Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Misalkan $f(x)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g(x)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h(x)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{rl}f(x)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g(x)& =40x\\ h(x)& =g(x)-f(x)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }(x)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{rl}h(x)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }(x)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h(x)$. 
$\begin{array}{rl}h(2)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16(2)\\ & =-4(8)+8(4)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah sehingga
$\begin{array}{rl}f(x)& =x(2x-600+{\displaystyle \frac{30}{x}})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }(x)=0$, yakni
$\begin{array}{rl}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\boxed{{\displaystyle 150\text{hari}}}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah sehingga
$\begin{array}{rl}f(x)& =x(3x–180+{\displaystyle \frac{5.000}{x}})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }(x)=0$, yakni
$\begin{array}{rl}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{rl}f(30)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000\\ & =2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle \text{230 juta rupiah}}}$
(Jawaban C)

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g(x)=x\cdot (55-{\displaystyle \frac{1}{2}}x)=55x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2.$ Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan $$\begin{array}{rl}h(x)& =g(x)-f(x)\\ & =(55x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)-({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+25x+25)\\ & =-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }(x)=0$.
$$\begin{array}{rl}-{\displaystyle \frac{3}{4}}(2)x+30& =0\\ -{\displaystyle \frac{3}{2}}x& =-30\\ x& =30\times {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h(x)$.
$$\begin{array}{rl}h(20)& =-{\displaystyle \frac{3}{4}}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

Diketahui: $h(t)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah $h^{\prime }(t)=120-10t.$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }(t)=0$ sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12.$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{rl}h(12)& =120(12)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $\boxed{{\displaystyle 720\text{meter}}}$
(Jawaban D)

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{rl}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{rl}L(x)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }(x)=0$ sehingga
$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{rl}p& =2x+4\\ p& =2(3)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 10\text{meter}}}$
(Jawaban C)

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{array}{rl}V& =108\\ x\cdot x\cdot t& =108\\ x^2\cdot t& =108\\ t& ={\displaystyle \frac{108}{x^2}}\end{array}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{rl}L(x)& =4(x\cdot t)+(x\cdot x)\\ & =4xt+x^2\\ & =4x\left({\displaystyle \frac{108}{x^2}}\right)+x^2\\ & =432x^{-1}+x^2\end{array}$
Luas permukaan akan minimum saat $L^{\prime }(x)=0$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =0\\ -432x^{-2}+2x& =0\\ 2x& =432x^{-2}\\ x^3& =216\\ x& =\sqrt[3]{216}=6\end{array}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $\boxed{{\displaystyle 6\text{cm}}}$
(Jawaban C)

Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{rl}L& =300\\ \pi r^2+2\pi rt& =300\\ 2\pi rt& =300-\pi r^2\\ t& ={\displaystyle \frac{300-\pi r^2}{2\pi r}}\end{array}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{array}{rl}V(r)& =\pi r^{2}t\\ & ={\cancel{\pi r^2}}^r\left({\displaystyle \frac{300-\pi r^2}{2\cancel{\pi r}}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{r}{2}}(300-\pi r^2)\\ & =150r-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi r^3\end{array}$
Volume tabung akan maksimum saat $V^{\prime }(x)=0$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }(x)& =0\\ 150-{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi r^2& =0\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi r^2& =150\\ \pi r^2& =150\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=100\end{array}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $\boxed{{\displaystyle 100{\text{cm}}^2}}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& =40{\text{cm}}^3/\text{detik}\\ {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}& =20\text{cm}/\text{detik}\end{array}$
Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ sehingga turunannya terhadap $r$ adalah ${\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}=4\pi r^2.$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& =40\\ {\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}& =40\\ 4\pi r^2\cdot 20& =40\\ 80\pi r^2& =40\\ r^2& ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\\ r& ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\end{array}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}}}$
(Jawaban B)

Misalkan $p=25\text{meter}.$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{rl}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{rl}V(t)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }(t)=0$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }(t)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p=l=x.$

Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{rl}L& =2(pl+pt+lt)\\ 96& =2(x^2+tx+tx)\\ 48& =x^2+2tx\\ 2tx& =48-x^2\\ t& ={\displaystyle \frac{48-x^2}{2x}}\end{array}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x.$ 
$\begin{array}{rl}V(x)& =p\times l\times t\\ V(x)& =x\times \cancel{x}\times {\displaystyle \frac{48-x^2}{2\cancel{x}}}\\ V(x)& =24x–{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }(x)=0$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }(x)& =0\\ 24-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2& =0\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2& =24\\ x^2& =24\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=16\\ x& =4\end{array}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$\begin{array}{rl}V(4)& =24(4)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4{)}^3\\ & =96-32=64{\text{cm}}^3\end{array}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $A$ menyatakan luas kertas, $p$ menyatakan panjang kertas, dan $l$ menyatakan lebar kertas. Nyatakan $l$ dalam $p$ dengan menggunakan luas kertas yang diketahui nilainya. 
$\begin{array}{rl}A& =p\times l\\ 54& =p\times l\\ l& ={\displaystyle \frac{54}{p}}\end{array}$
Misalkan $L$ menyatakan luas daerah pengetikan. Nyatakan $L$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$. 
$\begin{array}{rl}L(p)& =(p-3)(l–2)\\ & =(p-3)({\displaystyle \frac{54}{p}}-2)\\ & =60-{\displaystyle \frac{162}{p}}–2p\end{array}$
Agar $L(p)$ maksimum, turunan pertamanya harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(p)& =0\\ {\displaystyle \frac{162}{p^2}}-2& =0\\ 2p^2& =162\\ p^2& =81\\ p& =9\end{array}$
Untuk $p=9$, berarti $l={\displaystyle \frac{54}{9}}=6.$
Jadi, panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikan maksimum berturut-turut adalah $\boxed{{\displaystyle 9\text{cm}}}$ dan $\boxed{{\displaystyle \text{6 cm}}}$
(Jawaban A)

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi) sehingga
$\begin{array}{rl}U(x)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x-10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }(x)=0.$
$\begin{array}{rl}{U}^{\prime }(x)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi $4$ unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{rl}U(4)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0<x<15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{rl}V(x)& =plt\\ & =(30-2x)(30-2x)x\\ & =4x^3-120x^2+900x\end{array}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V^{\prime }(x)=0.$
$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }(x)& =0\\ 12x^2-240x+900& =0\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan 12}\\ x^2-20x+75& =0\\ (x-15)(x-5)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=15$ (tidak memenuhi) atau $x=5.$
Untuk $x=5$, diperoleh
$\begin{array}{rl}V(5)& =900(5)-120(5{)}^2+4(5{)}^3\\ & =4.500-3.000+500=2.000\end{array}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\boxed{{\displaystyle 2.000{\text{cm}}^3}}$
(Jawaban A)

Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $(p)$ dan lebar $(l).$
$L=p\times l\Rightarrow l={\displaystyle \frac{324}{p}}$
Pemasangan kawat duri merupakan permasalahan keliling sehingga perlu dinyatakan keliling persegi panjang $(k)$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$ (atau boleh juga $l$). 
$\begin{array}{rl}k& =2p+2l\\ & =2p+2\left({\displaystyle \frac{324}{p}}\right)\\ & =2p+{\displaystyle \frac{648}{p}}\end{array}$
$k$ akan maksimum saat ${\displaystyle \frac{\text{d}k}{\text{d}p}}=0$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}k}{\text{d}p}}& =2-{\displaystyle \frac{648}{p^2}}\\ 0& =2-{\displaystyle \frac{648}{p^2}}\\ {\displaystyle \frac{648}{p^2}}& =2\\ p^2& ={\displaystyle \frac{648}{2}}=324\\ p& =\sqrt{324}=18\end{array}$
Untuk $p=18\text{meter}$, diperoleh $l={\displaystyle \frac{324}{18}}=18.$
Ini artinya, ketika panjang dan kandang $18$ meter, maka keliling akan bernilai minimum, yaitu
$k_{\text{min}}=2(p+l)=2(18+18)=72\text{m}.$
Biaya pemasangan kawat minimum adalah $72\times \text{Rp}12.000,00=\text{Rp}864.000,00$. 
Berarti opsi jawaban yang diberikan, jawaban yang paling tepat adalah D.

Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut. 
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h=10$ cm, diperoleh $r=5$ cm. 
Dengan demikian, 
Saat $h=5$ cm, diperoleh $r={\displaystyle \frac{5}{2}}$ cm. 
Diketahui bahwa laju penguapan/perubahan ketinggian terhadap waktu $t$ adalah ${\displaystyle \frac{\text{d}h}{\text{d}t}}={\displaystyle \frac{3}{10\pi }}\text{cm/jam}$.
Laju perubahan volume didapat dengan menurunkan fungsi volume kerucut $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$ terhadap waktu $t.$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}h}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}h}{\text{d}t}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\bcancel{3}}}\cancel{\pi }{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{\bcancel{3}}{10\cancel{\pi }}}\\ {{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}|}_{r=\frac{5}{2}}& ={\displaystyle \frac{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}{10}}\\ & ={\displaystyle \frac{25}{40}}={\displaystyle \frac{5}{8}}{\text{cm}}^3\text{/jam}\end{array}$
Jadi, laju perubahan volume pada saat ketinggian air 5 cm adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{8}}{\text{cm}}^3\text{/jam}}}$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku $x^2+y^2=(\sqrt{5}{)}^2=5.$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan $y=\sqrt{5-x^2}.$
Misalkan $f(x)=2x+y=2x+\sqrt{5-x^2}.$
Agar $f(x)$ maksimum, nilai turunan pertamanya harus $0$ sehingga kita dapatkan
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5-x^2}}}\cdot (-2x)& =0\\ 2-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{5-x^2}}}& =0\\ 2\sqrt{5-x^2}-x& =0\\ 2\sqrt{5-x^2}& =x\\ \text{Kuadratkan kedua ruas}& \\ 4(5-x^2)& =x^2\\ 20-4x^2& =x^2\\ x^2& =4\\ x& =2\end{array}$
Untuk $x=2$, diperoleh $y=\sqrt{5-(2{)}^2}=1.$
Dengan demikian, nilai maksimum dari $2x+y$ adalah $\boxed{{\displaystyle 2(2)+1=5}}$
(Jawaban A)

Diberikan $k=px$. Untuk $p=90-3x,$ diperoleh
$k=(90-3x)x=-3x^2+90x.$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu ${\displaystyle \frac{\text{d}k}{\text{d}x}}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}k}{\text{d}x}}& =-6x+90\\ 0& =-6x+90\\ 6x& =90\\ x& =15\end{array}$
Nilai $x=15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k=-3x^2+90x$ sehingga diperoleh
$k_{\text{maks}}=-3(15{)}^2+90(15)=675.$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00.
(Jawaban B)

Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi {\text{cm}}^2$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{L}_{\text{tab}\text{ung}}& =k\pi \\ \pi r^2+2\pi rt& =k\pi \\ \cancel{\pi }(r^2+2rt)& =k\cancel{\pi }\\ r^2+2rt& =k& & (\cdots 1)\end{array}$
Diketahui volume tabung tersebut $8\pi {\text{cm}}^3$ sehingga ditulis
$\begin{array}{rl}{V}_{\text{tab}\text{ung}}& =8\pi \\ \cancel{\pi }{r}^{2}t& =8\cancel{\pi }\\ r^{2}t& =8\\ t& ={\displaystyle \frac{8}{r^2}}(\cdots 2)\end{array}$
Substitusikan $(2)$ ke $(1)$, diperoleh
$\begin{array}{rl}{r}^2+2r\left({\displaystyle \frac{8}{r^2}}\right)& =k\\ r^2+{\displaystyle \frac{8}{r}}& =k\\ r^3-kr+8& =0\end{array}$
Sekarang, misalkan $f(r)=r^3-kr+8$. Volume tabung akan minimum saat $f^{\prime }(r)=0$, yaitu
$3r^2–k=0\iff k=3r^2.$
Ini artinya, volume tabung akan minimum bila $k=3r^2.$ 
Substitusikan nilai $k$ ini ke $(1)$. 
$\begin{array}{rl}{r}^2+2rt& =k\\ r^2+2rt& =3r^2\\ 2r^2-2rt& =0\\ 2r(r-t)& =0\end{array}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r=t.$ 
Terakhir, substitusikan ke $(2)$. 
$\begin{array}{rl}t& ={\displaystyle \frac{8}{r^2}}\\ t{r}^2& =8\\ (r)r^2& =8\\ r^3& =8\\ r& =\sqrt[3]{8}=2\end{array}$
Dengan demikian, $\boxed{{\displaystyle k=3r^2=3(2{)}^2=12}}$
Jadi, nilai $k$ adalah $12$.
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}r& =12\text{cm}\\ h& =18\text{cm}\\ {\displaystyle \frac{\text{d}h}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{27}{100\pi }}\text{cm/detik}\end{array}$
Ditanya: ${\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}.$
Hubungan panjang jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
${\displaystyle \frac{r}{h}}={\displaystyle \frac{12\text{cm}}{18\text{cm}}}\iff r={\displaystyle \frac{2}{3}}h.$
Volume kerucut dinyatakan oleh
$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}h\right)}^{2}h\\ & =\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{27}}{h}^3\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
${\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}h}}=3\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{27}}{h}^2=\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}{h}^2$
dan kita akan mendapat
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}h}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}h}{\text{d}t}}\\ & =\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}{h}^2\cdot {\displaystyle \frac{27}{100\pi }}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{25}}{h}^2\end{array}$
Untuk $h=5$, diperoleh
${\left[{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}\right]}_{h=5}={\displaystyle \frac{3(5{)}^2}{25}}=3.$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5\text{cm}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 3{\text{cm}}^3/\text{detik}}}$
(Jawaban A)

Misalkan garis tersebut memotong sumbu-$X$ di $(a,0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0,b)$ sehingga persamaan garisnya adalah $bx+ay=ab$, seperti tampak pada sketsa grafik berikut.
Karena garis itu melalui titik $(x,y)=(4,3)$, maka diperoleh
$\begin{array}{rl}4b+3a& =ab\\ 3a& =ab-4b\\ 3a& =b(a-4)\\ {\displaystyle \frac{3a}{a-4}}& =b\end{array}$
Segitiga yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat selalu berbentuk segitiga siku-siku sehingga kita peroleh $L_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}ab.$
Substitusi $b$ dalam bentuk $a$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}f(a)& ={\displaystyle \frac{1}{2}}a\cdot {\displaystyle \frac{3a}{a-4}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{a-4}},a\ne 4\end{array}$
Agar luasnya minimum, maka haruslah $f^{\prime }(a)=0.$
Misalkan $u=a^2$ dan $v=a-4$ sehingga $u^{\prime }=2a$ dan $v^{\prime }=1.$ Kita peroleh
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)& ={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\\ 0& ={\displaystyle \frac{2a(a-4)-a^2(1)}{(a-4{)}^2}}\\ 0& ={\displaystyle \frac{a^2-8a}{(a-4{)}^2}}\\ 0& =a^2-8a\\ 0& =a(a-8)\end{array}$
Didapat $a=0$ atau $a=8.$
Ambil $a=8$ (agar terbentuk segitiga), berakibat $b=6$, dari hasil substitusi $b={\displaystyle \frac{3a}{a-4}}.$
Luas minimum segitiga adalah $\boxed{{\displaystyle L_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(8)(6)=24}}$
(Jawaban D)

