Soal dan Pembahasan – Induksi Matematika pada Deret dan Ketaksamaan Bilangan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n):1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}.$ 
Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1={\displaystyle \frac{1(1+1)}{2}}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k):1+2+3+\cdots +k={\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$\begin{array}{rl}P(k+1)& :1+2+3+\cdots +k+(k+1)\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}.★\end{array}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}\underset{P(k)}{\underbrace{1+2+3+\cdots +k}}+(k+1)& ={\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}+{\displaystyle \frac{2(k+1)}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n):2+4+6+\cdots +2n=n^2+n.$
Langkah Basis:
Untuk $n=1,$ diperoleh
$P(1):2=1^2+1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k):2+4+6+\cdots +2k=k^2+k.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1):& 2+4+6+\cdots +2k+2(k+1)\\ & =(k+1{)}^2+(k+1)& & ★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}\underset{P(k)}{\underbrace{2+4+6+\cdots +2k}}+2(k+1)& =(k^2+k)+(2k+2)\\ & =(k^2+2k+1)+(k+1)\\ & =(k+1{)}^2+(k+1).★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1^2={\displaystyle \frac{1(1+1)(2+1)}{6}}=1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k):1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2={\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1):& 1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2+(k+1{)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}.& & ★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}\underset{P(k)}{\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2}}+(k+1{)}^2& ={\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1{)}^2\\ & =(k+1)\times {\displaystyle \frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}}\\ & =(k+1)\times {\displaystyle \frac{2k^2+7k+6}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n):1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2.$
Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1=1^2.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k):1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^2.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1)& :1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2k+1)\\ & =(k+1{)}^2.& & ★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}\underset{P(k)}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2k-1)}}+(2k+1)& =k^2+2k+1\\ & =(k+1{)}^2.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1(2)={\displaystyle \frac{1(1+1)(1+2)}{3}}=2.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k):1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +k(k+1)={\displaystyle \frac{k(k+1)(k+2)}{3}}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1)& :1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +k(k+1)+(k+1)(k+2)\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}.& & ★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& \underset{P(k)}{\underbrace{1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +k(k+1)}}+(k+1)(k+2)\\ & ={\displaystyle \frac{k(k+1)(k+2)}{3}}+{\displaystyle \frac{3(k+1)(k+2)}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n):{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}={\displaystyle \frac{n}{2n+1}}.}$
Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$\begin{array}{rl}P(1):{\displaystyle \frac{1}{(2(1)-1)(2(1)+1)}}& ={\displaystyle \frac{1}{2(1)+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}.\end{array}$
Pernyataan di atas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n=1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $m,$ berlaku
$P(m):{\displaystyle \sum _{k=1}^m{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}={\displaystyle \frac{m}{2m+1}}.}$
Asumsikan $P(m)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(m+1)$ juga benar dengan
$$P(m+1):{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}={\displaystyle \frac{m+1}{2m+3}}}}.}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}}& =\underset{P(m)}{\underbrace{\sum _{k=1}^m{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}}}+\sum _{k=m+1}^{m+1}{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{m}{2m+1}}+{\displaystyle \frac{1}{(2m+1)(2m+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{m(2m+3)+1}{(2m+1)(2m+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2m^2+3m+1}{(2m+1)(2m+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{(2m+1)}(m+1)}{\cancel{(2m+1)}(2m+3)}}\\ & =\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{m+1}{2m+3}}}}.\end{array}$$Jadi, $P(m+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $m,$ kebenaran $P(m)$ mengimplikasikan kebenaran $P(m+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$  

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n):S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}n(2a+(n-1)b).$
Langkah Basis:
Untuk $n=1$, didapat $P(1):S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(1)(2a)=a.$
Pernyataan ini benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n=1$. Langkah basis selesai. 
