Tag: Volume Bangun Ruang

$\begin{aligned} &-1224 \div 3 + 8 \times 5-34 \\ & =-408 + 40-34 \\ & =-408 + 6 =-402 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $-1224 \div 3+8 \times 5-34$ adalah $\boxed{-402}$
(Jawaban B)

Ingat bahwa $a^0 = 1$ untuk setiap $a$ tak nol. 
$\begin{aligned} & (-3)^3+(-3)^2+(-3)^1+(-3)^0 \\ & =-27 + 9 + (-3) + 1 =-20 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(-3)^3+(-3)^2+(-3)^1+(-3)^0$ adalah $\boxed{-20}$
(Jawaban C)

Rasionalkan bentuknya dengan cara dikalikan akar sekawan. 
$\begin{aligned} \dfrac{10}{4-\sqrt{11}} & =\dfrac{10}{4-\sqrt{11}} \times \dfrac{4+\sqrt{11}} {4+\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{10(4+\sqrt{11})} {16- 11} \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{10}(4+\sqrt{11})} {\cancel{5}} \\ & = 8 + 2\sqrt{11} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{10}{4-\sqrt{11}}$ adalah $\boxed{8+2\sqrt{11}}$ 
(Jawaban A)

Karena ia menjawab $42$ soal dengan benar, maka total nilai yang diperolehnya adalah $42 \times 4 = 168$, sedangkan nilai terakhir yang diperolehnya diketahui $152$, yang artinya ada pengurangan nilai sebesar $168-156=12$. Setiap soal yang dijawab soal mendapat nilai $-2$ dan karena $12 \div 2 = 6$, maka ini berarti peserta tersebut menjawab soal dengan salah sebanyak $\boxed{6}$ soal, sisanya tak dijawab.
(Jawaban D) 

Banyak persegi hitam pada pola pertama = $1$
Banyak persegi hitam pola kedua = $5$
Banyak persegi hitam pola ketiga = $9$
Banyak persegi hitam tersebut ternyata membentuk barisan aritmetika $1, 5, 9, \cdots$ dengan suku pertama $a = 1$ dan beda $b = 4$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n-1)b \\ \text{U}_{20} & = 1 + (20- 1) \times 4 \\ & = 1 + 19 \times 4 = 1 + 76 = 77 \end{aligned}$
Jadi, banyak persegi pada pola ke-20 adalah $\boxed{77}$
(Jawaban A)

Harga belinya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} HB & = \dfrac{100}{100- 20} \times 12.000.000 \\ & = \dfrac{5}{\cancel{4}} \times \cancelto{3.000.000}{12.000.000} \\ & = 15.000.000 \end{aligned}$
Jadi, harga pembelian sepeda motor itu adalah Rp15.000.000,00.
(Jawaban C) 

Banyak virus mula-mula: 8
Banyak virus pada jam ke-$24$: $16$
Banyak virus pada jam ke-$48$: $32$
Banyak virus pada jam ke-$72$: $64$
Banyak virus pada jam ke-$96$: $128$
Diketahui bahwa $\frac14$ dari $128$ virus dimatikan, yaitu sebanyak $\dfrac14 \times 128 = 32$ virus, sehingga hanya tersisa $128- 32 = 96$ virus. 
Banyak virus pada jam ke-$120$: $192$
Banyak virus pada jam ke-$144$: $384$
Jadi, banyaknya virus setelah $144$ jam adalah $\boxed{384}$ virus.
(Jawaban C) 

Perbandingannya harus memiliki bentuk $\dfrac{a} {b} \times n$, dengan $a$ menyatakan unsur yang ditanya pada bentuk perbandingan, $b$ menyatakan unsur yang diketahui pada bentuk perbandingan, dan $n$ menyatakan unsur yang diketahui sebenarnya. 
(Jawaban D) 

$\begin{aligned} & 3x(4x-5)+4(4x-5) \\ & = 12x^2- 15x + 16x- 20 \\ & = 12x^2+x-20 \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk sederhana dari $3x(4x-5)+4(4x-5)$ adalah $\boxed{12x^2+x-20}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned} 3(2x+4)-9 & = 2(5x-1)+17 \\ 6x + 12-9 & = 10x-2+17 \\ 6x+3 & = 10x+15 \\ 6x- 10x & = 15-3 \\-4x & = 12 \\ x & =-3 \end{aligned}$
Ini berarti, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $p =-3$, sehingga nilai dari $\boxed{p-8=-3-8=-11}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned} 4(-3x+6) & = 3(2x-5)+3 \\-12x + 24 & = 6x- 15 + 3 \\-12x + 24 & = 6x- 12 \\-12x- 6x &  =-12- 24 \\-18x & =-36 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Ini berarti, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $k = 2$, sehingga nilai dari $\boxed{k-9=2-9=-7}$
(Jawaban B)

