Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu $180^{\circ}$, haruslah $\angle C = (180-120-30)^{\circ} = 30^{\circ}.$
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{c}{\sin C} \\ \dfrac{4}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{c}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{4}{\cancel{\frac12}\sqrt3} & = \dfrac{c}{\cancel{\frac12}} \\ c & = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{c = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Pada $\triangle JKL$, sisi depan sudut $L$ adalah $JK$, sedangkan sisi depan sudut $J$ adalah $KL.$ Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{JK}{\sin L} & = \dfrac{KL}{\sin J} \\ \dfrac{5}{\frac13} & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ 15 & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ KL & = 15 \cdot \dfrac35 = 9. \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa kita mencari panjang sisi di hadapan sudut yang telah diketahui besarnya. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin A} & = \dfrac{AC}{\sin B} \\ \dfrac{BC}{AC} & = \dfrac{\sin A}{\sin B} \\ & = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \\ & = \dfrac{\cancel{\dfrac12}\sqrt2}{\cancel{\dfrac12}\sqrt3} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang $BC : AC$ adalah $\boxed{\sqrt2 : \sqrt3}$
(Jawaban C)

Diketahui untuk suatu bilangan asli $k,$ berlaku
$$\begin{aligned} b+c & = 4k && (\cdots 1) \\ a+c & = 5k && (\cdots 2) \\ a+b & = 6k. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Eliminasi $c$ pada Persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh $a-b = -k$. Sebutlah ini sebagai Persamaan $(4).$
Dari Persamaan $(3)$ dan $(4),$ kita peroleh $a = \dfrac72k$ dan $b = \dfrac52k$ sehingga $c = \dfrac32k.$ Jadi, diperoleh perbandingan
$$\begin{aligned} a : b : c & = \dfrac72k : \dfrac52k : \dfrac32k \\ & = 7 : 5 : 3. \end{aligned}$$Menurut aturan sinus, perbandingan nilai sinus sudut sama dengan perbandingan panjang sisi depannya sehingga $\boxed{\begin{aligned} \sin A : \sin B : \sin C & = a : b : c \\ & = 7 : 5 : 3 \end{aligned}}$
(Jawaban A)

Menurut aturan sinus, berlaku
$$\boxed{\color{blue}{\dfrac{BC}{\sin \angle A}} = \dfrac{AB}{\sin \angle C} = \dfrac{AC}{\sin \angle B} = \color{blue}{2R}}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC.$
Karena $\angle B = 70^{\circ}$ dan $\angle C = 80^{\circ},$ haruslah $\angle A = (180-70-80)^{\circ} = 30^{\circ}$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin \angle A} & = 2R \\ \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}} & = 2R \\ \dfrac{2}{\frac12} & = 2R \\ R & = 2. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{R = 2~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $AC = 6, AB = 5$, dan $BC = 4.$
Dengan menggunakan aturan kosinus, nilai masing-masing kosinus sudut dapat ditentukan karena panjang ketiga sisi segitiganya telah diketahui.
Kosinus sudut $A$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \\ & = \dfrac{6^2+5^2-4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} \\ & = \dfrac{36+25-16}{60} \\ & = \dfrac{45}{60} = \dfrac34. \end{aligned}$
Kosinus sudut $B$ adalah
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \\ & = \dfrac{5^2+4^2-6^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} \\ & = \dfrac{25+16-36}{40} \\ & = \dfrac{5}{40} = \dfrac18. \end{aligned}$
Kosinus sudut $C$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \\ & = \dfrac{6^2+4^2-5^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ & = \dfrac{36+16-25}{48} \\ & = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}. \end{aligned}$
Karena $\dfrac18 < \dfrac{9}{16} < \dfrac34,$ kosinus sudut terbesar adalah pada sudut $A$, yaitu $\cos A = \dfrac34.$
Tips: Semakin kecil panjang sisi depan sudut pada segitiga, nilai kosinus sudutnya akan semakin besar.
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh persamaan
$\dfrac{AB}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \beta}.$
Berdasarkan aturan tersebut, diketahui bahwa nilai sinus sudut sebanding dengan panjang sisi di depan sudutnya. Sisi depan sudut $\alpha$ adalah $BC$, sisi depan sudut $\beta$ adalah $AC$, dan sisi depan sudut $\gamma$ adalah $AB.$
Dalam kasus ini, dapat ditulis
$\boxed{\begin{aligned} \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma & = BC : AC : AB \\ & = 6 : 5 : 4 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $OAB$, diketahui bahwa $r = OB = OA = 8~\text{cm}$ serta $\angle AOB = 360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}.$ Panjang sisi $AB$ dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AB^2 & = OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 30^{\circ} \\ AB^2 & = 8^2+8^2-2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ AB^2 & = 128- 64\sqrt3 \\ AB^2 & = 64(2-\sqrt3) \\ AB & = 8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}\end{aligned}$$Jadi, panjang sisi segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Tarik garis dari titik $A$ ke titik $C$, sebut saja garis $AC$.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = \theta$ sehingga besar sudut di hadapannya adalah $\angle ADC = 180^{\circ}- \theta.$
Catatan: Jumlah sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur lingkaran adalah $\color{red}{180^{\circ}}.$
Dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle ABC$ dan $\triangle ADC$, diperoleh persamaan panjang $AC$, yakni
$$\boxed{AB^2+BC^2-2(AB)(BC) \cos \theta= AD^2+CD^2-2(AD)(CD) \cos (180^{\circ}-\theta)}$$Diketahui bahwa $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 3$, dan $AD = 4$, serta $\cos (180^{\circ}-\theta) =-\cos \theta$ sehingga
$$\begin{aligned} (1)^2+(2)^2 -2(1)(2) \cos \theta & = (4)^2+(3)^2-2(3)(4)(-\cos \theta) \\ 5-4 \cos \theta & = 25+24 \cos \theta \\ 28 \cos \theta & =-20 \\ \cos \theta & =-\dfrac{20}{28} =-\dfrac57. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta =-\dfrac57}$
(Jawaban B)

