Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a =-1$ dan $b = 2$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-1 + (n-1) \times 2 \\ & =-1 + 2n- 2 \\ & = 2n-3. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 2n-3}.$
(Jawaban D) 

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui $a =-8$ dan $b = 8$.
Dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan aritmetika, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & =-8 + (n-1)\times 8 \\ & =-8 + 8n- 8 \\ & = 8n-16. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n = 8n-16}.$
(Jawaban E)

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui $a =-18$ dan $b = 3$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-18 + (n-1) \times 3 \\ & =-18 + 3n-3 = 3n-21. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 3n-21}.$
(Jawaban E)

Barisan di atas termasuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 5$ dan $b =-3$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1)(-3) \\ & = 5-3n + 3 \\ & =-3n + 8. \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n =-3n + 8}.$
(Jawaban E)

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = 6$ dan $b = 4$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n-1) \times 4 \\ & = 6 + 4n- 4 \\ & = 4n + 2. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 4n + 2}.$
(Jawaban C) 

Diketahui: $a = 4$ dan $b =-3$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n-1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10-1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4-27 =-23. \end{aligned}$
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{-23}.$
(Jawaban C)

Diketahui $\text{U}_n = 15-3n$. Untuk $n = 15$, diperoleh
$\text{U}_{15} = 15-3(15) = 15-45 =-30.$
Jadi, suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{-30}.$
(Jawaban E) 

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9- \text{U}_5}{9-5} = \dfrac{6-18}{4} =-3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 18$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}$
Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24}.$
(Jawaban E) 

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5- \text{U}_3}{5-3} = \dfrac{-9-(-5)}{2} =-2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_3 =-5$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & =-5 \\ a + 2(-2) & =-5 \\ a-4 & =-5 \\ a & =-1 \end{aligned}$
Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{10} = a + 9b =-1 + 9(-2) =-19}.$
(Jawaban D)

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9- \text{U}_4}{9-4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-$7$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}.$
(Jawaban B) 

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5-\text{U}_1}{5-1} = \dfrac{11-3}{4} = 2$
Suku ke-$25$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51}.$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa $\text{U}_5 = 17$ dan $\text{U}_{10} = 32$.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah $32-17 = 15$.
Dengan demikian,
$\text{U}_{15} = 32+15 = 47$ dan $\text{U}_{20} = 47+15 = 62.$
Jadi, suku ke-$20$ barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{62}.$
(Jawaban B)

Diketahui $a = 20$ dan $\text{U}_6 = 40.$
Langkah pertama adalah mencari nilai $b$ (beda) terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan dicari hasil dari $\text{S}_{10}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{380}.$
(Jawaban E) 

Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret aritmetika karena berselisih $1$ dengan suku yang berdekatan. 
Banyaknya suku deret itu adalah
$n = 50-a + 1 = 51-a.$
Diketahui $S_{n} = 1.139$ sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} S_n & = \dfrac{n} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 1.139 & = \dfrac{51-a} {2}(a + 50) \\ 51a + 2.550-a^2-50a & = 2.278 \\ a^2-a-272 & = 0 \\ (a-17)(a + 16) & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 17$ atau $a =-16.$
Karena $a$ bulat positif, dipilih $\boxed{a=17}.$
(Jawaban C)

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat yang terletak di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006},$ maka ditulis $\sqrt[3]{2.006} < m < \sqrt{2.006}.$ 
Diketahui bahwa $12^3 = 1.728$, sedangkan $13^3 = 2.197$ sehingga pembulatan ke atas dari $\sqrt[3]{2.006}$ adalah $13$. 
Diketahui juga bahwa $44^2 = 1.936$ dan $45^2 = 2.025$ sehingga pembulatan ke bawah dari $\sqrt{2.006}$ adalah $44.$
Dengan demikian, dapat ditulis $13 \leq m \leq 44.$
Penjumlahan nilai-nilai $m$ akan membentuk deret aritmetika dengan $a = 13, n = 44-13+1 = 32$, dan $\text{U}_{32} = 44$ sehingga
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{32} & = \dfrac{32} {2}(13 + 44) \\ & = 16 \cdot 57 = 912. \end{aligned}$
Jadi, hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\boxed{912}.$
(Jawaban B)

