Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Perhatikan bahwa $100 = 10^2,\! 1.000 = 10^3,\! 10.000=10^4$, dan $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$ sehingga bentuk pangkat di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} & 10^9 \times (10^2)^2 \times (10^3)^{-3} \times (10^4)^{-2} \times 1 \\ & = 10^9 \times 10^4 \times 10^{-9} \times 10^{-8} \\ & = 10^{9 + 4 + (-9) + (-8)} = 10^{-4} \end{aligned}$
Jadi, bentuk tersebut dapat ditulis menjadi basis $10$, yaitu $\boxed{10^{-4}}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat beserta aturan notasi ilmiah, diperoleh
$$\begin{aligned}  \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} & = \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 10^6}{(10^2)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6 + 6}} {10^{-6}} \\ & = 5 \times 10^{-6 + 6- (-6)} = \boxed{5 \times 10^6}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} = 5 \times 10^6}.$
(Jawaban E) 

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat dan nyatakan dalam pangkat positif.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} & = \dfrac{27a^{-1}b^2c^2}{9a^2b^{-1}c^3} \\ & = 3a^{-1-2}b^{2-(-1)}c^{2-3} \\ & = 3a^{-3}b^3c^{-1} \\ & = \boxed{\dfrac{3b^3}{a^3c}} \end{aligned}$
(Jawaban A)

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat dan nyatakan dalam pangkat positif.
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} & = \left(\dfrac{y^{2-(-3)}}{2x^{1-(-1)}z^{2-(-2)}}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{y^5}{2x^2z^4}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{2x^2z^4}{y ^5}\right)^2 \\ & = \boxed{\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}}\end{aligned}$$(Jawaban B)

Ingat bahwa $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ untuk setiap $x \neq 0$. Untuk itu,
$\begin{aligned} \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \dfrac{x^{-1}-y^{-1}} {x^{-1}+y^{-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{y}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \\ & = \dfrac{\dfrac{y-x} {\cancel{xy}}} {\dfrac{x+y} {\cancel{xy}}} = \dfrac{y-x}{x+y} \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk pangkat positif dari $\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ adalah $\boxed{\dfrac{y-x} {x+y}}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa persamaan $3^{2+x} = 45$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \cancel{3^2} \cdot 3^x & = \cancel{3^2} \cdot 5 \\ 3^x & = 5 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\  (3^x)^2 & = 5^2 \\ 3^{2x} & = 25. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $3^{2x}$ adalah $\boxed{25}.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan sifat perpangkatan, diperoleh
$\begin{aligned} x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \\ x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}}.  \end{aligned}$
Karena $x > 0$ dan $x \neq 1,\!$ maka persamaan terakhir berlaku jika pangkatnya sama.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} & = \dfrac{1}{pq} \\ \dfrac{p+q} {\cancel{pq}} & = \dfrac{1}{\cancel{pq}} \\ p+q & = 1 \end{aligned}$ 
Jadi, hubungan antara $p$ dan $q$ dinyatakan oleh persamaan $\boxed{p + q = 1}.$
(Jawaban B)

Misalkan $xy = x^y$ disebut sebagai persamaan pertama, sedangkan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$ disebut sebagai persamaan kedua. Pandang persamaan kedua.
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = x^{5y} \\ y & = \dfrac{x} {x^{5y}} = x^{1-5y} \end{aligned}$
Substitusikan ini ke persamaan pertama:
$$\begin{aligned} x(x^{1-5y}) & = x^y \\ x^{2-5y} & = x^y \\ 2-5y & = y \\ y & =\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$Substitusikan $y = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan kedua sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac13x & = x^{\frac13} \\ \left(\dfrac13x\right)^3 & = \left(x^{\frac13}\right)^3 \\ \dfrac{1}{27}x^3 & = x \\ x^2 & = 27. \end{aligned}$$Dengan demikian, $\boxed{x^2 + 3y = 27+ 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = 28}.$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan sifat pangkat bahwa $\boxed{a^{m- n} = \dfrac{a^m}{a^n}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}} & = \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q}{a^q} + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p}{a^p} + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q + a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p + a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{a^q}{a^q + a^p} + \dfrac{a^p}{a^p + a^q} \\ & = \dfrac{a^p + a^q}{a^p + a^q} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}=1}.$
(Jawaban A) 