Pada segitiga $PQS$, panjang $QS$ dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus, yakni
$$\begin{aligned} QS^2 & = PS^2+PQ^2-2 \cdot PS \cdot PQ \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = 9^2+(9\sqrt3)^2-2 \cdot 9 \cdot 9\sqrt3 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = 81 + 243- 243 \\ QS & = \sqrt{81} = 9~\text{cm}. \end{aligned}$$Selanjutnya, gunakan aturan sinus pada segitiga $QRS$ untuk mencari panjang $RS.$
$\begin{aligned} \dfrac{QS}{\sin 60^{\circ}} & = \dfrac{RS}{\sin 90^{\circ}} \\ \dfrac{9}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{RS}{1} \\ RS & = \dfrac{18}{\sqrt3} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{RS = 6\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa segitiga $ABC$ berikut.
Karena ketiga panjang sisi segitiga diketahui, kita dapat mencari nilai $\cos C$ terlebih dahulu dengan menggunakan aturan kosinus.
$\begin{aligned} \cos C & = \dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} \\ & = \dfrac{14^2+13^2-15^2}{2 \cdot 14 \cdot 13} \\ & = \dfrac{196+169-225}{2 \cdot 14 \cdot 13} \\ & = \dfrac{\cancelto{10}{140}}{2 \cdot \cancel{14} \cdot 13} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$
Panjang sisi samping $\angle C = 5.$
Panjang sisi miring $\angle C = 13.$
Panjang sisi depan $\angle C = \sqrt{13^2-5^2} = 12.$
Dengan demikian, $\boxed{\tan C = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5}}$
(Jawaban D)

Perhatikan segi-$12$ beraturan dan potongannya berupa segitiga sama kaki berikut.
Besar sudut $BAC$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$ sehingga besar sudut kakinya adalah $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{x}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{4}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\sin (45+30)^{\circ}} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ \dfrac{x}{\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}} & = 8. \end{aligned}$$Selanjutnya, diperoleh
$$\begin{aligned} x & = 8(\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}) \\ x & = 8\left(\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\right) \\ x & = 8\left(\dfrac14\sqrt6 + \dfrac14\sqrt2\right) \\ x & = 2\sqrt6 + 2\sqrt2 = [2(\sqrt6+\sqrt2)]~\text{cm}. \end{aligned}$$Luas segitiga $ABC$ pada gambar di atas adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot x \cdot x \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 4(\sqrt6+\sqrt2)^2 \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6 + \sqrt2)^2 \\ & = 8 + 2\sqrt12 = (8 + 4\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Dua belas segitiga kongruen seperti segitiga $ABC$ memiliki total luas yang sama dengan segi-$12$ beraturan, yaitu
$\begin{aligned} L & = 12 \cdot L_{\triangle ABC} \\ & = 12 \cdot (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{96+48\sqrt3~\text{cm}^2}$ 
(Jawaban A)