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak pelamar yang lulus tes tertulis atau tes wawancara $= 96- 5 = 91$ orang.
Banyak pelamar yang lulus kedua tes $= 52 + 68- 91 = 29$ orang.
(Dalam diagram Venn, nilai $x$ adalah $29$)
Jadi, banyak pelamar yang diterima sebagai karyawan adalah $\boxed{29}$ orang.
(Jawaban C)

Substitusikan $x = 2a-5$ pada fungsi $f$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(2a-5) & = 3(2a-5)+4 \\ 7 & = 6a-15+4 \\ 7 & = 6a-11 \\ 6a & = 18 \\ a & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

Diketahui bahwa gradien garis $2x-5y-10=0$ adalah
$m_1 =-\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} =-\dfrac{2}{-5} = \dfrac25$
Karena sejajar, maka gradien garis yang dimaksud juga $m = \dfrac25$. 
Persamaan garis lurus yang melalui titik $(-3,4)$ dan bergradien $m=\dfrac25$ adalah
$\begin{aligned} y- y_1 & = m(x-x_1) \\ y- 4 & = \dfrac25(x- (-3)) \\ 5(y-4) & = 2(x+3) \\ 5y-20 & = 2x+6 \\ 2x- 5y+26 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis lurus tersebut adalah $\boxed{2x-5y+26=0}$ 
(Jawaban B)

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak siswa yang membawa mistar atau busur $= 45- 10 = 35$ orang.
Banyak siswa yang membawa keduanya $= 30 + 13- 35 = 8$ orang.
(Dalam diagram Venn, nilai $x$ adalah $8$)
Jadi, banyak siswa yang membawa mistar dan busur adalah $\boxed{8}$ orang.
(Jawaban C) 

Grafik fungsi kuadrat itu memotong sumbu-$X$ di $(-3,0)$ dan $(5,0)$, serta melalui satu titik $(0,-15)$. Dengan menggunakan persamaan umum: 
$y = a(x-x_1)(x-x_2)$, di mana diketahui $x = 0, y =-15$, $x_1 =-3, x_2 = 5$, kita peroleh
$\begin{aligned}-15 & = a(0- (-3))(0- 5) \\-15 & = a(3)(-5) \\-15 & =-15a \\ a & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $a$ pada persamaan umum tadi, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y & = 1(x- (-3)) (x- 5) \\ & = (x+3)(x-5) \\ & = x^2- 2x- 15 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah $\boxed{f(x) = x^2-2x-15}$
(Jawaban C)

Misalkan banyak mobil = $x$ dan banyak sepeda motor = $y$, sehingga terbentuk SPLDV:
$\begin{cases} x + y = 98 \\ 4x + 2y = 256 \end{cases}$
(Angka 4 dan 2 didapat dari jumlah roda pada mobil dan sepeda motor). 
Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + y & = 98 \\ 4x+2y & = 256 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2x+2y & = 196 \\ 4x+2y & = 256 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.8pt}- \\ & \! \begin{aligned} 2x & = 60 \\ x & = 30 \end{aligned} \end{aligned}$
Ini berarti, $y = 98- 30 = 68$. 
Dengan demikian, ada 30 unit mobil dan 68 unit sepeda motor. Selisih banyak mobil dan sepeda motor adalah $68-30=38$ unit. Berdasarkan alternatif pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat jatuh pada pilihan C.

Sudut nomor 1 dan 4 saling berseberangan sehingga besar sudutnya sama. Sudut nomor 4 dan 5 sehadap sehingga besar sudutnya sama, sehingga
$\angle 1 = \angle 4 = \angle 5 = 100^{\circ}$
Sudut nomor 2 dan 6 berpelurus (membentuk sudut 180 derajat), sehingga
$\begin{aligned} \angle 6 & = 180^{\circ}- \angle 2 \\ & = 180^{\circ}- 115^{\circ} = 65^{\circ} \end{aligned}$
Sudut nomor 3, 5, dan 6 merupakan tiga sudut dalam segitiga sehingga jumlahnya haruslah $180^{\circ}$, sehingga kita tulis
$\begin{aligned} \angle 3 + \angle 5 + \angle 6 & = 180^{\circ} \\ \angle 3 + 100^{\circ} + 65^{\circ} & = 180^{\circ} \\ \angle 3 + 165^{\circ} & = 180^{\circ} \\ \angle 3 & = 15^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut nomor 3 adalah $\boxed{15^{\circ}}$
(Jawaban B)