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k):S_k={\displaystyle \frac{1}{2}}k(2a+(k-1)b).$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1):S_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(k+1)(2a+kb).★$
Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{S}_{k+1}& =S_k+U_{k+1}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(k)(2a+(k-1)b)+(a+kb)\\ & =ak+{\displaystyle \frac{1}{2}}b{k}^2+a+{\displaystyle \frac{1}{2}}bk\\ & =({\displaystyle \frac{1}{2}}k+{\displaystyle \frac{1}{2}})(2a+kb)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(k+1)(2a+kb).& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$
Catatan:
Dalam barisan aritmetika, suku ke-$n$ adalah $U_n=a+(n-1)b$ dengan $a$ merupakan suku pertama, sedangkan $b$ adalah beda antarsuku.

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n):S_n={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}}.$
Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):S_1={\displaystyle \frac{a(r^1-1)}{r-1}}=a.$
Pernyataan di atas benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n=1$. Langkah basis selesai. 
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k):S_k={\displaystyle \frac{a(r^k-1)}{r-1}}.$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1):S_{k+1}={\displaystyle \frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1}}.★$
Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{S}_{k+1}& =S_k+U_{k+1}\\ & ={\displaystyle \frac{a(r^k-1)}{r-1}}+a{r}^k\\ & ={\displaystyle \frac{a(r^k-1)+a{r}^k(r-1)}{r-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(\cancel{r^k}-1+r^{k+1}\cancel{-r^k})}{r-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$
Catatan:
Dalam barisan geometri, suku ke-$n$ adalah $U_n=a{r}^{n-1}.$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):1^2-2^2+3^2-\cdots +(-1{)}^{n+1}{n}^2=(-1{)}^{n+1}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1^2=(-1{)}^{1+1}{\displaystyle \frac{1(1+1)}{2}}=1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k):1^2-2^2+3^2-\cdots +(-1{)}^{k+1}=(-1{)}^{k+1}{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1)& :1^2-2^2+3^2-\cdots +(-1{)}^{k+1}{k}^2+(-1{)}^{k+2}(k+1{)}^2\\ & =(-1{)}^{k+2}{\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}& & ★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& \underset{P(k)}{\underbrace{1^2-2^2+3^2-\cdots +(-1{)}^{k+1}{k}^2}}+(-1{)}^{k+2}(k+1{)}^2\\ & =(-1{)}^{k+1}{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}+(-1{)}^{k+2}(k+1{)}^2\\ & =(-1{)}^{k+1}{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}+{\displaystyle \frac{2(-1{)}^{k+2}(k+1{)}^2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-1{)}^k(k+1)(-k+2(k+1))}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-1{)}^k(k+1)(k+2)}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-1{)}^{k+2}(k+1)(k+2)}{2}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$
Catatan: $$\boxed{{\displaystyle (-1{)}^{k+2}=(-1{)}^k(-1{)}^2=(-1{)}^k(1)=(-1{)}^k}}$$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1{)}^2={\displaystyle \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1^2={\displaystyle \frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}}=1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k):1^2+3^2+5^2+\cdots +(2k-1{)}^2={\displaystyle \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1)& :1^2+3^2+5^2+\cdots +(2k-1{)}^2+(2k+1{)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}}.& & ★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& \underset{P(k)}{\underbrace{1^2+3^2+5^2+\cdots +(2k-1{)}^2}}+(2k+1{)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}}+(2k+1{)}^2\\ & =(2k+1)\left({\displaystyle \frac{k(2k-1)+3(2k+1)}{3}}\right)\\ & =(2k+1)\left({\displaystyle \frac{2k^2+5k+3}{3}}\right)\\ & =(2k+1)\left({\displaystyle \frac{(2k+3)(k+1)}{3}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):1^3+3^3+5^3+\cdots +(2n-1{)}^3=n^2(2n^2-1).$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):1^3=1^2(2(1{)}^2-1)=1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$\begin{array}{rl}P(k):1^3+3^3& +5^3+\cdots +\\ & (2k-1{)}^3=k^2(2k^2-1).\end{array}$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1):1^3+3^3+& 5^3+\cdots +(2k-1{)}^3+(2k+1{)}^3\\ & =(k+1{)}^2(2(k+1{)}^2-1).\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& \underset{P(k)}{\underbrace{1^3+3^3+5^3+\cdots +(2k-1{)}^3}}+(2k+1{)}^3\\ & =k^2(2k^2-1)+(2k+1{)}^3\\ & =2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1\\ & =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1\\ & =(k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)\\ & =(k+1{)}^2(2(k+1{)}^2-1).\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}={\displaystyle \frac{1}{1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{k}{k+1}}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar  dengan