Gunakan aturan kosinus bahwa $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A,$ serta identitas Pythagoras $\sin^2 A = 1-\cos^2 A.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} a^2(1+\cos A) & = 2bc \sin^2 A \\ (b^2+c^2-2bc \cos A)(1+\cos A) & = 2bc(1-\cos^2 A) \\ (b^2+c^2-2bc \cos A)\cancel{(1+\cos A)} & = 2bc\cancel{(1+\cos A)}(1-\cos A) \\ b^2+c^2-\bcancel{2bc \cos A} & = 2bc-\bcancel{2bc \cos A} \\ b^2-2bc+c^2 & = 0 \\ (b-c)^2 & = 0 \\ b & = c. \end{aligned}$$Jadi, disimpulkan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga sama kaki karena ada dua sisi yang panjangnya sama.
(Jawaban C)

Perhatikan kembali gambar segi empat $ABCD$ berikut.
Luas segi empat $ABCD$ sama dengan jumlah dari luas segitiga $ABC$ dan $ACD.$
Luas segitiga $ABC$ dapat langsung ditentukan menggunakan rumus luas sinus.
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{5}{20} \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt3 \\ & = 50\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Pada segitiga $ABC$, panjang $AC$ dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2+BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = 20^2+10^2-2 \cdot 20 \cdot 10 \cdot \dfrac12 \\ AC^2 & = 400+100-200 \\ AC^2 & = 300 \\ AC & = \sqrt{300} = 10\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Luas segitiga $ACD$ dapat ditentukan dengan memakai rumus Heron karena panjang ketiga sisinya diketahui.
Setengah keliling segitiga itu adalah
$$\begin{aligned} S & = \dfrac{AD+CD+AC}{2} \\ & = \dfrac{6\sqrt3+8\sqrt3+10\sqrt3}{2} = 12\sqrt3. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ACD} & = \sqrt{S(S-AD)(S-CD)(S-AC)} \\ & = \sqrt{12\sqrt3(6\sqrt3)(4\sqrt3)(2\sqrt3)} \\ & = \sqrt{(12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2) \cdot (\sqrt3)^4} \\ & = \sqrt{(2^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 3^2} \\ & = \sqrt{2^6 \cdot 3^4} \\ & = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh bahwa luas segi empat $ABCD$ adalah $$\boxed{L_{\triangle ACD} + L_{\triangle ABC} = (72 + 50\sqrt3)~\text{cm}^2}$$(Jawaban A)

Posisikan titik $C$ dan gunakan garis bantu seperti gambar di bawah.
Dari gambar, diperoleh bahwa $\angle ACB = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}.$ Selanjutnya dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2+BC^2-2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB \\ AB^2 & = 16^2+24^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = 256+576-768 \cdot \dfrac12 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = \sqrt{64 \times 7} = 8\sqrt7~\text{km}. \end{aligned}$$Jadi, jarak $A$ dan $B$ adalah $\boxed{8\sqrt7~\text{km}}$
(Jawaban B)