Jika persegi panjang $EFGH$ diposisikan tidak miring, daerah yang beririsan adalah $\dfrac14$ dari persegi $ABCD$. Luas daerah tersebut adalah
$\begin{aligned} L_1 & = \dfrac14 \times L_{ABCD} \\ & = \dfrac{1}{\cancel{4}} \times \cancelto{8}{32} \times 32 = 256~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir sama dengan luas persegi panjang $EFGH$ dikurangi $L_1$, yakni
$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{EFGH}- L_1 \\ & = (28 \times 40)- 256 \\ & = 1.120- 256 = 864~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun datar yang diarsir adalah $\boxed{864~\text{cm}^2}$. 
(Jawaban D)

Adapun informasi yang dapat ditemukan berdasarkan gambar tersebut adalah:
Titik $K$ berada pada koordinat $(-3,-3)$;
Jarak titik $K$ terhadap sumbu-$X$ adalah $3$;
Titik $K$ terhadap sumbu-$Y$ adalah $3$ (bukan $-3$ karena jarak tidak mungkin bernilai negatif);
Jarak titik $K$ terhadap pangkal koordinat, yakni titik $(0,0)$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu $\sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} t & = \sqrt{6^2-3^2} \\ & = \sqrt{36-9} = \sqrt{27} \\ & = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, tinggi tiang listrik yang dapat dicapai tangga adalah $\boxed{3\sqrt{3}~\text{meter}}$ 
(Jawaban C)

Banyak ubin yang diperlukan adalah
$\begin{aligned} n & = \dfrac{\text{Luas aula}}{\text{Luas ubin}} \\ & = \dfrac{15~\text{m} \times 20~\text{m}} {40~\text{cm} \times 40~\text{cm}} \\ & = \dfrac{1.500 \times \cancelto{50}{2.000}}{40 \times \cancel{40}} \\ & = 1.875~\text{buah}\end{aligned}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dalam kasus ini, kita harus menentukan keliling daerah yang diarsir.
Panjang busur $AB$ merupakan setengah dari keliling lingkaran yang berjari-jari $3,5$ cm, sehingga
$\begin{aligned} AB = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{2} \pi r = \dfrac{22}{7} \times 3,5 = 11~\text{m} \end{aligned}$
Panjang $BC$ jelas $3,5~\text{m}$.
Panjang busur $CD$ merupakan seperempat dari keliling lingkaran yang berjari-jari $3,5$ cm, sehingga
$\begin{aligned} CD & = \dfrac{1}{\cancelto{2}{4}} \times \cancel{2} \pi r \\ &  = \dfrac12 \times \dfrac{22}{7} \times 3,5 = 5,5~\text{m} \end{aligned}$
Panjang $DE$ jelas $3,5~\text{m}$.
Panjang busur $EA$ merupakan setengah dari keliling lingkaran yang berjari-jari $3,5$ cm, sehingga panjangnya sama dengan panjang busur $AB$, yaitu $EA = 11~\text{m}$
Keliling daerah yang diarsir adalah
$k = 11 + 3,5 + 5,5 + 3,5 + 11 = 34,5~\text{m}$
Biaya pembuatan tepi kolam sebesar
$= 34,5 \times 175.000 = 6.037.500$
Jadi, biaya untuk membuat tepi kolam seluruhnya sebesar Rp6.037.500,00.
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Kubus yang terkena cat hanya pada satu sisi adalah kubus yang tidak terletak di tepi. Pada gambar berikut, kubus yang dimaksud dibatasi oleh petak merah. Pada sisi depan, ada $3$ kubus yang tidak berada di tepi, begitu juga pada sisi belakang, kiri, dan kanan. Pada sisi atas dan bawah, ada $9$ kubus yang tidak berada di tepi.
Dengan demikian, terdapat $= 2 \times (3 + 3 + 9) = 30$ kubus yang demikian.
(Jawaban D)

