Soal dan Pembahasan – Fungsi (Tingkat Lanjut)

Misalkan diambil $x = n$ dan $y = 1$, didapat $f(n \times 1) = f(n) = f(n + 1).$
Karena $f(7) = 7$, haruslah
$f(7) = f(8) = f(9) = \cdots = f(1008) = 7.$$Jadi, nilai dari $f(1008)$ adalah $\boxed{7}$
(Jawaban B)

Diketahui $7g(x) = 24x + 5g\left(\dfrac{1}{x}\right)$. Akan dicari nilai $g\left(\dfrac12\right).$
Substitusi $x = 2$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} 7g(2) & = 24(2) + 5g\left(\dfrac12\right) \\ 7g(2)-5g\left(\dfrac12\right) & = 48 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusi $x = \dfrac12$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} 7g\left(\dfrac12\right) & = 24\left(\dfrac12\right) + 5g\left(2\right) \\ 7g\left(\dfrac12\right)-5g\left(2\right) & = 12 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari dua persamaan yang didapat, akan dieliminasi $g(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7g(2)-5g\left(\dfrac12\right) & = 48 \\ 7g\left(\dfrac12\right)-5g\left(2\right) & = 12 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 7 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~35g(2)-25g\left(\dfrac12\right) & = 240 \\~49g\left(\dfrac12\right)-35g\left(2\right) & = 84 \end{aligned} \\ & \rule{4.9 cm}{0.8pt} + \\ & \! \begin{aligned} 24g\left(\dfrac12\right) & = 324 \\ g\left(\dfrac12\right) & = \dfrac{324}{24} = \dfrac{27}{2} \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{g\left(\dfrac12\right) = \dfrac{27}{2}}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x+1) = f(x)+3x+1.$ Karena $f(1) = 1$, substitusi $x = 1$ pada persamaan fungsi di atas menghasilkan
$\begin{aligned} f(\color{red}{1}+1) & = f(\color{red}{1})+3(\color{red}{1})+1 \\ f(2) & = 1 + 3 + 1 = 5. \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $x = 2$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{2}+1) & = f(\color{red}{2})+3(\color{red}{2})+1 \\ f(3) & = 5 + 6 + 1 = 12 \end{aligned}$
Berikutnya, substitusi $x = 3$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{3}+1) & = f(\color{red}{3})+3(\color{red}{3})+1 \\ f(4) & = 12 + 9 + 1 = 22 \end{aligned}$
Terakhir, substitusi $x = 4$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{4}+1) & = f(\color{red}{4})+3(\color{red}{4})+1 \\ f(5) & = 22 + 12 + 1 = 35 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(5) = 35}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(0)=2$. 
Substitusikan $y = 0$ pada rumus fungsinya. 
$\begin{aligned} f(x+y) & = x + f(y) \\ f(x+0) & = x + f(0) \\ f(x) & = x + 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan $x=2019$ pada rumus fungsi $f(x) =x+2$. 
$\begin{aligned} f(x) =x+2 \implies f(2019) & =2019+2 \\ & =2021 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2019)$ adalah $\boxed{2021}$
(Jawaban D)

Untuk $x$ genap, dapat ditulis $x = 2n$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh $f(2n) = 2(2n)+1 = 4n+1.$
Untuk $x$ ganjil, dapat ditulis $x = 2n+1$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh
$f(2n+1) = 2(2n+1)-1 = 4n+1.$
Jadi, baik $x$ genap maupun ganjil, nilai fungsinya selalu berbentuk $4n+1$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 21 & = 4(5) + 1 \\ 61 & = 4(15)+1 \\ 77 & = 4(19)+1 \end{aligned}$
sehingga nilai $f(a)$ yang tidak mungkin adalah $\boxed{39}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = f(1) \cdot f(x-1).$
Perhatikan bahwa untuk $x = 2,$ kita peroleh $f(2) = f(1) \cdot f(1) = (f(1))^2.$
Untuk $x = 3,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} f(3) & = f(1) \cdot f(2) \\ & = f(1) \cdot (f(1))^2 \\ & = (f(1))^3 \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, kita akan peroleh bahwa $\boxed{f(2021) = (f(1))^{2021} = 18^{2021}}$
(Jawaban D)