Ada dua cara untuk menentukan luas segi enam tersebut, yaitu menggunakan teorema Pythagoras dan aturan luas segitiga dalam trigonometri.
Cara 1: Teorema Pythagoras
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena keliling segi enam beraturan tersebut $84~\text{cm},$ panjang sisinya adalah $84 \div 6 = 14~\text{cm}.$
Tarik garis tinggi dari titik pusat segi enam tersebut ke salah satu sisi.
Misalkan panjang garis tinggi ini adalah $t.$ Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} t & = \sqrt{14^2-7^2} \\ & = \sqrt{196-49} = \sqrt{147} = 7\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian, luas segi enam tersebut dapat ditentukan, karena luasnya 6 kali luas segitiga pembentuknya.
$\begin{aligned} L_{\text{segi enam}} & = 6 \times L_{\triangle} \\ & = 6 \times \dfrac12 \times 14 \times 7\sqrt3 \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segi enam tersebut adalah $\boxed{294\sqrt3~\text{cm}^2}$
Cara 2: Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Panjang $r = 84 \div 6 = 14~\text{cm}$ dan $n = 6$ (karena segi-6). Luas segi enam tersebut adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi enam}} & = n \left(\dfrac12r^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{n}\right) \\ & = \cancelto{3}{6}\left(\dfrac{1}{\cancel{2}}(14)^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{6}\right) \\ & = 3(196)\left(\dfrac12\sqrt3\right) \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2. \end{aligned}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar segi-$\color{red}{12}$ berikut.
Tinjau satu segitiga dari dua belas segitiga sama kaki yang kongruen.
Besar sudut $O$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{\color{red}{12}} = 30^{\circ}.$
Karena $\triangle OAB$ sama kaki (panjang $OA = OB$), haruslah dua sudut lainnya sebesar $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}.$
Gunakan aturan sinus dan ingat kembali bahwa $\sin 30^{\circ} = \dfrac12$ dan $\sin 75^{\circ} = \dfrac14(\sqrt6 + \sqrt2).$
$\begin{aligned} \dfrac{OA}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{AB}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\frac14(\sqrt6+\sqrt2)} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ x & = 2(\sqrt6 + \sqrt2)~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{OAB} & = \dfrac12 \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2) \\ & = (\sqrt6)^2+2(\sqrt6)(\sqrt2) + (\sqrt2)^2 \\ & = (8+4\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Karena ada $12$ segitiga yang kongruen, haruslah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-12} & = 12 \times (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu $X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2-2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000-60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$$Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.
Perhatikan bahwa kemudi dibelokkan $60^{\circ}$ di titik $B$, artinya sudut pelurus $\angle ABC = 60^{\circ}.$ Penarikan sudut selalu dimulai dari sumbu $X$ positif.
Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}.$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, kita dapat menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91} \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ meter.
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Titik $C$ adalah titik lokasi kapal laut. Besar sudut $C$ adalah $(180-45-15)^{\circ} = 120^{\circ}$. Untuk mencari jarak kapal laut dan Lili, yaitu panjang $BC$, gunakan aturan sinus.
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{6}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{BC}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{BC}{\frac12\sqrt2} \\ BC & = \dfrac{6}{\sqrt3} \times \sqrt2 \\ BC & = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$ dan $b = 6$ sehingga $\boxed{b-a=6-2=4}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km}$, $CB = 24~\text{km},$ dan $\angle ACB = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2-2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576-384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7}. \end{aligned}$$Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut.
Kita misalkan $\angle CBD = \angle DBA = \theta.$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, berlaku perbandingan trigonometri
$\sin \theta = \dfrac{CD}{BD} \Leftrightarrow \color{red}{CD = BD \sin \theta}.$
Berdasarkan aturan luas segitiga menurut trigonometri pada $\triangle ABD$ ditinjau dari sudut $\theta$, kita peroleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot \color{red}{BD \cdot \sin \theta} \\ 9 & = \dfrac12 \cdot 3 \cdot \color{red}{CD} \\ CD & = 9 \cdot \dfrac23 = 6. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $CD$ adalah $\boxed{6}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (a+b+c)(a-b+c) & = 3ac \\ (a+c+b)(a+c-b) & = 3ac \\ (a+c)^2-b^2 & = 3ac \\ (a^2+2ac+c^2)-b^2 & = 3ac \\ a^2+c^2-ac & = b^2. \end{aligned}$
Misalkan $B$ adalah besar sudut di depan sisi $b$. Sekarang dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ & = \dfrac{a^2+c^2-(a^2+c^2-ac)}{2ac} \\ & = \dfrac{ac}{2ac} = \dfrac12. \end{aligned}$
Karena $\cos B = \dfrac12$, maka nilai $B$ yang mungkin adalah $60^{\circ}.$
Jadi, besar sudut yang menghadap sisi $b$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$
(Jawaban C)