Diketahui bahwa panjang jari-jari bola sama dengan panjang jari-jari tabung dan tinggi tabung setara dengan panjang diameter bola.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} r_{\text{tab}\text{ung}} = r_{\text{bola}} = r = 9~\text{cm} \\ t = d_{\text{bola}} = 2r = 18~\text{cm} \end{aligned}$
Volume tabung di luar bola adalah volume tabung dikurangi volume bola, yaitu
$\begin{aligned} V & = \pi r^2t- \dfrac43 \pi r^3 \\ & = \pi r^2(2r)- \dfrac43 \pi r^3 \\ & = \pi r^3\left(2- \dfrac43\right) \\ & = \pi(9)^3 \cdot \dfrac23 \\ & = 486\pi \end{aligned}$
Jadi, volume tabung di luar bola adalah $\boxed{486\pi~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Menurut aturan refleksi bahwa jika ada titik $(x, y)$ dicerminkan terhadap garis $x = k$, maka bayangannya berada di koordinat $(2k- x, y)$. Untuk itu,
$\begin{aligned} \\ A'(2 \times 2- 3, 3) & = A'(1, 3) \\ B'(2 \times 2- (-1), 4) & = B'(5, 4) \\ C'(2 \times 2- (-2), 0) & = C'(6, 0) \\ D'(2 \times 2- 2,-3) & = D'(2,-3) \end{aligned}$
(Jawaban A)

Karena tiap uang logam memiliki dua sisi, maka banyaknya anggota ruang sampel dari lima mata uang logam adalah $\boxed{2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32}$
(Jawaban C)

Pilihan A:
Apabila banyak siswa laki-laki sama dengan $x$, maka banyak siswa perempuan sama dengan $40- x$, sehingga berlaku persamaan
$50,2x + 50,2(40- x) = 40(50,2)$
Persamaan di atas selalu bernilai benar tanpa bergantung pada nilai $x$. Dengan demikian, banyak siswa laki-laki dan perempuan tidak dapat ditentukan dengan pasti.
Pilihan B:
Apabila banyak siswa laki-laki sama dengan $x$, maka banyak siswa perempuan sama dengan $40- x$, sehingga berlaku persamaan
$\begin{aligned} 65,2x + 45,2(40- x) & = 40(50,2) \\ 65,2x + 1.808- 45,2x & = 2.008 \\ 20x & = 200 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Persamaan tersebut benar apabila $x = 10$, padahal kita tidak diberikan informasi bahwa banyak siswa pria di kelas ada $10$ orang.
Pilihan C:
Informasi yang diberikan tidak cukup untuk mengatakan bahwa siswa terberat berbobot $98$ kg dan siswa teringan berbobot $40,2$ kg.
Pilihan D:
Separuh dari $40$ orang adalah $20$ orang. Ini berarti, sebanyak $20$ orang memiliki berat rata-rata $43,2$ kg, dan akan dibuktikan bahwa berat $20$ orang lainnya memiliki berat rata-rata $57,2$ kg.
$\begin{aligned} 20(43,2) + 20x & = 40(50,2) \\ 864 + 20x & = 2.008 \\ 20x & = 1.144 \\ x & = \dfrac{1.144}{20} = 57,2 \end{aligned}$
Jadi, benar bahwa $20$ siswa lainnya memiliki berat $57,2$ kg. 
Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah pilihan D.

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 60 + 50 + 90 = 200 \\ \text{n(hitam)} & = 90 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} p(\text{hitam}) & = \dfrac{\text{n(hitam)}} {\text{n}(S)} \\ & = \dfrac{90}{200} = \dfrac{45}{100} = 0,45 \end{aligned}$
Jadi, peluang terambilnya pulpen berwarna hitam adalah $\boxed{0,45}$
(Jawaban C)

Misalkan banyak siswa pria = $p$, berarti banyak siswa wanita = $36- p$.
Jumlah berat sama dengan banyak orang dikali rata-ratanya. Jumlah berat siswa pria ditambah jumlah berat siswa wanita sama dengan jumlah berat seluruh siswa. Dengan menggunakan kedua prinsip ini, diperoleh
$\begin{aligned} p(40) + (36-p) (31) & = 36(35) \\ 40p + 1.116- 31p & = 1.260 \\ 9p & = 144 \\ p & = 16 \end{aligned}$
Jumlah siswa pria ada $16$ orang, berarti jumlah siswa wanita ada $20$ orang. Dapat disimpulkan bahwa jumlah siswa wanita lebih banyak empat orang dari siswa pria.
(Jawaban D) 

