Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui
$\displaystyle \int p(x)~\text{d}x= \int \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)~\text{d}x = 2x + \ln x$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{2x + \ln x} = e^{2x} . e^{\ln x} = xe^{2x}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)y = e^{-2x}$, sehingga diperoleh:
$(xe^{2x})\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + (\cancel{x}e^{2x})\left(\dfrac{2x+1}{\cancel{x}}\right)y$ $= (xe^{2x}) e^{-2x}$
dan dapat ditulis menjadi
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(xe^{2x}y) = x$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$, sehingga diperoleh
$ xe^{2x}y = \int x~\text{d}x$
$ xe^{2x}y = \dfrac{1}{2}x^2 + C$
$ \boxed{y = \dfrac{x}{2e^{2x}} + C}$
Persamaan terakhir ini merupakan penyelesaian/solusi umum dari PD tersebut.

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan $x^2+1$ untuk mendapatkan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$
Diketahui
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)~\text{d}x \\ & = 2 \ln (x^2+1) \\ & = \ln (x^2+1)^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{\ln (x^2+1)^2} = (x^2+1)^2$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu  $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$, sehingga diperoleh: $(x^2+1)^2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + (x^2+1)(4x)y = x(x^2+1)$
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}((x+1)^2y)=x^3 + x$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$, sehingga diperoleh
$ (x+1)^2y = \int (x^3+x)~\text{d}x$
$ \boxed{(x+1)^2y = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + C}$
Persamaan terakhir merupakan solusi/penyelesaian umum implisit dari PD tersebut.

Persamaan diferensial yang diberikan itu berbentuk PD linear orde satu, yang dapat ditulis:
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + (-2)y = 2x^3$
Diketahui $\displaystyle \int p(x)~\text{d}x = \int (-2)~\text{d}x = -2x$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$\displaystyle e^{\int p(x)~\text{d}x} = e^{-2x}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal, sehingga didapat
$\begin{aligned} \displaystyle e^{-2x}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} – 2ye^{-2x} & = 2x^3e^{-2x} \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(e^{-2x}y) & = 2x^3e^{-2x} \\ e^{-2x}y & = \displaystyle \int 2x^3e^{-2x}~\text{d}x \end{aligned}$
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial (langkah pengerjaannya memang cukup panjang). Setelah mengintegralkan bentuk itu, diperoleh penyelesaian PD tersebut, yakni
$\boxed{\displaystyle e^{-2x}y = -\dfrac{(4x^3 + 6x^2 + 6x + 3)e^{-2x}}{4} + C}$

Diketahui $y^2~\text{d}x + (3xy-1)~\text{d}y = 0$
Bagi kedua ruas dengan $y^2~\text{d}y$, untuk mendapatkan
$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} + \dfrac{3xy-1}{y^2} = 0$
$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} + \dfrac{3x}{y} = \dfrac{1}{y^2}$ $\bigstar$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa ini merupakan PD linear orde satu. Sekarang, misalkan $P(y) = \dfrac{3}{y}$. Faktor integrasi PD di atas adalah
$e^{\int P(y)~\text{d}y} = e^{\int \frac{3}{y}~\text{d}y} = e^{\ln y^3} = y^3$
Kalikan faktor integrasi $y^3$ ke $\bigstar$, diperoleh
$y^3\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y} + 3xy^2 = y$
Ekspresi pada ruas kiri ternyata adalah turunan dari $y^3x$ terhadap $x$, ditulis
$\dfrac{d}{\text{d}y}(y^3x) = y$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$y^3x = \int y~\text{d}y$
$y^3x = \dfrac{1}{2}y^2 + C$
Jadi, penyelesaian umum dari PD tersebut adalah $\boxed{y^3x = \dfrac{1}{2}y^2 + C}$