Misalkan kita memberi nama setiap titik sudut yang ada seperti berikut.
Perhatikan bahwa nilai $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35$ dan $\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{20}{25} = \dfrac45.$
Luas $\triangle AEF$ (segitiga siku-siku) adalah
$$\begin{aligned} L_{\triangle AEF} & = \dfrac12 \times AF \times AE \\ & = \dfrac12 \times 5 \times 5 \\ & = \dfrac{25}{2}. \end{aligned}$$Luas $\triangle HGB$ dapat dicari dengan menggunakan rumus luas sinus.
$$\begin{aligned} L_{\triangle HGB} & = \dfrac12 \times GB \times HB \times \sin B \\ & = \dfrac12 \times 5 \times 5 \times \dfrac35 \\ & = \dfrac{15}{2} \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, kita hitung luas segitiga $CDI.$
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDI} & = \dfrac12 \times CD \times CI \times \sin C \\ & = \dfrac12 \times 5 \times 5 \times \dfrac45 \\ & = 10 \end{aligned}$$Luas heksagon tersebut sama dengan luas segitiga siku-siku $ABC$ dikurangi jumlah dari luas tiga segitiga yang kita hitung tadi.
$$\begin{aligned} L_{\text{heksagon}} & = L_{\triangle ABC}-\left(L_{\triangle AEF}+L_{\triangle HGB} + L_{\triangle CDI}\right) \\ & = \dfrac12 \times 15 \times 20-\left(\dfrac{25}{2}+\dfrac{15}{2}+10\right) \\ & = 150-30 = 120 \end{aligned}$$Jadi, luas heksagon tersebut adalah $\boxed{120}$
(Jawaban D)

Perhatikan $\triangle ABC.$ Dengan menggunakan aturan kosinus ditinjau dari sudut $A,$ diperoleh
$$\begin{aligned} BC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cos A \\ 8^2 & = 8^2 + 10^2-2 \cdot 8 \cdot 10 \cos A \\ \cancel{64} & = \cancel{64} + 100-160 \cos A \\ \cos A & = \dfrac{100}{160} = \dfrac58. \end{aligned}$$Sekarang perhatikan $\triangle ADE.$ Dengan menggunakan aturan kosinus ditinjau dari sudut $A,$ diperoleh
$$\begin{aligned} DE^2 & = AD^2 + AE^2-2 \cdot AD \cdot AE \cos A \\ DE^2 & = 5^2+4^2-\cancel{2} \cdot 5 \cdot \cancel{4} \cdot \dfrac{5}{\cancel{8}} \\ DE^2 & = 25 + 16-25 \\ DE^2 & = 16 \\ DE & = 4. \end{aligned}$$Jadi, panjang ruas garis $DE$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban A)

Perhatikan segitiga yang panjang dua sisinya adalah $4$ cm dan $5$ cm. Misalkan sudut yang dibentuk oleh dua sisi tersebut adalah $x.$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin x \\ 8 & = \dfrac12(4)(5) \sin x \\ 8 & = 10 \sin x \\ \sin x & = \dfrac{8}{10} = \dfrac45. \end{aligned}$$Jajaran genjang di atas memiliki panjang sisi $3$ cm dan $4$ cm dengan sudut pengapitnya sebesar $(180^\circ-x).$ Luasnya sama dengan $2$ kali luas segitiga yang diperoleh dari pemotongannya secara diagonal.
$$\begin{aligned} L_{\text{jajaran genjang}} & = 2 \cdot \dfrac12ab \sin (180^\circ-x) \\ & = (4)(5) \sin x \\ & = 20 \cdot \dfrac45 \\ & = 16~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas jajaran genjang tersebut adalah $\boxed{16~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

Pada segitiga, jumlah sudutnya selalu $180^{\circ}$ sehingga ditulis $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}.$
Karena $\angle C = 3\angle A$ dan $\angle B = 2\angle A,$ diperoleh
$\begin{aligned} \angle A + 2 \angle A + 3 \angle A & = 180^{\circ} \\ 6 \angle A & = 180^{\circ} \\ \angle A & = 30^{\circ}. \end{aligned}$
Ini berarti $\angle B = 60^{\circ}$ dan $\angle C = 90^{\circ}.$ Jadi, segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C.$
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{\sin C}{\sin A} \\ AB : BC & = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} \\ & = 1 : \dfrac12 = 2 : 1. \end{aligned}$
Jadi, perbandingan panjang $AB$ dan $BC$ adalah $\boxed{2 : 1}$

