}}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{y^5}{2x^2z^4}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{2x^2z^4}{y ^5}\right)^2 \\ & = \boxed{\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}}\end{aligned} $
Catatan: Nilai pangkat pada bentuk sederhana ini harus bernilai positif.

[collapse]

Soal Nomor 12
Bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat akar berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn] {a} \\ & \sqrt{(a+b) -2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} – \sqrt{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} & = \sqrt{\sqrt{49-20\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49-2 \cdot 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 – 2\sqrt{100 \cdot 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25 \cdot 24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} -\sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{(3+2) -2\sqrt{3 \cdot 2}} \\ & = \sqrt{3}-\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\sqrt{3}- \sqrt{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 13 (Soal UN Matematika Tapel 2006/2007)
Bentuk sederhana dari $2\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{32} + 2\sqrt{3} + \sqrt{12}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Sederhanakan bentuk akar yang ditandai dengan warna merah, kemudian operasikan dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
$$\begin{aligned} & 2\sqrt{2} + \color{red}{\sqrt{8}} + \color{red}{\sqrt{32}}+ 2\sqrt{3} + \color{red}{\sqrt{12}} \\ & = 2\sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (2+2+4)\sqrt{2} + (2+2)\sqrt{3} \\ & = \boxed{8\sqrt{2} + 4\sqrt{3}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal UN Matematika Tapel 2007/2008)
Jika nilai $^2 \log 3 = a$ dan $^3 \log 5 = b$, maka $^6 \log 15 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \iff ^3 \log 2 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log 15 = \cdots$
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 6} \\ & = \dfrac{^3 \log (5 \times 3)} {^3 \log (3 \times 2)} \\ & = \dfrac{^3 \log 5 + ^3 \log 3}{^3 \log 3 + ^3 \log 2} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a(1+b)} {1+a}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $3^{2+x} = 45$, maka $3^{2x}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaan $3^{2+x} = 45$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \cancel{3^2}.3^x & = \cancel{3^2}.5 \\ 3^x & = 5 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\  (3^x)^2 & = 5^2 \\ 3^{2x} & = 25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $3^{2x}$ adalah $25$.

[collapse]

Soal Nomor 16
Ubahlah bentuk pangkat berikut dalam basis 10.
$10^9 \times 100^2 \times 1000^{-3} \times 10000^{-2} \times 2222^0$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $100 = 10^2, 1000 = 10^3, 10000=10^4$, dan $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$, sehingga bentuk pangkat di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} & 10^9 \times (10^2)^2 \times (10^3)^{-3} \times (10^4)^{-2} \times 1 \\ & = 10^9 \times 10^4 \times 10^{-9} \times 10^{-8} \\ & = 10^{9 + 4 + (-9) + (-8)} = \boxed{10^{-4} = \dfrac{1}{10^4}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan bentuk akar berikut.
$\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288} -\sqrt{200}$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} &\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288}- \sqrt{200} \\ & = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} \times \sqrt{144 \times 2} -\sqrt{100 \times 2} \\ & = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 12\sqrt{2}- 10\sqrt{2} \\ & = 6\sqrt{2} + (5 \times 12) \times 2 -10\sqrt{2} \\ & = -4\sqrt{2} + 120 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{-4\sqrt{2} + 120}$

[collapse]