Diketahui bahwa jumlah perbandingan kelereng Alia dan Cica = $5 + 8 = 13$, sedangkan jumlah kelereng Alia dan Cica $= 195$ butir. 
Jawaban a) 
Diketahui: perbandingan kelereng Alia = $5$.
Banyaknya kelereng Alia adalah
$n = \dfrac{5}{\cancel{13}} \times \cancelto{15}{195} = 75$
Jawaban b) 
Diketahui: perbandingan kelereng Beti = $7$.
Banyaknya kelereng Beti adalah
$n = \dfrac{7}{\cancel{13}} \times \cancelto{15}{195} = 105$
Jawaban c) 
Diketahui: perbandingan kelereng Cica = $8$.
Banyaknya kelereng Cica adalah
$n = \dfrac{8}{\cancel{13}} \times \cancelto{15}{195} = 120$

Jawaban a) 
Untuk $x = 2$, diperoleh
$f(2) = 2p + q = 5$
Untuk $x =-2$, diperoleh
$f(-2) =-2p + q =-11$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2p+q = 5 \\-2p+q=-11 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p + q & = 5 \\-2p+q & =-11 \end{aligned} \\  \rule{2.5 cm}{0.8pt}- \\ \! \begin{aligned} 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan $p=4$ pada salah satu persamaan, misalnya $2p+q=5$. 
$2(4)+q = 5 \Leftrightarrow q =-3$. 
Jadi, nilai $\boxed{p=4}$ dan $\boxed{q=-3}$. 
Jawaban b) 
Diketahui $f(x) = 4x- 3$. 
Untuk $x=-6$, diperoleh
$\boxed{f(-6) = 4(-6)- 3 =-27}$

Jawaban a) 
Kerucut dan belahan (setengah) bola.
Jawaban b) 
Volume bangun itu adalah jumlah volume kerucut dan belahan bola, yaitu
$\begin{aligned} V & = V_{\text{kerucut_}} + \dfrac12 V_{\text{bola}} \\ & = \dfrac13 \pi r^2t + \dfrac23 \pi r^3 \\ & = \dfrac13 \pi r^2(t + 2r) \\ & = \dfrac13 \times \dfrac{22}{7} \times 7^2(20 + 2(7)) \\ & = \dfrac{154}{3} \times 34 = \dfrac{5.236}{3} = 1.745\dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, volume bangun itu adalah $\boxed{1.745\dfrac13~\text{cm}^3}$

Jawaban a) 
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dalam sketsa gambar di atas, dimisalkan $x$ sebagai lebar bagian atas dan bawah karton terhadap foto. 
Jawaban b) 
Karena karton dan foto sebangun, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{30}{40} & = \dfrac{24}{40-2x} \\ \dfrac34 & = \dfrac{24}{40-2x} \\ 3(40-2x) & = 4(24) \\ 120- 6x & = 96 \\ 6x & = 24 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Lebar foto $=40-2x=40-2(4)=32~\text{cm}$
Jawaban c) 
Luas karton yang tidak tertutup foto adalah luas karton dikurangi luas foto, yaitu
$\begin{aligned} L & = L_{\text{karton}}- L_{\text{foto}} \\ & = (30 \times 40)- (24 \times 32) \\ & = 1.200- 768 = 432~\text{cm}^2 \end{aligned}$

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 30 \\ \text{n(rambutan)} & = 8 \\ \text{n(jeruk)} & = 10 \\ \text{n(durian)} & = 5 \\ \text{n(langsat)} & = 30-8-10-5 = 7 \end{aligned}$
Jawaban a) 
Peluang terpilihnya orang yang menyukai buah langsat adalah
$P(\text{langsat}) = \dfrac{\text{n(langsat)}} {\text{n}(S)} = \dfrac{7}{30}$
Jawaban b) 
Peluang terpilihnya orang yang menyukai buah durian adalah
$P(\text{durian}) = \dfrac{\text{n(durian)}} {\text{n}(S)} = \dfrac{5}{30} = \dfrac16$
Jawaban c) 
Peluang terpilihnya orang yang menyukai buah rambutan adalah
$\begin{aligned} P(\text{rambutan}) & = \dfrac{\text{n(rambutan)}} {\text{n}(S)} \\ & = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15} \end{aligned}$ 
Jawaban d) 
Peluang terpilihnya orang yang bukan menyukai buah durian dan jeruk sama artinya peluang terpilihnya orang yang menyukai buah rambutan atau langsat, yakni
$\begin{aligned} & P(\text{rambutan} \cup \text{langsat}) \\ & = \dfrac{\text{n(rambutan)} + \text{n(langsat)}} {\text{n}(S)} \\ & = \dfrac{8+7}{30} = \dfrac12 \end{aligned}$