Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum $k \cdot \! ^a \log x$ untuk $a > 0$ dan $x > 0$. Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.
Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa
Opsi A: fungsi logaritma
Opsi B: fungsi mutlak
Opsi C: fungsi eksponen
Opsi D: fungsi kubik
Opsi E: fungsi konstan
Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah $\boxed{f(x) = \! ^2 \log (x+3)}$
(Jawaban A)

Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis yang berbeda-beda sehingga harus diperiksa satu per satu.
Opsi A: $(0, 6)$
Substitusi $x=0$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(0) & = 3 \cdot \, ^2 \log (0+4) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(0, 6)$.
Opsi B: $(-3, 1)$
Substitusi $x=-3$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(-3) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-3+4) \\ & = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-3, 0)$.
Opsi C: $(-2, 4)$
Substitusi $x=-2$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(-2) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-2+4) \\ & = 3 \cdot 1 = 3 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-2, 3)$.
Opsi D: $(4, 12)$
Substitusi $x=4$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(4) & = 3 \cdot \, ^2 \log (4+4) \\ & = 3 \cdot 3 = 9 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(4, 9)$.
Opsi E: $(6, 12)$
Substitusi $x=6$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(6) & = 3 \cdot \, ^2 \log (6+4) \\ & = 3 \cdot \, ^2 \log 10 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(6, 3 \cdot \, ^2 \log 10)$.
(Jawaban A)

Diketahui $f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$.
Karena grafik fungsi melalui titik $(9, 10)$, yang artinya $x = 9$ dan $y = f(9) = 10$, kita peroleh
$$\begin{aligned} 10 & = k \cdot \, ^3 \log 9 \\ 10 & = k \cdot 2 \\ k & = 5 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai $\boxed{2k = 2(5) = 10}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu $Y$, absis titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $x = 0$.
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(0) & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (0+25) \\ & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log 25 \\ & = \dfrac13 \cdot 2 = \dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, grafik fungsi $f$ memotong sumbu $Y$ di titik $\left(0, \dfrac23\right)$.
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \log x^2 = 2 \log x$ sehingga
$$\begin{aligned} f(mn) & = 2 \log (mn) \\ & = 2(\log m + \log n) \end{aligned}$$Jadi, $f(mn)$ sama dengan $\boxed{2(\log m + \log n)}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \log x$.
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} & = \dfrac{\log x^a}{\log x^b} \\ & = \dfrac{a \cancel{\log x}}{b \cancel{\log x}} \\ & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} = \dfrac{a}{b}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$.
Ubah $f(x)$ menjadi $0$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 3 \cdot \! ^2 \log (3x) & = 0 \\ ^2 \log (3x) & = 0 \\ 3x & = 2^0 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\boxed{x = \dfrac13}$
(Jawaban B)

Suatu fungsi logaritma yang berbentuk $f(x) = \! ^a \log x$ akan monoton naik (disebut fungsi naik) saat $a > 1$ dan monoton turun (disebut fungsi turun) saat $0 < a < 1.$
Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan $0 < a < 1$, yaitu $a = 0,5.$
Jadi, $f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$ termasuk fungsi turun yang grafiknya sebagai berikut.(Jawaban E)

Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.
Diketahui $f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4).$
Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah $x^2-4$ sehingga kita tuliskan
$$\begin{aligned} x^2-4 & > 0 \\ (x-2)(x+2) & > 0 \\ x < -2~\text{atau}&~x > 2 \end{aligned}$$Jadi, domain fungsi tersebut adalah $$\boxed{D_f = \{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}}$$(Jawaban A)

Hitung $g(f(2))$ dengan menghitung $f(2)$ terlebih dahulu.
Diketahui $f(x) = x \log x$ sehingga $f(2) = 2 \log 2 = \log 2^2$.
Diketahui juga $g(x) = 10^x$ sehingga
$$\begin{aligned} g(f(2)) & = g(\log 2^2) \\ & = 10^{\log 2^2} \\ & = 10^{^{10} \log 4} \\ & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{g(f(2)) = 4}$
(Jawaban C)

Mencari nilai $f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{3x-3} = 15$.
Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^2 \log 15 & = 3x-3 \\ ^2 \log 15 + 3 & = 3x \\ \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3} & = x \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(15) = \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}}$
(Jawaban A)