Soal Nomor 18
$\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ dalam bentuk pangkat positif adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ sehingga
$\begin{aligned} \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \dfrac{x^{-1}-y^{-1}} {x^{-1}+y^{-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{y}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \\ & = \dfrac{\dfrac{y-x} {\cancel{xy}}} {\dfrac{x+y} {\cancel{xy}}} = \dfrac{y-x}{x+y} \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk pangkat positif dari $\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ adalah $\boxed{\dfrac{y-x} {x+y}}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $^6 \log 3 = x$ dan $^6 \log 2 = y$, maka $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} ^6 \log 3 & = x \\ ^6 \log 2 & = y \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} & = ^6 \log 2\sqrt{2} -^6 \log 27 \\ & = ^6 \log 2 + ^6 \log 2^{\frac{1}{2}} -^6 \log 3^3 \\ & = ^6 \log 2 + \dfrac{1}{2} \cdot ^6 \log 2 – 3 \cdot ^6 \log 3 \\ & = y + \dfrac{1}{2}y – 3x \\ & = \dfrac{3}{2}y -3x \\ & = \dfrac{-6x + 3y}{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $x > 0$ dan $x \neq 1$ memenuhi bentuk $x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} = x^{\frac{1}{pq}}$, di mana $p$ dan $q$ bilangan rasional, maka hubungan antara $p$ dan $q$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat perpangkatan, diperoleh
$\begin{aligned} x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \\ x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan hubungan pangkat bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} & = \dfrac{1}{pq} \\ \dfrac{p+q} {\cancel{pq}} & = \dfrac{1}{\cancel{pq}} \\ p+q & = 1 \end{aligned}$ 
Jadi, hubungan antara $p$ dan $q$ dinyatakan oleh persamaan $\boxed{p + q = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi yang lain adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku
$\begin{aligned} 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ & 16 + (2^{2x})^2 \cdot 4 & = 16 \cdot 2^{2x} \end{aligned}$
Misalkan $2^{2x} =a$, sehingga diperoleh 
$$\begin{aligned} 16 + a^2 \cdot 4 & = 16a \\ 4a^2 -16a + 16 & = 0 \\ a^2 -4a + 4 & = 0 && (\text{kedua ruas dibagi 4}) \\ (a -2)^2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$. Ini berarti, $2^{2x} = 2$, dan akibatnya nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Bentuk sederhana dari 
$\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 -^2 \log^2 2} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa $^a \log^b c = (^a \log c)^b$. 
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 -^2 \log^2 2} \\ & = \dfrac{^5 \log 3^{\frac{1}{2}} \cdot ^{3^2} \log 5^3 + ^{2^4} \log 2^5}{(^2 \log 8 + ^2 \log 2)(^2 \log 8 -^2 \log 2)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot ^5 \log 3 \cdot \frac{3}{2} ^3 \log 5 + \frac{5}{4} ^2 \log 2}{(3 + 1)(3-1)} \\ & = \dfrac{\frac{3}{4} \cdot ^5 \log 5 + \frac{5}{4}} {4.2} \\ & = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} $
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 -^2 \log^2 2}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\log \sqrt{^2 \log x + 8} = 1$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: $a^c = b \iff ^a \log b = c$.
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} \log \sqrt{^2 \log x + 8} & = 1 \\ \cancel{\log} \sqrt{^2 \log x + 8} & = \cancel{\log} 10 \\ \sqrt{^2 \log x + 8} & = 10 \\ ^2 \log x + 8 & = 100 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ ^2 \log x & = 92 \\ x &= 2^{92} \end{aligned}$$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x = 2^{92}$.

[collapse]

Soal Nomor 24
Hubungan antara kecepatan pompa sirkulasi dan kapasitas ditentukan dengan
$R = 356.(10)^{0,000152G}$
dengan $R$ adalah kecepatan (putaran/menit) dan $G$ adalah kapasitas (galon/menit). Apabila $R = 500$, nilai $G$ yang memenuhi persamaan adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $R = 356.(10)^{0,000152G}$ dan $R = 500$, sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\begin{aligned} 500 & = 356 \cdot (10)^{0,000152G} \\ \dfrac{500}{356} & = 10^{0,000152G} \\ ^{10} \log \dfrac{500}{356} & = 0,000152G \\ \log 500 -\log 356 & = 0,000152G \\ G & = \dfrac{\log 500 -\log 356}{0,000152} \end{aligned}$
Jadi, nilai $G$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{G = \dfrac{\log 500 – \log 356}{0,000152}}$

[collapse]

Join yuk: Telegram – Komunitas dan Aliansi Matematika Indonesia

Soal Nomor 25
Jika $p = (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}} -x^{-\frac{1}{3}})$ dan $q = (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x -x^{\frac{1}{3}})$, maka $\dfrac{p} {q} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{p} {q} & = \dfrac{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}- x^{-\frac{1}{3}})} {(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x -x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \dfrac{x(\cancel{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}} -x^{-\frac{1}{3}})}} {\cancel{ (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})} x^{\frac{2}{3}}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}} -x^{-\frac{1}{3}})}} \\ & = \dfrac{x} {x^{\frac{2}{3}}} \\ & = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{p} {q} $ adalah $\boxed{\sqrt[3]{x}} $

