Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah $a_{0} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + a_{1} \frac{d y}{d x} + a_{2} y = 0$ Misalkan $y = e^{m x}$ , maka
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = m e^{m x} \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = m^{2} e^{m x}$ sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi $a_{0} (m^{2} e^{m x}) + a_{1} (m e^{m x}) + a_{2} (e^{m x}) = 0$ Faktorkanlah menjadi $e^{m x} (a_{0} m^{2} + a_{1} m + a_{2}) = 0$ sehingga dari sini, haruslah $4 a_{0} m^{2} + a_{1} m + a_{2} = 0,$ sebab $e^{m x}$ tidak mungkin bernilai $0$ untuk setiap $x$ . Persamaan $a_{0} m^{2} + a_{1} m + a_{2} = 0$ selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk $m$ dinamakan akar karakteristik.

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Aturan:
Misalkan $m_{1}$ dan $m_{2}$ adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik serta $D$ adalah diskriminan persamaan kuadrat itu.

Jika $m_{1} \neq m_{2}$ ( $D > 0$ ), maka solusi umum PD tersebut adalah $y = C_{1} e^{m_{1} x} + C_{2} e^{m_{2} x} .$
Jika $m_{1} = m_{2} = m$ ( $D = 0$ ), maka solusi umum PD tersebut adalah $y = C_{1} e^{m x} + C_{2} x e^{m x} .$
Jika akarnya imajiner ( $D < 0$ ) berbentuk $m_{1, 2} = a \pm b i$ , maka solusi umum PD tersebut adalah $y = e^{a x} (C_{1} \sin b x + C_{2} \cos b x)$ (Rumus Euler).

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)

Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan.

Today Quote

Everything you do now is for your future. Think about that.

Soal Nomor 1
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 5 \frac{d y}{d x} + 6 y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} - 5 m + 6 = 0$ . Dengan memfaktorkannya menjadi $(m - 2) (m - 3) = 0$ , kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 2 \lor m = 3.$ Karena $m_{1} \neq m_{2}$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_{1} e^{m_{1} x} + C_{2} e^{m_{2} x}$
$y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}$
Catatan: Nilai $m_{1}$ maupun $m_{2}$ dapat dibolak-balik dan tidak menjadi masalah ketika kita memasukkannya ke bentuk umum PD sebab operator penjumlahan bersifat komutatif.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 12 \frac{d y}{d x} + 5 y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4 m^{2} - 12 m + 5 = 0$ . Dengan memfaktorkannya menjadi $(2 m - 1) (2 m - 5) = 0$ , kita dapatkan akar karakteristiknya $m = \frac{1}{2} \lor m = \frac{5}{2}$ . Karena $m_{1} \neq m_{2}$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_{1} e^{m_{1} x} + C_{2} e^{m_{2} x}$
$y = C_{1} e^{\frac{1}{2} x} + C_{2} e^{\frac{5}{2} x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = C_{1} e^{\frac{1}{2} x} + C_{2} e^{\frac{5}{2} x}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Soal Nomor 3
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x} + 16 y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} - 8 m + 16 = 0$ . Dengan memfaktorkannya menjadi $(m - 4) (m - 4) = (m - 4)^{2} = 0$ , kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 4$ . Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_{1} e^{m x} + C_{2} x e^{m x}$
$y = C_{1} e^{4 x} + C_{2} x e^{4 x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = C_{1} e^{4 x} + C_{2} x e^{4 x}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 9 y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} + 9 = 0$ . Perhatikan bahwa
$m^{2} + 9 = 0 \Leftrightarrow m^{2} = - 9$
$m = \pm \sqrt{- 9} = \pm 3 i .$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 0$ dan $b = 3$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{a x} (C_{1} \sin b x + C_{2} \cos b x)$
$y = e^{0 x} (C_{1} \sin 3 x + C_{2} \cos 3 x)$
$y = C_{1} \sin 3 x + C_{2} \cos 3 x$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = C_{1} \sin 3 x + C_{2} \cos 3 x$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan

Soal Nomor 5
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4 m^{2} + 4 m + 1 = 0$ . Dengan memfaktorkannya menjadi $(2 m + 1) (2 m + 1) = (2 m + 1)^{2} = 0,$ kita dapatkan akar karakteristiknya $m = - \frac{1}{2}$ . Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_{1} e^{m x} + C_{2} x e^{m x}$
$y = C_{1} e^{- \frac{1}{2} x} + C_{2} x e^{- \frac{1}{2} x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = C_{1} e^{- \frac{1}{2} x} + C_{2} x e^{- \frac{1}{2} x}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 13 y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} - 4 m + 13 = 0$ . Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 (1) (13)}}{2 (1)}$
$m_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{- 36}}{2} = 2 \pm 3 i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 3$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{a x} (C_{1} \sin b x + C_{2} \cos b x)$
$y = e^{2 x} (C_{1} \sin 3 x + C_{2} \cos 3 x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = e^{2 x} (C_{1} \sin 3 x + C_{2} \cos 3 x)$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 5 \frac{d y}{d x} + 8 y = 0$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} - 5 m + 8 = 0$ . Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 (1) (8)}}{2 (1)}$
$m_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2} = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{7}}{2} i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = \frac{5}{2}$ dan $b = \frac{\sqrt{7}}{2}$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{a x} (C_{1} \sin b x + C_{2} \cos b x)$
$y = e^{\frac{5}{2} x} (C_{1} \sin \frac{\sqrt{7}}{2} x + C_{2} \cos \frac{\sqrt{7}}{2} x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = e^{\frac{5}{2} x} (C_{1} \sin \frac{\sqrt{7}}{2} x + C_{2} \cos \frac{\sqrt{7}}{2} x)$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 29 y = 0$ dengan $y (0) = 0$ dan $y^{'} (0) = 5$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} - 4 m + 29 = 0$ . Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC).
$m_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 (1) (29)}}{2 (1)}$
$m_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{- 100}}{2} = 2 \pm 5 i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 5$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{a x} (C_{1} \sin b x + C_{2} \cos b x)$
$y = e^{2 x} (C_{1} \sin 5 x + C_{2} \cos 5 x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = e^{2 x} (C_{1} \sin 5 x + C_{2} \cos 5 x)$
Diketahui $y (0) = 0$ sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} 0 & = e^{2 (0)} (C_{1} \sin 5 (0) + C_{2} \cos 5 (0)) \\ 0 & = 1 (C_{1} (0) + C_{2} (1)) \\ C_{2} & = 0 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{2 x} (C_{1} \sin 5 x + C_{2} \cos 5 x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = 2 e^{2 x} (C_{1} \sin 5 x + C_{2} \cos 5 x) + \\ e^{2 x} (5 C_{1} \cos 5 x - 5 C_{2} \sin 5 x) \end{aligned}$
Substitusikan $y^{'} (0) = 5$ dan $C_{2} = 0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 5 & = 2 e^{0} (C_{1} \sin 0 + C_{2} \cos 0) + \\ e^{0} (5 C_{1} \cos 0 - 5 C_{2} \sin 0) \end{aligned}$
$5 = 1 (0) + 1 (5 C_{1}) \Leftrightarrow C_{1} = 1.$
Jadi, solusi khususnya adalah $y = e^{2 x} (\sin 5 x)$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 6 \frac{d y}{d x} + 13 y = 0$ dengan $y (0) = 3$ dan $y^{'} (0) = - 1$ .

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^{2} + 6 m + 13 = 0$ . Gunakan rumus kuadrat.
$m_{1, 2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{(6)^{2} - 4 (1) (13)}}{2 (1)}$
$m_{1, 2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 16}}{2} = - 3 \pm 2 i .$
Karena akarnya imajiner dengan $a = - 3$ dan $b = 2$ , maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{a x} (C_{1} \sin b x + C_{2} \cos b x)$
$y = e^{- 3 x} (C_{1} \sin 2 x + C_{2} \cos 2 x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $y = e^{- 3 x} (C_{1} \sin 2 x + C_{2} \cos 2 x)$
Diketahui $y (0) = 3$ sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} 3 & = e^{- 3 (0)} (C_{1} \sin 2 (0) + C_{2} \cos 2 (0)) \\ 3 & = 1 (C_{1} (0) + C_{2} (1)) \\ C_{2} & = 3 \end{aligned}$ Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{- 3 x} (C_{1} \sin 2 x + C_{2} \cos 2 x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = - 3 e^{- 3 x} (C_{1} \sin 2 x + C_{2} \cos 2 x) + \\ e^{- 3 x} (2 C_{1} \cos 2 x - 2 C_{2} \sin 2 x) \end{aligned}$ Substitusikan $y^{'} (0) = - 1$ dan $C_{2} = 3$ ,
$\begin{aligned} - 1 & = - 3 e^{0} (C_{1} \sin 0 + 3 \times \cos 0) + e^{0} (2 C_{1} \cos 0 - 2 (3) \sin 0) \\ - 1 & = - 3 (1) (0 + 3) + 1 (2 C_{1} - 0) \\ - 1 & = - 9 + 2 C_{1} \\ 8 & = 2 C_{1} \Leftrightarrow C_{1} = 4 \end{aligned}$ Jadi, solusi khususnya adalah $y = e^{- 3 x} (4 \sin 2 x + 3 \cos 2 x)$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)

2 Replies to “Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan”

Aflaha Ayub says:

December 31, 2019 at 9:13 pm

Permisi, saya ingin bertanya tentang pembahasan pada soal 9 nomor. disitu tertulis setelah di subtitusikan y'(0) = -1, persamaan berubah menjadi: -1 = 2e^0( C1 sin 0 + 3 cos 0)… Itu 2 di e^0 nya dari mana ya? Karena sebelumnya persamaanya -3 e^-3x sebelum di subtitusikan 0 dan -1. Bukankah seharusnya menjadi -3e^0? Terimakasih

1. Sukardi says:
  
  January 2, 2020 at 9:50 am
  
  Baik, terima kasih atas koreksinya. Sudah diperbaiki, ya

Today Quote

2 Replies to “Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan”

Leave a Reply Cancel reply