Nilai minimum fungsi $f(x,y)=4x+y$ tercapai ketika kedua variabel $x$ dan $y$ dipilih sekecil mungkin.
Untuk itu, nilai minimum akan tercapai ketika $xy=4$, atau setara dengan $y={\displaystyle \frac{4}{x}}.$
Substitusikan pada $f(x,y)$ sehingga kita akan peroleh fungsi satu variabel $f(x)=4x+{\displaystyle \frac{4}{x}}.$
Nilai minimum tercapai saat $f^{\prime }(x)=0$ sehingga didapat
$\begin{array}{rl}\underset{f^{\prime }(x)}{\underbrace{4-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}}& =0\\ {\displaystyle \frac{4}{x^2}}& =4\\ {\displaystyle \frac{1}{x^2}}& =1\\ x& =\pm 1\end{array}$
Nilai $x=-1$ tidak dipilih karena diberi syarat $x\ge 0.$
Jadi, diperoleh $x=1$, berakibat $y=4,$ dan didapat nilai minimumnya, yaitu $\boxed{{\displaystyle f_{\text{min}}(1,4)=4(1)+4=8}}$
(Jawaban E)

Perhatikan kembali sketsa gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{4}{x}}$ dan $\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sehingga
$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\tan (\alpha -\beta )\\ & ={\displaystyle \frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{4}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}}}\times {\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{3x}{x^2+4}}\end{array}$$Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran I. Agar $\theta$ bernilai maksimum, $\tan \theta$ harus dibuat sebesar mungkin (pada kuadran I, semakin besar sudutnya, nilai tangen sudutnya juga semakin besar).
Nilai ekstrem fungsi tangen $f(\theta )=\tan \theta$ tercapai saat turunan pertamanya terhadap variabel $x$ bernilai $0.$
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, misalkan $u=3x$ dan $v=x^2+4$ sehingga $u^{\prime }=3$ dan $v^{\prime }=2x.$ Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}f(\theta )& =\tan \theta ={\displaystyle \frac{3x}{x^2+4}}\\ \Rightarrow f^{\prime }(\theta )& ={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\\ 0& ={\displaystyle \frac{3(x^2+4)-3x(2x)}{(x^2+4{)}^2}}\\ 0& ={\displaystyle \frac{3x^2+12-6x^2}{(x^2+4{)}^2}}\\ 0& ={\displaystyle \frac{-3x^2+12}{(x^2+4{)}^2}}\\ 0& =-3x^2+12\\ 3x^2& =12\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$Karena $x$ mewakili besaran jarak (panjang), maka nilainya tidak mungki negatif. Jadi, diperoleh $x=2$. Ini artinya, jarak orang terhadap dinding itu haruslah $\boxed{{\displaystyle 2\text{meter}}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& =-7,2\pi \\ {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}& =-0,05\end{array}$
Menurut Aturan Rantai, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}\\ -7,2\pi & ={\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}\cdot (-0,05)\\ {\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}& ={\displaystyle \frac{7,2\pi }{0,05}}\end{array}$$Karena balon berbentuk bola, maka volumenya dinyatakan oleh $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ sehingga
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}& =4\pi r^2\\ {\displaystyle \frac{7,2\pi }{0,05}}& =4\pi r^2\\ {\displaystyle \frac{7,2\bcancel{\pi }\times {\cancel{20}}^5}{\cancel{4}\bcancel{\pi }}}& =r^2\\ 7,2\times 5=36& =r^2\\ r& =6\end{array}$$Jadi, panjang jari-jari balon pada saat laju perubahan pengurangan jari-jari balon $-0,05\text{mm}/\text{detik}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 6\text{mm}}}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& =36\\ L& =24\Rightarrow 6r^2=24\Rightarrow r=2\end{array}$$Volume kubus ditentukan oleh rumus $V=r^3$ sehingga ${\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}=3r^2=3(2{)}^2=12.$
Dengan menggunakan aturan rantai, didapat
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{\text{d}V}{\text{d}r}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}\\ 36& =12\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}\\ {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}t}}& ={\displaystyle \frac{36}{12}}=3\end{array}$$Jadi, laju pertambahan panjang rusuk kubus tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 3\text{cm}/\text{menit}}}$
(Jawaban B)