Perhatikan sketsa gambar $\triangle ABC$ berikut.
Karena $a + c = 12$ cm, itu berarti $c = (12-a)$ cm.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} (a + c)-(b+c) & = 12-13 \\ a-b & = -1 \\ b & = (a+1)~\text{cm}. \end{aligned}$
Selanjutnya, untuk mencari nilai $a,$ kita gunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} a^2 & = b^2+c^2-2bc \cos A \\ a^2 & = (a+1)^2+(12-a)^2-2(a+1)(12-a) \cos 60^{\circ} \\ a^2 & = (a^2+2a+1)+(144-24a+a^2)-\cancel{2}(-a^2+11a+12) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ a^2 & = a^2+2a+1+144-24a+a^2+a^2-11a-12 \\ a^2 & = 3a^2-33a+133 \\ 0 & = 2a^2-33a + 133 \\ 0 & = (2a-19)(a-7) \end{aligned}$$Diperoleh $a = \dfrac{19}{2}$ atau $a = 7$.
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{a = \dfrac{19}{2}~\text{atau}~a = 7}$

Dalam segitiga sembarang $ABC$, berlaku $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}.$
Dalam bentuk lain, ditulis
$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B}$ dan $c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}.$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B}-b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}}-\dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A-b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}.$

Dengan menerapkan konsep luas segitiga dalam trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 cd \sin \theta \\ L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin C. \end{aligned}$
Pada segi empat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$ sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ}- \theta.$
Dengan demikian, luas segitiga $BCD$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin (180^{\circ}- \theta) \\ & = \dfrac12 ab \sin \theta. \end{aligned}$
Ini berarti, luas segi empat $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle ABD} + L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 cd \sin \theta + \dfrac12 ab \sin \theta \\ & = \dfrac12(ab+cd) \sin \theta. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa luas segi empat tali busur $ABCD$ itu adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta}$

Jika pada segi empat $ABCD$ itu ditarik garis $BD$, maka dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle ABD$ dan $\triangle BCD$, diperoleh
$\begin{cases} BD^2 = c^2+d^2-2cd \cos \theta~~~~(\cdots 1) \\ BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos C.~~~~(\cdots 2) \end{cases}$
Pada segi empat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$ sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ}-\theta.$
Persamaan $2$ selanjutnya dapat diubah menjadi
$BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos (180^{\circ}-\theta).$
Dengan menggunakan konsep relasi sudut, diperoleh
$BD^2 = a^2+b^2+2ab \cos \theta.~~~(\cdots 3)$
Eliminasi $BD^2$ pada persamaan $1$ dan $3$ sehingga kita peroleh
$$c^2+d^2-2cd \cos \theta-a^2-b^2-2ab \cos \theta = 0.$$Substitusi nilai masing-masing.
$\begin{aligned}-2 \cos \theta(ab + cd) & = a^2+b^2-c^2-d^2 \\-2\cos \theta & = \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{ab+cd} \\ \cos \theta & = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}}$

Jawaban a)
Perhatikan bahwa $\angle ADC + \angle BDC = 180^{\circ}$ (kedua sudut saling berpelurus), dan dapat juga kita tulis $\angle BDC = 180^{\circ}-\angle ADC.$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada $\triangle ADC$ dan $\triangle BDC$, diperoleh dua persamaan, yakni
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle (180^{\circ}-ADC) \end{cases}$$Perhatikan juga bahwa $\cos \angle (180^{\circ}-ADC) =-\cos ADC.$ Ini berarti
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2-2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2 + 2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos ADC \end{cases}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} b^2+a^2 & = \dfrac12c^2 + 2CD^2 \\ 2CD^2 & = a^2+b^2-\dfrac12c^2 \\ CD^2 & = \dfrac12 a^2+\dfrac12b^2-\dfrac14c^2. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2.$
Jawaban b)
Dengan menggunakan aturan kosinus terhadap sisi $AB$, diperoleh
$c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C.$
Berdasarkan jawaban a, diketahui bahwa 
$CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2-\dfrac14c^2.$
Persamaan ini ekuivalen dengan 
$4CD^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2.$
Substitusikan $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$, didapat
$$\begin{aligned} 4CD^2 & = 2a^2 + 2b^2-(a^2+b^2-2ab \cos C) \\ & = a^2+b^2 + 2ab \cos C. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C.$