[collapse]

Soal Nomor 26
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1} = 24^{x-1}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena $8$ dan $24$ tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai $x$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 8^{x+1} & = 24^{x-1} \\ \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24 -\log 24 \\ x \log 8- x \log 24 & = -\log 24 -\log 8 \\ x(\log 8 -\log 24) & = -\log 24 -\log 8 \\ x & = \dfrac{-\log 24 -\log 8}{\log 8 -\log 24} = \dfrac{\log 24 + \log 8}{\log 24 -\log 8} \\ x & = \dfrac{\log (8 \times 3) + \log 8}{\log \frac{24}{8}} \\ x & = \dfrac{\log 8 + \log 3 + \log 8}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ x & = 6 \cdot ^3 \log 2 + 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah $\boxed{x = 6 \cdot ^3 \log 2 + 1}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} = 9$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} & = 9 \\ \dfrac{1}{27} \times \dfrac{x^{\log 15x}} {x^{\log 5x}} & = 9 \\ x^{\log 15x -\log 5x} & = 9 \times 27 \\ x^{\log \frac{15\cancel{x} } {5\cancel{x}}} & = 3^2 \times 3^3 \\ x^{\log 3} & = 3^5 \end{aligned}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{aligned} ^x \log 3^5 & = \log 3 \\ ^x \cancel{\log 3^5} & = ^{10^5} \cancel{\log 3^5}\\ x & = 10^5 = 100.000\end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = 100.000}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Jika $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\ & = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$

Jadi, persamaannya dapat ditulis ulang menjadi
$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = 2 + \sqrt{3}$
Sekarang, perhatikan bahwa $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$, sehingga haruslah
$\begin{aligned} \sqrt[4]{a} & = 2 \\ (\sqrt[4]{a})^4 & = 2^4 \\ a & = 16 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $\boxed{a = 16}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{41} \cdot 3^2 \\ 2\cancel{(3^{41})}(^2 \log a) + \cancel{3^{41}}(^2 \log a) & = \cancel{3^{41}} \cdot 9 \\ 2(^2 \log a) + ^2 \log a & = 9 \\ 3(^2 \log a) & = 9 \\ ^2 \log a & = \dfrac{9}{3}=3 \\ a & = 2^3 = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $8$.

[collapse]

Soal Nomor 30
Nilai dari $\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut. $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} & = \dfrac{5^{^{\sqrt{25}} \log \sqrt{9}}}{8^{^{2^3} \log 3^3}} \\ & = \dfrac{5^{^5 \log 3}} {8^{^8 \log 27}} \\ & = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika $a = 0,111\cdots$, maka nilai $^a \log 729 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Ubah $0,111\cdots$ menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,
$\begin{cases} a & = 0,111\cdots \\ 10a & = 1,111\cdots \end{cases}$
Kurangi persamaan 2 (bawah) dengan persamaan 1 (atas),
$\begin{aligned} 10a – a & = 1,111\cdots – 0,111\cdots \\ 9a & = 1 \\ a & = \dfrac{1}{9} = 9^{-1} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} ^a \log 729 & = 9^{-1} \log 9^3 \\ & = \dfrac{3}{-1} ^9 \log 9 = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^{0,111\cdots} \log 729 = -3}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika $m > 1, n > 1$, dan $x > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} & = \dfrac{^n \log x} {^n \log n + ^n \log m} \\ & = \dfrac{^n \log x} {^n \log mn} \\ & = ^{mn} \log x \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+^n \log m}$ adalah $\boxed{^{mn} \log x}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Karakteristik $\log 1234,56789$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Nilai karakteristik logaritma ditentukan oleh numerusnya.
Jika diberikan $^a \log x = n$, maka: karakteristiknya 0 jika $1 < x < 10$, karakteristiknya 1 jika $10 < x < 100$,  karakteristiknya 2 jika $100 < x < 1000$ dan seterusnya.
Karena numerus logaritmanya yaitu $1234,56789$, berada di antara $1.000$ dan $10.000$, maka ini berarti karakteristik logaritmanya adalah $3$.