Diketahui $f\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right) = \dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}.$
Berdasarkan bentuk tersebut, kita mudah untuk mengklaim bahwa $f(x) = x$ sehingga
$f\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right) = \dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}.$
Karena itu, jika $x = 0,$ kita peroleh $f(0) = 0.$ Jadi, pernyataan $1$ benar
Jika $x = 1,$ diperoleh $f(1) = 1.$ Pernyataan $2$ juga benar.
Karena $f(x) = x$, haruslah $f(-x) = -x = -f(x).$ Artinya, pernyataan $3$ benar, sedangkan pernyataan $4$ salah.
(Jawaban B)

Diketahui $g(x) = ax^7+bx^3+cx-4.$
Substitusi $x = 7$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} g(7) & = a(7)^7 + b(7)^3 + c(7)-4 \\ -11 & = a(7)^7 + b(7)^3 + c(7)-4 \\ -7 & = a(7)^7 + b(7)^3 + c(7) \end{aligned}$$Substitusi $x = -7$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} g(-7) & = a(-7)^7 + b(-7)^3 + c(-7)-4 \\ & = -(a(7)^7 + b(7)^3 + c(7)) -4 \\ & = -(-7) -4 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{g(-7) + 7 = 3+7 = 10}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan definisi fungsi tersebut, kita akan mencari nilai $f(2019)$. Karena $2019$ memiliki faktor/pembagi $1, 3$, dan $673$ (prima), diperoleh $f(2019) = 1 + 3 + 673 = 677.$
Selanjutnya, akan dicari nilai $f(677)$. Karena $677$ merupakan bilangan prima, haruslah $f(677) = 1.$ Berikutnya dan seterusnya sampai selesai, proses perulangan terjadi untuk menentukan nilai $f(1)$. Berdasarkan kesepakatan/definisi, $f(1) = 1$. Jadi, nilai dari $\boxed{f(\cdots(f(f(f(2019))))\cdots) = 1}$
(Jawaban A)

Diketahui
$$f(n^2-3n+5)+\dfrac{f(n^2+n+3)}{2} = 3n^2-5n+\dfrac{17}{2}~~(\cdots 1)$$Jika $n$ diganti menjadi $(1-n),$ kita akan peroleh
$$\begin{aligned} f((1-n)^2-3(1-n)+5)+\dfrac{f((1-n)^2+(1-n)+3)}{2} & = 3(1-n)^2-5(1-n)+\dfrac{17}{2} \\ f((1-2n+n^2)-3+3n+5) + \dfrac{f((1-2n+n^2)+1-n+3)}{2} & = 3(1-2n+n^2)-5+5n+\dfrac{17}{2} \\ f(n^2+n+3)+\dfrac{f(n^2-3n+5)}{2} & = 3n^2-n+\dfrac{13}{2} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Misalkan $a = f(n^2-3n+5)$ dan $b = f(n^2+n+3)$ sehingga dari persamaan $(1)$ dan $(2),$ kita peroleh SPLDV.
$$\begin{cases} a + \dfrac{b}{2} & = 3n^2-5n+\dfrac{17}{2} && (\cdots 1) \\ b + \dfrac{a}{2} & = 3n^2-n+\dfrac{13}{2} && (\cdots 2) \end{cases}$$Untuk mengeliminasi $b,$ kalikan $(2)$ pada kedua ruas di persamaan $(1),$ lalu kurangi dengan persamaan $(2).$
$$\begin{aligned} (2a+b)-\left(b + \dfrac{a}{2}\right) & = (6n^2-10n+17)-\left(3n^2-n+\dfrac{13}{2}\right) \\ \dfrac32a & = 3n^2-9n+\dfrac{21}{2} \\ a & = 2n^2-6n+7 \end{aligned}$$Substitusi balik nilai $a,$ kemudian cari $f(n).$
$$\begin{aligned} f(n^2-3n+5) & = 2n^2-6n+7 \\ f(\color{red}{n^2-3n+5}) & = 2(\color{red}{n^2-3n+5})-3 \\ f(\color{red}{n}) & = 2\color{red}{n}-3 \\ \Rightarrow f(\color{red}{2020}) & = 2(\color{red}{2020})-3 = 4037 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{f(2020)=4037}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa mencari nilai $x$ agar $x+\dfrac{2}{x}=1$ bukanlah solusi yang tepat karena $x$ akan bernilai imajiner. Solusi lain adalah mengubah bentuk ruas kanannya agar muncul ekspresi $x+\dfrac{2}{x}$ sehingga substitusi menjadi memungkinkan.
$$\begin{aligned} P\left(x+\dfrac{2}{x}\right) & = \dfrac{x^3+1}{x} + \dfrac{x^3 + 8}{2x^2} + 3 \\ & = x^2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{4}{x^2} + 3 \\ & = \left(x^2 + \dfrac{4}{x^2}\right) + \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x}\right) + 3 \\ & = \left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2-4 + \dfrac12\left(x + \dfrac{2}{x}\right) + 3 \\ & = \left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2+ \dfrac12\left(x + \dfrac{2}{x}\right)-1 \end{aligned}$$Misalkan $y =x + \dfrac{2}{x}$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} P(y) & = y^2+\dfrac12y-1 \\ P(1) & = (1)^2+\dfrac12(1)-1 \\ & = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $P(1)$ adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban A)