$$P(k+1):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{k+1}{k+2}}.★$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}\underset{P(k)}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)}}& ={\displaystyle \frac{k}{k+1}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{(k+1)}(k+1)}{\cancel{(k+1)}(k+2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{k+1}{k+2}}.& & ★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$\begin{array}{rl}P(n):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}& +{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}+\cdots +\\ & {\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}.\end{array}$$Langkah Basis:
Untuk $n=1,$ diperoleh
$P(1):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)}}={\displaystyle \frac{1}{6}}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$\begin{array}{rl}P(k):{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}& +{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}+\cdots +\\ & {\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}}.\end{array}$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{array}{rl}P(k+1):& {\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)}}.★\end{array}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& \underset{P(k)}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{k(k+3{)}^2}{4(k+1)(k+2)(k+3)}}+{\displaystyle \frac{4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{k^3+6k^2+9k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{(k+1)}(k+1)(k+4)}{4\cancel{(k+1)}(k+2)(k+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)}}.★\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)\cdots (n+m-1)}}& ={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\cdot {\displaystyle \frac{(n+m-1)-n}{n(n+1)\cdots (n+m-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{n(n+1)\cdots (n+m-2)}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)}}).\end{array}$$Misalkan $f(n,m)={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)\cdots (n+m-1)}}$ sehingga
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k,m)}& ={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\sum _{k=1}^n(f(k,m-1)-f(k+1,m-1))\\ & ={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\cdot (\sum _{k=1}^{n}f(k,m-1)-\sum _{k=2}^{n+1}f(k,m-1))\\ & ={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\cdot (f(1,m-1)-f(n+1,m-1))\\ & ={\displaystyle \frac{1}{m-1}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdots (m-1)}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)}}).\end{array}$$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n):{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\cdot 3^k={\displaystyle \frac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}}.}$
Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$$P(1):1\cdot 3^1={\displaystyle \frac{(2(1)-1)\cdot 3^{1+1}+3}{4}}=3.$$Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $m,$ berlaku
$$P(m):{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k\cdot 3^k={\displaystyle \frac{(2m-1)\cdot 3^{m+1}+3}{4}}.}$$Asumsikan $P(m)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(m+1)$ juga benar dengan
$$P(m+1):{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}k\cdot 3^k={\displaystyle \frac{(2m+1)\cdot 3^{m+2}+3}{4}}}}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}k\cdot 3^k}& =\underset{P(m)}{\underbrace{\sum _{k=1}^{m}k\cdot 3^k}}+\sum _{k=m+1}^{m+1}k\cdot 3^k\\ & ={\displaystyle \frac{(2m-1)\cdot 3^{m+1}+3}{4}}+(m+1).3^{m+1}\\ & ={\displaystyle \frac{(2m-1)\cdot 3^{m+1}+3}{4}}+{\displaystyle \frac{4(m+1)\cdot 3^{m+1}}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2m-1+4m+4)\cdot 3^{m+1}+3}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{(6m+3)\cdot 3^{m+1}+3}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{3(2m+1)\cdot 3^{m+1}+3}{4}}\\ & =\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{(2m+1)\cdot 3^{m+2}+3}{4}}}}\end{array}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $m,$ kebenaran $P(m)$ mengimplikasikan kebenaran $P(m+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n\in \mathbb{N}.$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$