Luas segi empat $ABCD$ dapat dihitung dengan menjumlahkan luas dari empat segitiga penyusunnya. Luas masing-masing segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan aturan sinus (ingat bahwa $\sin (180^{\circ}-\theta) = \sin \theta).$
$\begin{aligned} L_{\triangle CDP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle BCP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ABP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ADP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle CDP} + L_{\triangle BCP} + L_{\triangle ABP} + L_{\triangle ADP} \\ & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ & + \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP(DP+BP)+AP(BP+DP)) \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP \cdot BD + AP \cdot BD) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD(CP + AP) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD \cdot AC \\ & = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segi empat $ABCD$ tersebut adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta}$

Akan dibuktikan
$$\underbrace{c(\sin^2 A + \sin^2 B)}_{\text{ruas kiri}} = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}.$$Gunakan aturan sinus.
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}$$Dari persamaan tersebut, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sin A & = \dfrac{a \sin B}{b} \\ \sin B & = \dfrac{b \sin A}{a}. \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dibuktikan dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} c(\sin^2 A + \sin^2 B) & = c\left(\sin A \cdot \sin A + \sin B \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{a \sin B}{b} \cdot \sin A + \dfrac{b \sin A}{a} \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin B}{b} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin A}{a} \cdot (b \sin B)\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin C}{c} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin C}{c} \cdot (b \sin B)\right) && (\text{Aturan sinus}) \\ & = \cancel{c} \cdot \dfrac{\sin C}{\cancel{c}}(a \sin A + b \sin B) && (\text{Difaktorkan}) \\ & = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa pada $\triangle ABC$ sembarang, berlaku $$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B).$$

Misalkan $k$ adalah bilangan real positif. Dari perbandingan tersebut berlaku $a = 2k,$ $b = k\sqrt6,$ dan $c = (\sqrt3+1)k.$
Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ & = \dfrac{(k\sqrt6)^2+((\sqrt3+1)k)^2-(2k)^2}{2(k\sqrt6)(\sqrt3+1)k} \\ & = \dfrac{6k^2+(\sqrt3+1)^2k^2-4k^2}{2k^2\sqrt6(\sqrt3+1)} \\ & = \dfrac{2\color{red}{k}^2+(4+2\sqrt3)\color{red}{k}^2}{6\color{red}{k}^2\sqrt2 + 2\color{red}{k}^2\sqrt6} \\ & = \dfrac{2+(4+2\sqrt3)}{6\sqrt2 + 2\sqrt6} \\ & =\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2 + \sqrt6} \times \color{blue}{\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{3\sqrt2- \sqrt6}} \\ & =\dfrac{9\sqrt2-3\sqrt6+3\sqrt6-3\sqrt2}{18-6} \\ & = \dfrac{6\sqrt2}{12} = \dfrac12\sqrt2 \\ \Rightarrow A & = 45^{\circ}. \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ & = \dfrac{(2k)^2+((\sqrt3+1)k)^2-(k\sqrt6)^2}{2(2k)(\sqrt3+1)k} \\ & = \dfrac{4k^2+(\sqrt3+1)^2k^2-6k^2}{4k^2(\sqrt3+1)} \\ & = \dfrac{-2\color{red}{k}^2+(4+2\sqrt3)\color{red}{k}^2}{(4\color{red}{k}^2\sqrt3 + 4\color{red}{k}^2} \\ & = \dfrac{-2+(4+2\sqrt3)}{4\sqrt3 + 4} \\ & =\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt3 + 2} \times \color{blue}{\dfrac{2\sqrt3-2}{2\sqrt3-2}} \\ & = \dfrac{2\sqrt3-2+6-2\sqrt3}{12-4} \\ & = \dfrac{4}{8} = \dfrac12 \\ \Rightarrow B & = 60^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle ABC,$ berlaku jumlah semua sudutnya adalah $180^\circ$ sehingga $$\angle C = 180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ.$$ Jadi, besar sudut $A, B,$ dan $C$ berturut-turut adalah $45^\circ, 60^\circ,$ dan $75^\circ.$