Dari grafik tersebut, terlihat bahwa $f(x) = 0$ tercapai ketika $x \in \{-4, -2, 2, 4\}.$ Oleh karena itu, $f(f(x)) = 0$ akan tercapai ketika $f(x) \in \{-4, -2, 2, 4\}.$ Saat $x = -4,$ grafik fungsi melalui $2$ titik berbeda di $y.$ Saat $x = -2$ dan $x = 2,$ grafik fungsi masing-masing melalui $4$ titik berbeda di $y.$ Saat $x = 4,$ grafik fungsi melalui $3$ titik berbeda di $y.$

Jadi, solusi berbeda dari persamaan $f(f(x)) = 0$ adalah $\boxed{2 + 4 + 4 + 3 = 13}$
(Jawaban C)

Daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah $D_f = \{1, 3, 5, 7, 9\}.$
Daerah kawan (kodomain) fungsi $f$ adalah $K_f = \{2, 4, 6, 8\}.$
Daerah hasil (range) dari fungsi $f$ adalah anggota kodomain yang memiliki pasangan dengan anggota domain, yaitu $R_f = \{2, 6, 8\}.$ 

Jawaban a)
$$\begin{aligned} (f + g + h)(x) & = f(x) + g(x) + h(x) \\ & = (x + 7) + (x^2- 4x + 5) + (x^3 + x^2- 2x + 8) \\ & = x^3 + 2x^2- 5x + 20 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{(f + g + h)(x) = x^3 + 2x^2- x + 20}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} (f- g- 2h)(x) & = f(x)- g(x)- 2h(x) \\ & = (3x + 7)- (x^2- 4x + 5)- 2(x^3 + x^2- 2x + 8) \\ & =-2x^3- 3x^2 + 11x- 6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $$\boxed{(f- g- 2h)(x) =-2x^3- 3x^2 + 11x- 6}$$Jawaban c)
Diketahui:
$\begin{aligned} f(3) & = 3 + 7 = 10 \\ h(3) & = 3^3 + 3^2- 2(3) + 8 \\ & = 27 + 9- 6 + 8 = 38 \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} (3f + h^2)(3) & = 3f(3) + h^2(3) \\ & = 3(10) + (38)^2 \\ & = 30 + 1.444 = 1.474 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{(3f + h^2)(3) = 1.474}$
Jawaban d)
Diketahui:
$\begin{aligned} f(1) & = 1 + 7 = 8 \\ g(1) & = 1^2- 4(1) + 5 = 2 \\ h(1) & = 1^3 + 1^2- 2(1) + 8 = 8 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1) & = \dfrac{f(1)}{h(1)} + g^2(1) \\ & = \dfrac{8}{8} + 2^2 = 5 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1) = 5}$