[collapse]

Soal Nomor 34
Jika $a > b > c > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b. ^b \log c & = ^a \log c \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}\end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a} & = \dfrac{\dfrac{\log a} {\log b}. \dfrac{\log a} {\log c}} {\dfrac{\log a} {\log b} + \dfrac{\log a} {\log c}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\log^2 a} {\cancel{\log b \log c}}} {\dfrac{\log a \log c + \log a \log b}{\cancel{\log b \log c}} } \\ & = \dfrac{\log^2 a} {\log a \log c + \log a \log b} \\ & = \dfrac{\log^{\cancel{2}} a} {\cancel{\log a}(\log c + \log b)} \\ & = \dfrac{\log a} {\log c + \log b} \\ & = \dfrac{\log a} {\log bc} \\ & = ^{bc} \log a \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a}$ adalah $\boxed{^{bc} \log a} $

[collapse]

Soal Nomor 35
Jika $a+b=1$ dan $a^2 + b^2 = 2$, maka $a^4 + b^4 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan $a+b=1$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} (a+b)^2 & = 1^2 \\  a^2 + b^2 + 2ab & = 1 \\ 2 + 2ab & = 1 \\ 2ab & = -1 \\ ab & = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan kesimetrian bentuk pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) – 2(ab)^2 \\ & = (2)(2) – 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = 4 – 2 \times \dfrac{1}{4} \\ & = 4 -\dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{a^4 + b^4 = 3\dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 36
Jika $\dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} = m$ dan $\dfrac{^3 \log a} {^2 \log b} = n, a > 1$, maka $\dfrac{m} {n} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\dfrac{m} {n} = m \times \dfrac{1}{n}$, sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{m} {n} & = \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} \times \dfrac{^2 \log b} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\dfrac{^3 \log a} {^3 \log 2}} {^3 \log b} \times \dfrac{\dfrac{^3 \log b} {^3 \log 2}} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\cancel{^3 \log a \cdot ^3 \log b} } {^3 \log 2 \cdot ^3 \log 2} \times \dfrac{1}{\cancel{^3 \log b \cdot ^3 \log a}} \\ & = \dfrac{1}{(^3 \log 2)^2} = (^2 \log 3)^2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{m} {n} = (^2 \log 3)^2$

[collapse]

Soal Nomor 37
Hasil dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2 -(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk pada pembilang dapat difaktorkan dengan mengikuti konsep: $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} &\dfrac{(^3 \log 45)^2 -(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 45 + ^3 \log 5)(^3 \log 45 -^3 \log 5)} {^3 \log 15^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 225)(^3 \log 9)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(^3 \log 15^2)(2)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(2)(2)\cancel{(^3 \log 15)}} {\frac{1}{3} \cdot \cancel{^3 \log 15}} \\ & = \dfrac{4}{\frac{1}{3}} = 12 \end{aligned}$
Jafi, nilai dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2 -(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\boxed{12}$

[collapse]

Soal Nomor 38
Jika $60^a = 3$ dan $60^b = 5$, maka nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}} $ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} 60^a = 3 & \iff a = ^{60} \\ 60^b = 5 & \iff b = ^{60} \log 5 \end{aligned}}$
Sederhanakan dulu ekspresi pangkatnya. 
$\begin{aligned} \dfrac{1-a-b} {2-2b} & = \dfrac{1-^{60} \log 3 -^{60} \log 5}{2-2(^{60} \log 5)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 60 -^{60} \log 3 -^{60} \log 5}{^{60} \log 60^2 -^{60} \log 25} \\ & = \dfrac{^{60} \log (60 \div 3 \div 5)} {^{60} \log (3600 \div 25)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 4}{^{60} \log 144} \\ & = ^{144} \log 4 = ^{12} \log 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$12^{^{12} \log 2} = 2$
Jadi, nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}}$ adalah $\boxed{2}$

[collapse]

Soal Nomor 39
Tentukan hasil dari $\dfrac{5^{2-n} -(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n}$.