Hitung dahulu $g(\color{red}{h(x)})$ dengan $h(x) = x^2+8x+16$ dan $g(x) = \log x^2$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} g(\color{red}{h(x)}) & = g(\color{red}{x^2+8x+16}) \\ & = \log (x^2+8x+16)^2 \\ & = 2 \log (x^2+8x+16) \\ & = 2 \log (x+4)^2 \\ & = 4 \log (x+4) \end{aligned}$$Kita ditanya $f^{-1}[g(h(x))] = f^{-1}(4 \log (x+4)),$ sehingga kita perlu menentukan fungsi invers $f^{-1}$ dari $f(x) = 8^{x+1}$.
Tuliskan sebagai $y = 8^{x+1}$ terlebih dahulu. Selanjutnya, didapat
$$\begin{aligned} \log y & = \log 8^{x+1} \\ \log y & = (x+1) \log 8 \\ \dfrac{\log y}{\log 8} & = x+1 \\ ^8 \log y -1 & = x \end{aligned}$$Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$, kemudian ganti variabel $y$ dengan variabel $x$.
$$\begin{aligned} f^{-1}(y) & = \! ^8 \log y-1 \\ f^{-1}(x) & = \! ^8 \log x-1 \end{aligned}$$Sekarang, kita akan mencari $f^{-1}(4 \log (x+4))$.
$$\begin{aligned} f^{-1}(4 \log (x+4)) & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-1 \\ & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-^8 \log 8 \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{4 \log (x+4)}{8}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{\log (x+4)}{2}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log (x+4)^{\frac12}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right) \end{aligned}$$Jadi, rumus fungsi $f^{-1}[g(h(x))]$ adalah $$\boxed{f^{-1}[g(h(x))] = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right)}$$(Jawaban B)

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a = 2$) lebih besar dari $1$ sehingga $f(x)$ minimum tercapai ketika nilai numerus $g(x) = x^2-2x+9$ juga minimum.
Karena $g(x)$ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $g(x)$ diperoleh ketika $x = -\dfrac{b}{2a}$ dengan $a, b$ masing-masing koefisien $x^2$ dan koefisien $x$. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} x & = -\dfrac{b}{2a} \\ & = -\dfrac{(-2)}{2(1)} \\ & = 1 \end{aligned}$$Ini berarti $x = 1$ membuat $g(x)$ minimum, begitu juga dengan nilai fungsi logaritma $f(x)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(1) & = \! ^2 \log (x^2-2x+9) \\ & = \! ^2 \log ((1)^2-2(1) + 9) \\ & = \! ^2 \log 8 \\ & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum $f(x) = \! ^2 \log (x^2-2x+9)$ adalah $\boxed{3}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.

(Jawaban D)

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a = \frac13$) lebih kecil dari $1$ sehingga $f(x)$ maksimum tercapai ketika nilai numerus $g(x) = (x+3)^2+1$ minimum.
Dapat dilihat bahwa bentuk $(x+3)^2$ minimum bernilai $0$ sehingga $g(x)$ minimum bernilai $0+1 = 1$, tercapai saat $x = -3$.
Ini berarti $x = -3$ membuat nilai fungsi logaritma $f(x)$ maksimum.
Substitusi $x = -3$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(-3) & = \! ^{1/3} \log ((-3+3)^2+1) \\ & = \! ^{1/3} \log 1 \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari $f(x) = \! ^{1/3} \log ((x+3)^2+1)$ adalah $\boxed{0}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.(Jawaban C)

Pertama, cari nilai maksimum dari grafik fungsi $f(x) = \! ^2 \log (-x^2+6x+7).$ Fungsi logaritma tersebut akan bernilai maksimum jika numerusnya dibuat sebesar mungkin. Dengan kata lain, akan dicari nilai maksimum dari bentuk kuadrat $(-x^2+6x+7).$
Misalkan $g(x) = -x^2+6x+7.$
$$\begin{aligned} x_p & = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-1)} = 3 \\ y_p & = -(3)^2 + 6(3) + 7 = 16 \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari bentuk $(-x^2+6x+7)$ adalah $16$ sehingga nilai maksimum dari $f$ adalah $f_\text{maks} = \! ^2 \log 16 = 4.$ Titik maksimum di $(3, 4).$ Bayangan hasil pencerminan terhadap sumbu $X$ di $(3, -4).$ Jadi, nilai minimum grafik hasil pencerminan adalah $\boxed{-4}$
(Jawaban D)