Jawaban a)
Perhatikan bahwa semua anggota himpunan $B$ (kodomain) memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain = range, fungsi ini tergolong fungsi surjektif.
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $c \in B$ tidak memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain ≠ range, fungsi ini bukan fungsi surjektif.
Jawaban c)
Perhatikan bahwa semua anggota himpunan $B$ (kodomain) memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain = range, fungsi ini tergolong fungsi surjektif.
Jawaban d)
Perhatikan bahwa $a \in B$ tidak memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain ≠ range, fungsi ini bukan fungsi surjektif.

Jawaban a)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b).$ Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ 5a- \cancel{3} & = 5b- \cancel{3} \\ 5a & = 5b \\ a & = b. \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ mengakibatkan $a = b,$ fungsi tersebut adalah fungsi injektif.
Jawaban b)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b).$ Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ 2a^2 & = 2b^2 \\ a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b. \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ belum tentu mengakibatkan $a = b,$ fungsi tersebut bukan fungsi injektif.
Jawaban c)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ a^3- \cancel{1} & = b^3- \cancel{1} \\ a^3 & = b^3 \\ a &= b. \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ mengakibatkan $a = b,$ fungsi tersebut adalah fungsi injektif.

Jawaban a)
$f$ adalah fungsi yang memetakan bilangan bulat ke bilangan bulat. Kebenaran pernyataan ini dapat diidentifikasi dengan melihat rumus fungsinya, yaitu $f(x) = 2x^2- 2$. Jika $x$ bulat, maka $x^2$ juga bulat dan bila dikali $2$, kemudian dikurang $2$, hasilnya tetap bulat, karena perkalian dan pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup.
Jawaban b)
Syarat suatu fungsi dengan $a, b \in \mathbb{D}$ dikatakan injektif: jika $f(a) = f(b) $, maka $a = b.$
Diketahui: $f(a) = 2a^2- 2$ dan $f(b) = 2b^2-2.$
Karena $f(a) = f(b)$, dapat ditulis
$\begin{aligned} 2a^2- 2 & = 2b^2- 2 \\ 2a^2 & = 2b^2 \\  a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b. \end{aligned}$
Karena $f(a) \neq f(b)$ jika diambil $a =-b$, fungsi $f$ tidak injektif.
Catatan:
$\bigstar$ Jangan langsung “menghilangkan” pangkat dua (mengakarkuadratkan kedua ruas) pada bentuk $a^2 = b^2.$ Hal ini kadang tidak menimbulkan masalah untuk kasus tertentu, tetapi kadang pula juga menimbulkan kekeliruan, bahkan kelancungan (fallacy).
$\bigstar$ simbol $\mathbb{D}$ menyatakan himpunan anggota domain fungsi.

Misalkan $y = \dfrac{2x+2}{3x-4}.$
Buat $x$ sebagai subjek persamaan sebagai berikut.
$\begin{aligned} y & = \dfrac{2x+2}{3x-4} \\ 3xy- 4y & = 2x+2 \\ 3xy- 2x & = 4y + 2 \\ x(3y- 2) & = 4y + 2 \\ x & = \dfrac{4y+2}{3y-2} \end{aligned} $
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) & = 5x \\ f(y) & = 5\left(\dfrac{4y+2}{3y-2}\right) \\ f(y) & = \dfrac{20y + 10}{3y- 2} \end{aligned}$
Dengan mengganti $y$ sebagai $x$, kita peroleh $\boxed{f(x) = \dfrac{20x+10}{3x-2}}$