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat: $\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ dan definisi bahwa $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{5^{2-n} -(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} & = \dfrac{\dfrac{5^2}{5^n} -\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{\dfrac{5}{5^n} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n} \\ & = \dfrac{\dfrac{25}{5^n} -\dfrac{1}{5^n}}{\dfrac{5}{5^n} + \dfrac{1}{5^n}} \\ & = \dfrac{\dfrac{25 -1}{\cancel{5^n}}}{\dfrac{5+1}{\cancel{5^n}}} \\ & = \dfrac{25-1}{5+1} = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{5^{2-n} -(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 40
Jika $3^{\frac{x}{y}}$ adalah penyederhanaan dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$, tentukan nilai $x+y$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $3, 9, 27$ memiliki basis perpangkatan yang sama dan ingat bahwa $\boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}$, sehingga
$\begin{aligned} \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}} & = \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{3^3}}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{9(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^2(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{2}}}} \\ & = \sqrt{3(3^{\frac{7}{4}})} \\ & = \sqrt{3^{\frac{11}{4}}}= 3^{\frac{11}{8}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$ adalah $3^{\frac{11}{8}}$, sehingga diperoleh nilai $x = 11$ dan $y = 8$. Dengan demikian, $\boxed{x + y = 11 + 8 = 19}$

[collapse]

Soal Nomor 41
Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat bahwa $\boxed{a^{m – n} = \dfrac{a^m}{a^n}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}} & = \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q}{a^q} + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p}{a^p} + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q + a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p + a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{a^q}{a^q + a^p} + \dfrac{a^p}{a^p + a^q} \\ & = \dfrac{a^p + a^q}{a^p + a^q} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}=1}$

[collapse]

Soal Nomor 42
Apabila $a = 0,909090\cdots$ dan $b = 1,331$, maka $^a \log b = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Ubah $a$ menjadi bentuk pecahan biasa sebagai berikut.
$\begin{aligned} a & = 0,909090\cdots \\ 100a & = 90,909090\cdots \\ & \rule{3 cm} {0.8pt}~- \\ 99a & = 90 \\ a & = \dfrac{90}{99} = \dfrac{10}{11} \end{aligned}$
Selanjutnya, $b = 1,331 = \dfrac{1331}{1000}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} ^a \log b & = ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{1331}{1000} \\ & = ^{\frac{10}{11}} \log \left(\dfrac{11}{10}\right)^3 \\ & = 3 \times ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{11}{10} \bigstar\\ & = -3 \end{aligned}$

Jadi, nilai dari $\boxed{^a \log b = -3}$
NB: $\bigstar$ Gunakan sifat bahwa $\boxed{^{\frac{a}{b}} \log \dfrac{b} {a} = – ^{\frac{a} {b}} \log \dfrac{a}{b} = -1}$

[collapse]

Soal Nomor 43
Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x > 1$ dan $y > 0, xy = x^y$, dan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$, maka $x^2 +3y = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Misalkan $xy = x^y$ disebut sebagai persamaan pertama, sedangkan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$ disebut sebagai persamaan kedua.
Pandang persamaan kedua.
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = x^{5y} \\ y & = \dfrac{x} {x^{5y}} = x^{1-5y} \end{aligned}$
Substitusikan ini ke persamaan pertama:
$\begin{aligned} x(x^{1-5y}) & = x^y \\ x^{2-5y} & = x^y \\ 2 -5y & = y \\ y & =\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Substitusikan $y = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan kedua, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x & = x^{\frac{5}{3}} \\ ^x \log 3x & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log x + ^x \log 3 & =\dfrac{5}{3} \\ 1 + ^x \log 3 & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log 3 & = \dfrac{2}{3} \\ x & = 3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{27} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{x^2 + 3y = (\sqrt{27})^2 + 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = 28}$

[collapse]