Perhatikan bahwa bentuk ini dapat diubah menjadi PD linear orde satu, tetapi ekspresi $y^3$ di ruas kanan harus “disingkirkan” terlebih dahulu.
Kalikan kedua ruas dengan $y^3$, diperoleh
$y^3 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y^4}{2x} = x$
Sekarang, misalkan $v = y^4$
Turunkan kedua ruas terhadap $x$ (bukan terhadap $y$),
$\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = 4y^3~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Substitusikan ini ke persamaan semula, diperoleh
$\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = + \dfrac{v}{2x} = x$
Kalikan $4$ di kedua ruas,
$\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + \dfrac{2}{x}v = 4x$ $ \bigstar$
Bentuk di atas sudah baku menjadi PD linear orde satu.
Sekarang, kita akan mencari faktor integrasi PD tersebut. misalkan $P(x) = \dfrac{2}{x}$. Faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)~\text{d}x} = e^{\int \frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{2 \ln x} = x^2$
Kalikan $x^2$ di kedua ruas pada $\bigstar$, didapat
$x^2 \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + 2xv = 4x^3$
Manipulasi ekspresi ruas kiri sebagai turunan dari $x^2v$ terhadap $x$, ditulis
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2v) = 4x^3$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$,
$ x^2v = x^4 + C$
Substitusikan kembali $v = y^4$,
$x^2y^4 = x^4 + C$
Untuk $x = 0$ dan $y=2$, diperoleh
$0(16) = 0 + C \Leftrightarrow C = 0$
Berarti diperoleh
$x^2y^4 = x^4 \Leftrightarrow y^4 = x^2$
Jadi, solusi khusus PD tersebut adalah $\boxed{y^4 = x^2}$

$x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3 \Leftrightarrow \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y}{x} = x^2$ $\bigstar$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa PD ini merupakan PD linear orde satu. Kita akan menentukan faktor integrasi dari PD tersebut. Diketahui bahwa $\displaystyle P(x) = \dfrac{1}{x}$. Dalam hal ini, $P(x)$ adalah koefisien $y$ pada suku kedua di ruas kiri.
Ini berarti, faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)~\text{d}x} = e^{\int \frac{1}{x}~\text{d}x} = e^{\ln x} = x$
Kalikan faktor integrasi $x$ pada $\bigstar$, sehingga diperoleh
$x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3$
Jika diperhatikan, ternyata ekspresi pada ruas kiri merupakan turunan dari $xy$ terhadap $x$, sehingga ditulis
$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(xy) = x^3$
Tahap terakhir, integrasikan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh
$xy = \dfrac{1}{4}x^4 + C$
Jadi, penyelesaian dari PD $x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = x^3$ adalah $\boxed{xy = \dfrac{1}{4}x^4 + C}$.

Dari persamaan yang diberikan, bagi kedua ruasnya dengan $y~\text{d}y$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \dfrac{xy^2 + x -y} {y} & = 0 \\ \dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + xy + \dfrac{x} {y} -1 & = 0 \\ \dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \left(y + \dfrac{1}{y} \right)x & = 1 \end{aligned}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(y) = y + \dfrac{1}{y}$, berarti
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(y)~\text{d}y & = \int \left(y + \dfrac{1}{y} \right)~\text{d}y \\ & = \dfrac{1}{2}y^2 + \ln (y) \end{aligned}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$\begin{aligned} e^{\int p(x)~\text{d}x} & = e^{\frac{1}{2}y^2 + \ln (y)} \\ & = ye^{\frac{1}{2}y^2} \end{aligned}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan $\dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \left(y + \dfrac{1}{y} \right)x = 1$ sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \left(ye^{\frac{1}{2}y^2}\right)\dfrac{\text{d}x} {\text{d}y} + \left(ye^{\frac{1}{2}y^2}\right)\left(y + \dfrac{1}{y} \right)x & = ye^{\frac{1}{2}y^2} \\ \dfrac{\text{d}} {\text{d}y}\left(xye^{\frac{1}{2}y^2}\right) & = ye^{\frac{1}{2}y^2} \\ \text{Integralkan kedua}&~\text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{\text{d}} {\text{d}y}\left(xye^{\frac{1}{2}y^2}\right)~\text{d} y & = \int ye^{\frac{1}{2}y^2}~\text{d}y \\ xye^{\frac{1}{2}y^2} & = e^{\frac{1}{2}y^2} + C \end{aligned}$$Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{xye^{\frac{1}{2}y^2} = e^{\frac{1}{2}y^2} + C}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \cos \theta~\text{d}r + (r \sin \theta -\cos^4 \theta)~\text{d}\theta & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~(\cos \theta)~\text{d}\theta & \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + \dfrac{r \sin \theta – \cos^4 \theta}{\cos \theta} & = 0 \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + r \cdot\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} – \cos^3 \theta & = 0 \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + (\tan \theta)r & = \cos^3 \theta \end{aligned}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(\theta) = \tan \theta$, sehingga
$\int p(\theta)~\text{d}\theta = \int \tan \theta~\text{d}\theta = \ln (\sec \theta)$
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(\theta) = \ln (\sec \theta)$.
Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}r}{\text{d}\theta} + (\tan \theta)r = \cos^3 \theta$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle r &= e^{-v(\theta)} \cdot \int e^{v(\theta)} \cdot \cos^3 \theta~\text{d}\theta \\ & = e^{-\ln (sec \theta)} \cdot \int e^{\ln (sec \theta)} \cdot \cos^3 \theta~\text{d}\theta \\ & = (\sec \theta)^{-1} \int \sec \theta \cdot \cos^3 \theta~\text{d}\theta \\ & = \cos \theta \int \cos^2 \theta~\text{d}\theta \\ & = \cos \theta\left(\dfrac{1}{2}\theta -\dfrac{1}{4} \sin 2\theta + C\right) \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{r = \cos \theta\left(\dfrac{1}{2}\theta -\dfrac{1}{4} \sin 2\theta + C\right)}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (y \sin 2x -\cos x)~\text{d}x + (1 + \sin^2 x)~\text{d}y & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~(1 + \sin^2 x)~\text{d}x & \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y \sin 2x -\cos x}{1 + \sin^2 x} & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right)y & = \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \end{aligned}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(x) = \dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}$, sehingga
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}~\text{d}x \\ & = \ln (1 + \sin^2 x) \end{aligned}$
Catatan: Integral di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi, di mana $u = 1 + \sin^2 x$.
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(x) = \ln (1 + \sin^2 x)$.
Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left(\dfrac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right)y = \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle y &= e^{-v(x)} \cdot \int e^{v(x)} \cdot \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x}~\text{d}x \\ & = e^{-\ln (1 + \sin^2 x)} \cdot \int e^{\ln (1 + \sin^2 x)} \cdot \dfrac{\cos x}{1 + \sin^2 x}~\text{d}x \\ & = (1 + \sin^2 x)^{-1} \int \cancel{(1 + \sin^2 x)}\left(\dfrac{\cos x}{\cancel{1 + \sin^2 x}}\right)~\text{d}x \\ & = (1 + \sin^2 x)^{-1} \int \cos x~\text{d}x \\ & = \dfrac{\sin x + C}{1 + \sin^2 x} \end{aligned}$$Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{y = \dfrac{\sin x + C}{1 + \sin^2 x}}$