Diketahui $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$ sehingga
$$\begin{aligned} f(3x) & = \dfrac{3x} {3x-1} = \dfrac{3x} {3x-1} \times \dfrac{\dfrac{1}{x-1}} {\dfrac{1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{3x} {x-1}} {\dfrac{3x-1}{x-1}} = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x +x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x} {x-1} + \dfrac{x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {2\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + 1} \\ & = \dfrac{3f(x)} {2f(x) + 1}. \end{aligned}$$Jadi, $f(3x)$ dapat dinyatakan dalam $f(x)$ sebagai berikut.
$\boxed{f(3x) = \dfrac{3f(x)} {f(x) +1}} $

Ambil $x =-2$ sehingga diperoleh
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)- \dfrac{1}{2}f(2) =-4.~~~~~\bigstar$
Ambil $x = \dfrac{1}{2}$ sehingga diperoleh
$f(2) + 2f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1.~~~~\bigstar \bigstar$
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel. Variabel yang dimaksud adalah $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ dan $f(2)$. Karena nilai $f(2)$ yang akan dicari, kita hanya perlu mengeliminasi $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ dengan menggunakan metode eliminasi.
Kalikan $2$ pada persamaan $\bigstar$, kemudian kurangi hasilnya dengan persamaan $\bigstar \bigstar$ untuk memperoleh
$\begin{aligned}-f(2)- f(2) & =-8- 1 \\-2f(2) & =-9 \\ f(2) & = \dfrac{9}{2}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah $\dfrac{9}{2}$.

Misalkan dipilih $x = 2004$ dan $y = 0,$ didapat
$$\begin{aligned} f(2004)f(0)- f(2004 \times 0) & = 2004 + 0 \\ f(2004)f(0)- f(0) & = 2004.~~~~\bigstar \end{aligned}$$Dari bentuk di atas, kita mengetahui bahwa untuk mendapatkan nilai dari $f(2004),$ kita harus mencari nilai $f(0)$ terlebih dahulu. Ambil $x = 0$ dan $y = 0$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} f(0)f(0)- f(0) & = 0 + 0 \\ f(0)(f(0)- 1) & = 0. \end{aligned}$$Didapat nilai $f(0)=0$ atau $f(0)=1.$ Suatu fungsi tidak mungkin memiliki nilai yang berbeda pada anggota domain yang sama (berdasarkan definisi fungsi). Oleh karena itu, perlu dilakukan pemeriksaan lain.
Selanjutnya, ambil $x = 1$ dan $y = 0,$ didapat
$$\begin{aligned} f(1)f(0)- f(0) & = 1 + 0 \\ f(0)(f(1)- 1) & = 1. \end{aligned}$$Misalkan dipilih $f(0) = 0$, maka persamaan itu tidak akan pernah terpenuhi (perkalian $0$ dengan berapapun akan menghasilkan $0,$ tidak mungkin $1$). Jika diambil $f(0) = 1,$ djperoleh $f(1) = 2$ agar persamaan itu terpenuhi. Ini berarti nilai $f(0)$ adalah $1.$
Kembali ke $\bigstar$, substitusikan $f(0)= 1,$ didapat
$\begin{aligned} f(2004) \times 1- 1 & = 2004 \\ f(2004) & = 2005. \end{aligned}$
Jadi, nilai $f(2004)$ adalah $2005$.

Misalkan $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = \beta$. Ini berarti dapat ditulis
$f(x) = \beta + (x-1)(x-2)(x-3)$ $(x-4)(x-5).$
Dengan demikian, akan didapat koefisien dari ekspresi $x^4$ dengan cara menguraikan bentuk $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$. Kalikan sesama $x$ sampai 4 kali (sehingga terbentuk $x^4$), kemudian kalikan dengan bilangan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Selanjutnya, diperoleh koefisien $x^4$, yakni
$a =-(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =-15.$
Selain itu, dengan menggunakan Teorema Vieta, kita juga dapatkan
$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 & =-\dfrac{\text{Koef.}~x^4}{\text{Koef.}~x^5} \\ 1+2+3+4+5 & =-\dfrac{a} {1} \\ a & =-15 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{-15}$