Soal Nomor 44
Jika $^4 \log ^4 \log x -^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 = 2$, maka $x = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} ^4 \log ^4 \log x -^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x -^4 \log ^4 \log 2 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x -^4 \log \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x -^{2^2} \log 2^{-1} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x + \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x & = \dfrac{3}{2} \\ ^4 \log x & = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 8 \\ x = 4^8 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{x = 4^8}$

[collapse]

Soal Nomor 45
Persamaan $^{x^2-6x+14} \log (x-3) = ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9)$ akan bernilai benar apabila nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan ruas kanan persamaan tersebut. Dengan menggunakan sifat bahwa $\boxed{a^n \log b^n = a \log b}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9) & = ^{(2x-1)^2} \log (x-3)^2 \\ & = ^{2x-1} \log (x-3) \end{aligned}$$
Dengan demikian, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut. $\begin{aligned} ^{x^2-6x+14} \cancel{\log (x-3)} & = ^{2x-1} \cancel{\log (x-3)} \\ x^2-6x+14 & = 2x -1 \\ x^2 -8x + 15 & = 0 \\ (x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 3$ atau $x = 5$
Sekarang, ingat bahwa numerus logaritma haruslah positif, sehingga $x -3 > 0 \iff \boxed{x > 3}$
Untuk itu, hanya $x = 5$ yang memenuhi syarat ini, sehingga agar persamaan yang diberikan bernilai benar, nilai $x$ adalah $\boxed{x=5}$.

[collapse]

Soal Nomor 46
Bentuk $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa $\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$.
Untuk itu, dapat kita tuliskan

$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} & = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2 + 2\sqrt{\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}} -\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}- \sqrt{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{9} -\sqrt{3} + \sqrt{3} – \sqrt{1}} {\frac{3}{2} -\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{3-1}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 47
Diketahui $\log 3,16 = 0,5$. Nilai dari $(3,16)^4$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} \log 3,16 & = 0,5 \\ 10^{0,5} & = 3,16 && (^a \log b = c \iff a^c = b) \\ (10^{0,5})^4 & = (3,16)^4 \\ 10^2 = 100 & = (3,16)^4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(3,16)^4 = 100}$

[collapse]

Soal Nomor 48
Misalkan $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$, maka nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log bc & = ^a \log b + ^a \log c \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a}, c > 0 \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}$
Diketahui: $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$. Dengan menggunakan sifat perkalian logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c & = 2 \cdot 3 \\ ^a \log c & = 6 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c \cdot ^c \log d & = 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ ^a \log d & = 24 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} ^{abc} \log d & = \dfrac{^a \log d}{^a \log (abc)} \\ & = \dfrac{^a \log d}{^a \log a + ^a \log b + ^a \log c} \\ & = \dfrac{24}{1+2+6} \\ & = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 49
Jika $x = \dfrac{3}{9}$ dan $y = 0,111\cdots$, maka nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ dengan $a>1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                       D. $2a$
B. $10a$                      E. $\frac{1}{2}$
C. $2$

Penyelesaian

Diketahui
$\begin{aligned} x & = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \\ y & = 0,111\cdots = \dfrac{1}{9} = 3^{-2} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa bentuk $a^{^a \log b} = b$ untuk $a > 1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (^x \log y)a^{^a \log 10} & = (^{3^{-1}} \log 3^{-2}) \cdot 10 \\ & = \dfrac{-2}{-1} \cdot ^3 \log 3 \cdot 10 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 50 (Soal Aplikasi Peluang dan Logaritma)
Dalam suatu kotak terdapat bola hitam dan bola putih. Jika peluang muncul bola hitam adalah $\log x$ dan peluang muncul bola putih adalah $\log 2x$ , tentukan nilai $x^2 + 1$.