Diketahui $\color{red} {\text{U}_3 = a + 2b = 11}.$
Karena jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah $134$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 + \text{U}_7 +\text{U}_8 + \text{U}_9 & = 134 \\ (a + 5b) + (a + 6b) + (a + 7b) + (a + 8b) & = 134 \\ 4a + 26b & = 134 \\ (4a + 8b) + 18b & = 134  \\ 4\color{red} {(a + 2b)} + 18b & = 134 \\ 4(11) + 18b & = 134 \\ 44 + 18b & = 134 \\ 18b & = 90 \\ b & = 5. \end{aligned}$$Karena $b = 5$, didapat
$\begin{aligned} a + 2b = 11 & \Rightarrow a + 2(5) = 11 \\ & \Leftrightarrow a = 1. \end{aligned}$
Jadi, suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\boxed{1}$ dan $\boxed{5}.$
(Jawaban E)

Diketahui $\text{U}_1 = a = 5.$
Karena suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_{10} & = 2\text{U}_4 \\ a + 9b & = 2(a + 3b) \\ \text{Substitusi}~a&=5 \\ 5 + 9b & = 2(5+3b) \\ 5+9b&=10+6b \\ 9b-6b&=10-5 \\ 3b & = 5 \\ b & = \dfrac53. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_6 & = \dfrac{6}{2}\left(2 \times 5 + (6-1)\times \dfrac53\right) \\ & = 3\left(10 + \dfrac{25}{3}\right) \\ & = 30 + 25 = 55. \end{aligned}$
Jadi, jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{55}.$
(Jawaban A)

Barisan aritmetika yang dimaksud adalah 
$\begin{aligned} & 20, \text{U}_2, \text{U}_3, \text{U}_4,\text{U}_5,\text{U}_6, \\ & 68, \text{U}_8,\text{U}_9,\text{U}_{10},\text{U}_{11},\text{U}_{12}, 116 \end{aligned}$
Diketahui:
$\color{red} {\text{U}_1 = a = 20}.$
Karena $\text{U}_7 = 68$, diperoleh
$\begin{aligned}\color{red} {a} + 6b & = 68 \\ 20+6b & = 68 \\ 6b &=48 \\ b&=8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan itu. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{13} & = \dfrac{13}{2}(2 \times 20 + (13-1)\times 8) \\ & = \dfrac{13}{2}(40 + 96) \\ & = \dfrac{13}{\cancel{2}} \times \cancelto{68}{136} = 884. \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu adalah
$$\boxed{\text{S}_{13}- 20- 68- 116 = 884-204 = 680}.$$(Jawaban A)

C. $35$

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n- \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{10}$ dan $\text{S}_9$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{9} & = \dfrac{5}{2}(9)^2 + \dfrac{3}{2}(9) \\ & = \dfrac{5 \times 81}{2} + \dfrac{27}{2} \\ & = \dfrac{405 + 27}{2} = 216. \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{5}{2}(10)^2 + \dfrac{3}{\cancel{2}}(\cancelto{5}{10}) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{50}{100})+ 15 \\ & = 250 + 15 = 265. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{10} = \text{S}_{10}- \text{S}_9 = 265-216 = 49.$
Jadi, suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{49}.$
(Jawaban A)

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n- \text{S}_{n-1}.$ 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{9}$ dan $\text{S}_8$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_{8} & = 2(8)^2 + 4(8) \\ & = 128 + 32 = 160. \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_9 & = 2(9)^2 + 4(9) \\ & = 162+36=198. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{9} = \text{S}_{9}-\text{S}_8 = 198-160=38.$
Jadi, suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{38}.$
(Jawaban C)