Perhatikanlah bahwa ternyata fungsi di atas dapat ditulis kembali menjadi
$$f(x) = x^{2006}(x-1)^2 + 2x^{2004}(x-1)^2+ 3x^{2002}(x-1)^2 + \cdots + 1004(x-1)^2 + 1005.$$Bilangan kuadrat tidak pernah menghasilkan bilangan negatif sehingga $f(x)$ akan minimum saat $x = 1$ karena nilai minimum bentuk kuadrat adalah $0.$ Dengan demikian, didapat
$\boxed{f(1) = 0 + 0 + \cdots + 0 + 1005 = 1005}$
Jadi, nilai minumum yang mungkin dari $f(x)$ adalah $1005.$

Diketahui $f(2) = 2.$
Misalkan $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(2+1) = \dfrac{1 + f(2)} {1-f(2)} \\ & \Leftrightarrow f(3)= \dfrac{1+2}{1-2} =-3. \end{aligned}$
Misalkan $x = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(3+1) = \dfrac{1 + f(3)} {1-f(3)} \\ & \Leftrightarrow f(4)= \dfrac{1-3}{1+3} =-\dfrac{1}{2}. \end{aligned}$
Misalkan $x = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(4+1) = \dfrac{1 + f(4)} {1-f(4)} \\ &  \Leftrightarrow f(5)= \dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3}. \end{aligned}$
Misalkan $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} f(5+1) & = \dfrac{1 + f(5)} {1-f(5)} \\ & \Leftrightarrow f(6)= \dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}} = 2. \end{aligned}$
Kita dapatkan $f(2) = f(6) = 2.$
Ini menunjukkan bahwa nilai fungsi ini memiliki pola yang berperiodik setiap 4 selang (mulai dari $x = 4$):
$-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, 2,-3,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots$
Karena $2009 = 4 \times 502 + 1$ dan dengan menggunakan pola yang didapat itu, maka $f(2009) = f(5) = \dfrac{1}{3}.$
Jadi, nilai dari $f(2009)$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}}$

Jawaban a)
Agar suatu fungsi disebut bijektif, maka fungsi itu harus injektif dan surjektif.
Suatu fungsi dikatakan injektif jika berlaku: $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$, untuk sembarang $x, y \in A.$
Suatu fungsi dikatakan surjektif jika ada $b \in B$ sedemikian sehingga $f(a) = b$ dengan $a \in A.$
Akan ditunjukkan bahwa fungsi itu injektif sebagai berikut.
Ambil $x, y \in A$ sehingga berlaku
$\begin{aligned}f(x) & = f(y) \\ \dfrac{x- 2}{x- 3} & = \dfrac{y- 2}{y-3} \\ (x- 2)(y- 3) & = (x- 3)(y- 2)\\ xy- 3x- 2y + 6 & = xy- 2x- 3y + 6 \\ x = y \end{aligned}$
Jadi, fungsi itu injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa fungsi itu surjektif sebagai berikut.
Menunjukkan $f$ surjektif berarti semua anggota $B$ (kodomain) memiliki pasangan dengan anggota $A$ (domain). Ambil sembarang $t \in B$ sehingga kita harus menentukan pasangan $t$ di $A.$
$$\begin{aligned} f(x) & = t = \dfrac{x-2}{x-3} \\ t(x- 3) & = x-2 \\ tx- x & =-2 + 3t \\ x(t- 1) & =-2 + 3t \\ x & = \dfrac{3t- 2}{t- 1} \end{aligned}$$Jadi, pasangan $t$ adalah $\dfrac{3t-2}{t-1}$. Karena $t$ diambil sembarang dan $t \neq 1$ (himpunan $B$ tidak memuat $1$), haruslah $f$ surjektif.
Karena $f$ injektif dan surjektif, $f$ adalah fungsi bijektif.
Jawaban b) 
$f^{-1}(x) =\dfrac{3t-2}{t-1}, \forall t \in B.$
Jawaban c) 
Karena $f$ fungsi bijektif, $f$ memiliki invers dan memberi arti bahwa $f^{-1}$ adalah fungsi invers.