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \log a + \log b & = \log bc \\ ^a \log b = c \iff b & = a^c \end{aligned}}$
Peluang mendapatkan bola hitam atau bola putih dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \log x + \log 2x & = 1 \\ \log 2x^2 & = 1 \\ 2x^2 & = 10 \\ x^2 & = 5 \\ x^2 + 1 & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x^2+1$ adalah $\boxed{6}$

[collapse]

Soal Nomor 51
Tentukan bentuk sederhana dari $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$

Penyelesaian

Gunakan sifat berikut.
$\boxed{ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{6 + \sqrt{20}} & = \sqrt{6 + \sqrt{4 \times 5}} \\ & = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{(5 + 1) + 2\sqrt{5 \times 1}} \\ & = \sqrt{5} + \sqrt{1} \\ & = 1 + \sqrt{5} \end{aligned}$

Jadi,  bentuk sederhana dari  $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $\boxed{1 + \sqrt{5}}$

[collapse]

Soal Nomor 52
Jika $x>0$ dan $y>0$, maka $\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = \cdots \cdot$
A. $3+\log xy$             D. $\dfrac{1}{3}$
B. $3 \log xy$                 E. $3$
C. $3 \log 10xy$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} \\ & = \dfrac{3(1- \log^2 xy)} {1 -(\log x^3y^2 -\log (x\sqrt{y})^2)} \\ & = \dfrac{3\cancel{(1- \log xy)}(1 + \log xy)} {\cancel{1 -\log xy}} \\ & = 3(1 + \log xy) \\ & = 3(\log 10 + \log xy) \\ & = 3 \log 10xy \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = 3 \log 10xy}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 53
Hasil dari $\dfrac{9 -\log^2 a^3b^3}{1 -\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = \cdots \cdot$
A. $9 + \log 10ab$
B. $3 + \log 10ab$
C. $3 + 3 \log ab$
D. $9 + 9 \log ab$
E. $\log ab$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \dfrac{9 -\log^2 a^3b^3}{1 -\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} \\ & = \dfrac{(3 + \log a^3b^3)(3 -\log a^3b^3)}{1 -\log a^5b^3 + \log a^4b^2} \\ & = \dfrac{(3 + 3 \log ab)(3 -3 \log ab)}{1 -\left(\log \dfrac{a^5b^3}{a^4b^2}\right)} \\ & = \dfrac{3(1 + \log ab) \cdot 3\cancel{(1 -\log ab)}}{\cancel{1 -\log ab}} \\ & = 9(1 + \log ab) \\ & = 9 + 9 \log ab \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{9 – \log^2 a^3b^3}{1 -\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = 9 + 9 \log ab}$

[collapse]

Soal Nomor 54
Jika $u=x^2$ dan $^x \log 10 = ^u \log (5u-40)$, maka nilai $u$ adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $27$                   E. $29$
B. $26$                    D. $28$          

Penyelesaian

Substitusikan $u=x^2$ pada persamaan logaritma tersebut. 
$\begin{aligned} ^x \log 10 & = ^u \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = ^{x^2} \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = \dfrac{1}{2} \cdot ^x \log (5u-40) \\ \bcancel{^x \log} 10 & = \bcancel{^x \log} \sqrt{5u-40} \\ 10 & = \sqrt{5u-40} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^2 & = (\sqrt{5u-40})^2 \\ 100 & = 5u-40 \\ 140 & = 5u \\ u & = \dfrac{140}{5} = 28 \end{aligned}$
Jadi, nilai $u$ adalah $\boxed{28}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 55
Jika $x \log 2- y \log 3 + z \log 5 = 10$ maka $2x + 8y -3z = \cdots \cdot$
A. $-20$                     C. $0$                    E. $20$
B. $-10$                     D. $10$        

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} x \log 2 -y \log 3 + z \log 5 & = 10 \\ \log 2^x -\log 3^y + \log 5^z & = 10 \\ \cancel{\log} \left(\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}\right) & = \cancel{\log} 10^{10} \\ \dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y} & = 10^{10} \end{aligned}$
Karena $2, 3, 5$ merupakan bilangan prima, maka bentuk pecahan $\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}$ sudah dalam bentuk paling sederhana. Ini berarti $3^y$ haruslah bernilai $1$ (jika tidak, hasilnya akan berupa pecahan). 
Jadi, $y$ yang memenuhi adalah $0$.
Untuk itu, 
$2^x \cdot 5^z = 10^{10}$
Pilih $x = z = 10$, sehingga
$2^{10} \cdot 5^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10}$
Jadi, hasil dari
$\boxed{2x + 8y -3z = 2(10) + 8(0) – 3(10) = -10}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 56
Jika $a^x = b^y = c^z$ dan $b^2=ac$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{2yz}{y+z}$                  D. $\dfrac{yz}{2y-z}$
B. $\dfrac{2yz}{2z-y}$                  E. $\dfrac{yz}{2z-y}$
C. $\dfrac{2yz}{2y-z}$