Diketahui: $\text{S}_{20} = 500; \text{U}_1=a=5.$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20} {2}(5 + \text{U}_{20}) \\ \cancelto{50}{500} & = \cancel{10}(5+\text{U}_{20}) \\ 50 & = 5 + \text{U}_{20} \\ \text{U}_{20} & = 50-5 = 45. \end{aligned}$
Jadi, suku terakhir deret itu adalah $\boxed{45}.$
(Jawaban C)

Bilangan genap yang habis dibagi $3$ adalah bilangan kelipatan $6$.
Barisan bilangan kelipatan $6$ dari $1$ sampai $101$ adalah
$6, 12, 18, 24, \cdots, 96.$
yang merupakan barisan aritmetika. 
Diketahui: $a=6, n = \dfrac{96}{6} = 16$, dan $\text{U}_n = \text{U}_{16} = 96$. 
Jumlah tiap suku barisan ini dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{16}{2}(6+96) \\ & = 8(102) = 816. \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan genap dari $1$ sampai $101$, yaitu jumlah tiap suku dari barisan $2,4,6,8,\cdots,100$ yang merupakan barisan aritmetika dengan $a=2, n = 50$, dan $\text{U}_{50} = 100$ sehingga 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2+100) \\ & = 25(102) = 2.550. \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari $1$ sampai $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah $\boxed{\text{S} = 2.550-816 = 1.734}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ ekuivalen dengan $x_{k+1}-x_k = \dfrac12$. Selisih $x_{k+1}$ dan $x_k$ adalah konstan, yaitu $\dfrac12$ untuk setiap $k \geq 1$ sehingga $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400}$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $x_1 = a = 1$ dan $b = \dfrac{1}{2}$, serta $n = 400$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \\ & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ & = \dfrac{400}{2}\left(2(1) + (400-1) \cdot \dfrac12\right) \\ & = 200\left(2 + \dfrac{399}{2}\right) \\ & = 400 + 39.900 = 40.300. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = 40.300}.$ 
(Jawaban B)

Selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$ sehingga ditulis
$\text{U}_n- \text{U}_1 = 24 \Leftrightarrow \text{U}_n = \text{U}_1 + 24.$
Karena suku tengah barisan aritmetika itu adalah 17, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_n} {2} & = 17 \\ \text{U}_1 + ( \text{U}_1 + 24) & = 17 \cdot 2 \\ 2\text{U}_1 & = 10 \\ \text{U}_1 & = 5. \end{aligned}$
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{5}.$
(Jawaban C)

Karena jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_3 + \text{U}_5 & = 14 \\ (a + 2b) + (a + 4b) & = 14 \\ 2a + 6b & = 14 \\ 2a & = 14-6b && (\bigstar) \end{aligned}$$Karena jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}((14-6b) + (12-1)b) \\ 129 & = 6(5b +14) \\ 129 & = 30b + 84 \\ 30b & = 45 \\ b & = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2}. \end{aligned}$
Substitusi nilai $b = \dfrac32$ ke persamaan $\bigstar.$ 
$\begin{aligned} 2a & = 14-\cancelto{3}{6}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}} \right) \\ 2a & = 14- 9 \\ 2a & = 5 \\ a & = \dfrac52 \end{aligned}$
Karena suku ke-$n$ adalah $193$, kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 193 & = \dfrac52 + (n-1)\left(\dfrac32\right) \\ \text{Kalikan}~2&~\text{di kedua ruas} \\ 386 & = 5 + (n-1)(3) \\ 381 & = 3(n-1) \\ n-1 & = \dfrac{381}{3} = 127 \\ n & = 128. \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{128}.$
(Jawaban D)

Diketahui $\text{U}_{25} = 3\text{U}_5$. 
Berdasarkan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika, yaitu $\text{U}_n = a + (n-1)b$, diperoleh
$\begin{aligned} a + 24b & = 3(a + 4b) \\ a + 24b & = 3a + 12b \\ 2a & = 12b \\ a & = 6b. \end{aligned}$
Misalkan suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$n$ sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 2\text{U}_1 \\ a + (n-1)b & = 2a \\ (n-1)b & = a \\ \text{Substitusi}~a & = 6b \\ (n-1)\cancel{b} & = 6\cancel{b} \\ n-1 & = 6 \\ n & = 7. \end{aligned}$
Jadi, suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$7$.
(Jawaban D)