Dari persamaan diferensial yang diberikan, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} x \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y & = -2x^6y^4 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan}~x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{y}{x} & = -2x^5y^4 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan}~y^{-4} \\ y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{1}{xy^3} & = -2x^5 \end{aligned}$
Misalkan $v = y^{-3}$ sehingga $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = -3y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$, yang juga ekuivalen dengan $-\dfrac{1}{3} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} = y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$
Dengan demikian, persamaan $y^{-4} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{1}{xy^3} = -2x^5$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} -\dfrac{1}{3}~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + \dfrac{v}{x} & = -2x^5 \\ \text{Kalikan -3}~& \text{pada kedua ruas} \\ \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} -\dfrac{3v}{x} & = 6x^5 \end{aligned}$
Persamaan terakhir sudah berbentuk PD linear orde satu.
Diketahui $p(x) = -\dfrac{3}{x}$, sehingga
$\displaystyle \int p(x)~\text{d}x = -3 \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x = -3 \ln x$
Untuk itu, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x} = e^{-3 \ln x} = x^{-3}$
Kalikan faktor integrasi $x^{-3}$ ke persamaan $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} – \dfrac{3v}{x} = 6x^5$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{-3} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} -\dfrac{3v}{x^4} & = 6x^2 \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\dfrac{1}{x^3}v\right) & = 6x^2 \\ \text{Integralkan kedua}~& \text{ruas} \\ \int \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\dfrac{1}{x^3}v\right)~\text{d}x & = \int 6x^2~\text{d}x \\ \dfrac{1}{x^3}v & = 2x^3 + C \\ v & = 2x^6 + Cx^3 \\ \text{Substitusi kembali}~& v = y^{-3} \\ y^{-3} & = 2x^6 + Cx^3 \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial itu adalah $\boxed{y^{-3}= 2x^6 + Cx^3}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}x & = \dfrac{t+1}{xt} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~x \\ x~\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}x^2 & = \dfrac{t+1}{t} \end{aligned}$
Bentuk di atas tidak akan bisa diubah menjadi persamaan diferensial linear orde satu apabila tidak menggunakan permisalan.
Misalkan $v = x^2$, sehingga $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} = 2x~\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}$ yang ekuivalen dengan $x~\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = \dfrac{1}{2}~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$.
Dengan demikian, bentuk terakhir tadi dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{2t}v & = \dfrac{t+1}{t} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~2& \\ \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{t}v & = \dfrac{2(t+1)}{t} \end{aligned}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(t) = \dfrac{t+1}{t}$, sehingga
$\displaystyle \int p(t)~\text{d}t = \int \dfrac{t+1}{t}~\text{d}t = t + \ln t$
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(t) = t + \ln t$.
Dengan demikian, persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} + \dfrac{t+1}{t}v = \dfrac{2(t+1)}{t}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle v &= e^{-v(t)} \cdot \int e^{v(t)} \cdot \dfrac{2(t+1)}{t}~\text{d}t \\ & = e^{-t -\ln t} \int e^{t + \ln t} \cdot \dfrac{2(t+1)}{t}~\text{d}t \\ & = e^{-t} \cdot t^{-1} \int e^t \cdot \cancel{t} \cdot \dfrac{2(t+1)}{\cancel{t}}~\text{d}t \\ & = 2e^{-t} \cdot t^{-1} \int (te^t + e^t)~\text{d}t \\ & = 2e^{-t} \cdot t^{-1} (te^t -\cancel{e^t} + \cancel{e^t} + C) \\ & = 2e^{-t}t^{-1}(te^t + C) \\ y^2 & =2e^{-t}t^{-1}(te^t + C)\end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{y^2 = 2e^{-t}t^{-1}(te^t + C)}$