Grafik di atas merupakan grafik umum fungsi logaritma dengan persamaan $y = \! ^a \log x$. Karena grafiknya monoton naik, maka nilai basis $a > 1$ sehingga satu-satunya opsi yang menunjukkan persamaan grafik adalah opsi A, yaitu $y = \! ^3 \log x$. Persamaan ini juga sesuai dengan fakta bahwa grafik melalui titik $(1, 0)$ dan $(3, 1)$.
(Jawaban A)

Perhatikan grafik dari fungsi logaritma umum dengan rumus $f(x) = \! ^2 \log x$ berikut.
Jika kita geser grafik tersebut $2$ satuan ke bawah, maka kita akan peroleh grafik tepat seperti gambar pada soal sehingga persamaan grafik yang sesuai adalah $\boxed{y = \! ^2 \log x-2}$
(Jawaban D)

Plot beberapa titik latis (titik dengan koordinat bulat) dengan memilih nilai $x$ yang merupakan bentuk eksponen dari $4$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 4 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$Asimtot tegak fungsi logaritma tersebut adalah $x = 0$ sehingga grafiknya akan tampak seperti gambar berikut.
Grafik $f(x) = \! ^4 \log x$ (warna merah) digeser ke kanan sebanyak $1$ satuan sehingga asimtot tegaknya berubah menjadi $x = 1$ dan grafiknya tampak seperti kurva warna biru pada gambar di bawah. Dari sini, geser grafik ke atas sejauh $2$ satuan sehingga diperoleh grafik $f(x) = \! ^4 \log (x-1) + 2$ yang ditandai dengan warna merah muda.

Diberikan persamaan taraf intensitas bunyi sebagai berikut.
$$\boxed{T = 10 \log \dfrac{I}{I_0}}$$Catatan: Basis logaritma yang bernilai $10$ tidak perlu ditulis. Jadi,
$$\boxed{10 \log \dfrac{I}{I_0} = 10 \cdot \! ^{10} \log \dfrac{I}{I_0}}$$Jawaban a)
Diketahui $I = 10.000I_0.$
Dengan menggunakan persamaan di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} T & = 10 \log \dfrac{10.000\cancel{I_0}}{\cancel{I_0}} \\ & = 10 \log 10.000 \\ & = 10(4) = 40~\text{dB}. \end{aligned}$$Jadi, taraf intensitas bunyinya sebesar $\boxed{40~\text{dB}}$
Jawaban b)
Taraf intensitas bunyi untuk sumber bunyi desah daun dengan $I = 10^{-1}~\text{Wm}^2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} T & = 10 \log \dfrac{I}{I_0} \\ & = 10 \log \dfrac{10^{-1}}{10^{-12}} \\ & = 10 \log 10^{11} \\ & = 10(11) = 110~\text{dB}. \end{aligned}$$Taraf intensitas bunyi untuk sumber bunyi suara bisikan dengan $I = 10^{-10}~\text{Wm}^2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} T & = 10 \log \dfrac{I}{I_0} \\ & = 10 \log \dfrac{10^{-10}}{10^{-12}} \\ & = 10 \log 10^2 \\ & = 10(2) = 20~\text{dB}. \end{aligned}$$Jawaban c)
Dari persamaan taraf intensitas bunyi di atas, kita dapat menyatakan $I$ dalam $I_0$ dan $T$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} T & = 10 \log \dfrac{I}{I_0} \\ \dfrac{T}{10} & = \log \dfrac{I}{I_0} && (\text{Kedua ruas dibagi}~10) \\ \dfrac{I}{I_0} & = 10^{\frac{T}{10}} && (^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c) \\ I & = I_0 \cdot 10^{\frac{T}{10}} && (\text{Kedua ruas dikali}~I_0) \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh $\boxed{I = I_0 \cdot 10^{\dfrac{T}{10}}}$