Misalkan jumlah suku-suku barisan aritmetika semula adalah $\text{S}_k = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \cdots + \text{U}_k$, sedangkan jumlah suku-suku barisan aritmetika yang baru adalah $\text{S}_n$ dengan
$(\text{U}_1 + 3) + (\text{U}_2 + 9) + (\text{U}_3 + 15) +$ $\cdots + (\text{U}_k + x) = 1.092.$
Dengan mengelompokkan, kita tuliskan
$\begin{aligned} (\text{U}_1 & + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots  + \text{U}_k) + (3 \\ & + 9 + 15 + \cdots + x) = 1.092. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} 585 + (3 + 9 + 15 + \cdots + x) & = 1.092 \\ 3 + 9 + 15 + \cdots + x & = 507. \end{aligned}$
Perhatikanlah bahwa deret $3 + 9 + 15 + \cdots + x$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = 3, b = 6$ dan $\text{S}_n = 507.$
Akan dicari nilai dari $n$. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ 507 & = \dfrac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 6) \\ 507 & = \dfrac{n} {2} (6 + 6n- 6) \\ 507 & = 3n^2 \\ n^2 & = 169 \\ n & = 13 \end{aligned}$
Ini berarti, $n = k = 13$. 
Jumlah suku pertama dan suku terakhir barisan aritmetika semula dapat ditentukan dengan rumus $\text{S}_k$. 
$\begin{aligned} \text{S}_k & = \dfrac{k} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_k) \\ 585 & = \dfrac{13} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_{13}) \\ (\text{U}_1 + \text{U}_{13}) & = \dfrac{585 \times 2}{13} = 90 \end{aligned}$
Suku tengahnya adalah
$\text{U}_7 = \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_{13}} {2} = \dfrac{90}{2} = 45.$
Dengan demikian, hasil dari
$\text{U}_1 + \text{U}_7 + \text{U}_{13} = 90 + 45 = 135.$
Jadi, jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\boxed{135}.$
(Jawaban C)

Pada barisan aritmetika, rumus suku ke-$n$ dirumuskan oleh $\text{U}_n = a + (n-1)b$.
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_{6}-\text{U}_{8}+\text{U}_{10}-\text{U}_{12}+\text{U}_{14}& =20 \\ (a+5b)-(a+7b)+(a+9b)-(a+11b)+(a+13b)&=20 \\ (a-a+a-a+a)+(5b-7b+9b-11b+13b)&=20 \\ a + 9b & = 20 \\ 2a + 18b & = 40. && (\text{Kali}~2) \end{aligned}$$Jumlah $19$ suku pertama barisan aritmetika itu dirumuskan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{19} & = \dfrac{19}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_{19}) \\ & = \dfrac{19}{2}(a + (a + 18b)) \\ & = \dfrac{19}{2}(2a + 18b) \\ & = \dfrac{19}{\cancel{2}}(\cancelto{20}{40}) \\ & = 380. \end{aligned}$
Jadi, jumlah $19$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{380}.$
(Jawaban B)

Diberikan $$1+2+3+\cdots+n = \overline{aaa}.$$Berdasarkan rumus jumlah deret aritmetika (ruas kiri) dan penjabaran bilangan ratusan (ruas kanan), kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n}{2}(1+n) & = 100a+10a+a \\ n(n+1) & = 222a \\ n(n+1) & = 2 \cdot 3 \cdot 37a \\ n(n+1) & = 6 \cdot 37a. \end{aligned}$$Nilai $a$ yang membuat munculnya perkalian dua bilangan berurutan (seperti bentuk pada ruas kiri) adalah $a = 6$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} n(n+1) & = 6 \cdot 37(6) \\ n(n+1) & = 36 \cdot 37. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $n = 36$ dan $\overline{aaa} = 666.$