Penyelesaian

Misalkan $a^x = b^y = c^z = k^{xyz}$, sehingga $a = k ^{yz}, b = k^{xz}$, dan $c = k^{xy}$
Dengan demikian, dari persamaan $b^2=ac$, berlaku
$\begin{aligned} (k^{xz})^2 & = k^{yz}k^{xy} \\ k^{2xz} & = k^{yz + xy} \\ 2xz & = yz + xy \\ x(2z -y) & = yz \\ x & = \dfrac{yz}{2z-y} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = \dfrac{yz}{2z-y}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 57
Jika $x \neq y$ memenuhi persamaan $5x ^3 \log 2^y = x ^3 \log 2^x + y ^3 \log 2^{4y}$, maka nilai $\dfrac{x}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$            B. $2$          C. $3$           D. $4$           E. $5$

Penyelesaian

Sederhanakan persamaan yang diberikan.
$\begin{aligned} 5x~^3 \log 2^y & = x~^3 \log 2^x + y~^3 \log 2^{4y} \\ 5xy ~\cancel{^3 \log 2} & = x^2~\cancel{^3 \log 2} + 4y^2~\cancel{^3 \log 2} \\ 5xy & = x^2 + 4y^2 \\ x^2 -5xy + 4y^2 & = 0 \\ (x -y)(x -4y) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x = y$ atau $x = 4y$, tetapi karena diberikan bahwa $x \neq y$ (pada soal), maka dipilih $x = 4y$. Dengan demikian,
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{4y}{y} = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 58
Bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1-2\sqrt2$                 D. $3-3\sqrt2$
B. $2-2\sqrt2$                 E. $2\sqrt2$
C. $3-2\sqrt2$

Penyelesaian

Sederhanakan dengan menerapkan sifat akar.
$\begin{aligned}\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}} & = \dfrac{\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}}{(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\color{red}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}(\sqrt2+1)\color{red}{(\sqrt2+1)^{\sqrt3}}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(2-1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}} \\ & = \dfrac{2 -2\sqrt2 + 1}{2 -1} \\ & = 3 -2\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\boxed{3 – 2\sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 59
Jika $b > 1, x > 0$ dan $(2x)^{^b \log 2} = (3x)^{^b \log 3}$, maka $x = \cdots$
A. $\dfrac{1}{216}$                           D. $6$
B. $\dfrac16$                                 E. $216$
C. $1$

Penyelesaian

Logaritmakan kedua ruas, kemudian sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{aligned} (2x)^{^b \log 2} & = (3x)^{^b \log 3} \\ ^b \log (2x)^{^b \log 2} & = ^b \log (3x)^{^b \log 3} \\ ^b log 2 \cdot ^b \log 2x & = ^b \log 3 \cdot ^b \log 3x \\ ^b log 2 \cdot (^b \log 2 + ^b \log x) & = ^b \log 3 \cdot (^b \log 3 + ^b \log x) \\ (^b \log 2)^2 + ^b log 2 \cdot ^b \log x & = (^b \log 3)^2 + ^b log 3 \cdot ^b \log x \\ (^b \log 2)^2 -(^b \log 3)^2 &= ^b \log 3 \cdot ^b \log x -^b \log 2 \cdot ^b \log x \\ (^b \log 2 + ^b \log 3)(^b \log 2 -^b \log 3) & = ^b \log x(^b \log 3 -^b \log 2) \\ ^b \log 6 \cdot \cancel{^b \log \dfrac23} & = ^b \log x \cdot (-1) \cancel{^b \log \dfrac23} \\ \cancel{^b \log} 6 & = \cancel{^b \log} x^{-1} \\ x^{-1} & = 6 \\ x & = \dfrac16 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban B)

[collapse]