Apabila persamaan itu dibagi $a$ pada kedua ruasnya, diperoleh
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{b}{a}y = \dfrac{ke^{-\lambda x}}{a}$
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(x) = \dfrac{b}{a}$, sehingga
$\displaystyle \int p(x)~\text{d}x = \int \dfrac{b}{a}~\text{d}x = \dfrac{b}{a}x$
Jadi, faktor integrasinya adalah $e^{\int p(x)~\text{d}x} = e^{\frac{b}{a}x}$
Dengan demikian, dapat langsung kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle y & = e^{-\frac{b}{a}x} \int e^{\frac{b}{a}x} \cdot \dfrac{ke^{-\lambda x}}{a}~\text{d}x \\ & = \dfrac{k}{a}e^{-\frac{b}{a}x} \int e^{\left(-\frac{b}{a} -\lambda\right)x}~\text{d}x \\ & = \dfrac{k}{a}e^{-\frac{b}{a}x} \left(\left(\dfrac{b}{a} -\lambda\right)e^{\left(-\frac{b}{a} – \lambda\right)x} + C\right) \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
$\boxed{\dfrac{k}{a}e^{-\frac{b}{a}x} \left(\left(\dfrac{b}{a}- \lambda\right)e^{\left(-\frac{b}{a} -\lambda\right)x} + C\right)}$
Catatan: Notasi $\lambda$ dibaca: lambda.

Jelas bahwa persamaan diferensial di atas merupakan PD linear orde satu. Faktor integrasinya adalah
$\mu(t) = \displaystyle \exp \int \left(-\dfrac{dt}{2}\right) = \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan mula-mula, sehingga diperoleh
$\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y’ – \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)\dfrac{y}{2} = \exp(-\dfrac{3t}{2})$
Ruas kiri pada persamaan di atas merupakan turunan pertama dari $\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y$ terhadap $x$, sehingga dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \left(\exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y\right)’ = \exp \left(-\dfrac{3t}{2}\right)$
Integrasikan kedua ruas terhadap $t$, sehingga didapat
$\displaystyle \exp \left(-\dfrac{t}{2}\right)y = -\dfrac{2}{3}\exp \left(-\dfrac{3t}{2}\right) + C$
Oleh karena itu, didapat
$y = -\dfrac{2}{3}\exp(-t) + C \exp \left(\dfrac{t}{2}\right)$
Untuk menemukan kondisi awal, substitusikan $t = 0$ dan $y = -1$
$\begin{aligned} -1 & = -\dfrac{2}{3}\exp(0) + C \exp \left(\dfrac{0}{2}\right) \\ & \Leftrightarrow C = -1 + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, solusi dari masalah nilai awal yang diberikan adalah
$\boxed{y = -\dfrac{2}{3}\exp(-t) -\dfrac{1}{3} \exp \left(\dfrac{t}{2}\right)}$
Catatan: Diberikan kesepakatan penulisan bahwa $\boxed{e^x = \exp(x)}$.

Karena $f$ dan $g$ merupakan solusi dari persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y = 0$, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f & = 0 && (\cdots 1) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y & = 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, akan dibuktikan bahwa $c_1f + c_2g$ juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{\text{d}(c_1f + c_2g)}{\text{d}x} + p(x)(c_1f+c_2g) \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1f) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_2g) + p(x)c_1f + p(x)c_2g \\ & = c_1\left(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f\right) + c_2\left(\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x} + p(x)g\right) \\ & = c_1(0) + c_2(0) = 0 \end{aligned}$$Jadi, pernyataan tersebut terbukti benar. $\blacksquare$