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku
$\begin{aligned} 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ 16 + (2^{2x})^2 \cdot 4 & = 16 \cdot 2^{2x} \end{aligned}$
Misalkan $2^{2x} =a$ sehingga diperoleh 
$$\begin{aligned} 16 + a^2 \cdot 4 & = 16a \\ 4a^2-16a + 16 & = 0 \\ a^2-4a + 4 & = 0 && (\text{kedua ruas dibagi 4}) \\ (a-2)^2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$. Ini berarti, $2^{2x} = 2$, dan akibatnya nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{p} {q} & = \dfrac{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}- x^{-\frac{1}{3}})} {(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \dfrac{x\cancel{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})}} {\cancel{ (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})} x^{\frac{2}{3}}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})}} \\ & = \dfrac{x} {x^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{p} {q} $ adalah $\boxed{\sqrt[3]{x}}.$
(Jawaban C)

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan $a+b=1$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} (a+b)^2 & = 1^2 \\  a^2 + b^2 + 2ab & = 1 \\ 2 + 2ab & = 1 \\ 2ab & =-1 \\ ab & =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan kesimetrian bentuk pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)- 2(ab)^2 \\ & = (2)(2)- 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = 4- 2 \times \dfrac{1}{4} \\ & = 4-\dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{a^4 + b^4 = 3\dfrac{1}{2}}.$
(Jawaban C)

Akar sekawan dari $\sqrt{7}-2\sqrt{3}$ adalah $\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$ sehingga dengan menggunakan perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} & = \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} +\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3}} {(\sqrt{7})^2- (2\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{3\sqrt{21} + 18 + 7 + 2\sqrt{21}} {7-12} \\ & = \dfrac{5\sqrt{21} + 25}{-5} \\ & =-\dfrac{\cancel{5}(\sqrt{21}+5)}{\cancel{5}} \\ & =-(\sqrt{21} + 5) \\ & = -5- \sqrt{21} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{-5- \sqrt{21}}.$
(Jawaban D) 

Akar sekawan dari $2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ adalah $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ sehingga dengan menggunakan perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}- 3\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} {2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}+\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} {(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{5})^2} \\ & = \dfrac{6 + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 15}{12-45} \\ & = \dfrac{21+5\sqrt{15}} {-33} \\ & = \dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}}$ adalah $\boxed{\dfrac{-21-5\sqrt{15}}{33}}.$
(Jawaban D)

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat akar.
$$\begin{aligned} &\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288}- \sqrt{200} \\ & = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} \times \sqrt{144 \times 2}-\sqrt{100 \times 2} \\ & = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 12\sqrt{2}- 10\sqrt{2} \\ & = 6\sqrt{2} + (5 \times 12) \times 2-10\sqrt{2} \\ & =-4\sqrt{2} + 120 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{-4\sqrt{2} + 120}.$
(Jawaban E)

Sederhanakan bentuk akar yang ditandai dengan warna merah, kemudian operasikan dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. 
$$\begin{aligned} & 2\sqrt{2} + \color{red}{\sqrt{8}} + \color{red}{\sqrt{32}}+ 2\sqrt{3} + \color{red}{\sqrt{12}} \\ & = 2\sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (2+2+4)\sqrt{2} + (2+2)\sqrt{3} \\ & = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{8\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}$
(Jawaban D)

Gunakan sifat berikut.
$\boxed{ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{6 + \sqrt{20}} & = \sqrt{6 + \sqrt{4 \times 5}} \\ & = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{(5 + 1) + 2\sqrt{5 \times 1}} \\ & = \sqrt{5} + \sqrt{1} \\ & = 1 + \sqrt{5} \end{aligned}$
Jadi,  bentuk sederhana dari  $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $\boxed{1 + \sqrt{5}}$ sehingga $a = 1$ dan $b = 5$, berarti $\boxed{a+b=1+5=6}.$
(Jawaban C)

Gunakan sifat akar berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn] {a} \\ & \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}- \sqrt{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} & = \sqrt{\sqrt{49-20\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49-2 \cdot 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49- 2\sqrt{100 \cdot 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25 \cdot 24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5-2\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}} \\ & = \sqrt{3}-\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\boxed{\sqrt{3}- \sqrt{2}}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\ & = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, persamaannya dapat ditulis ulang menjadi
$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = 2 + \sqrt{3}$
Sekarang, perhatikan bahwa $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$ sehingga haruslah
$\begin{aligned} \sqrt[4]{a} & = 2 \\ (\sqrt[4]{a})^4 & = 2^4 \\ a & = 16 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $\boxed{a = 16}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $3,\! 9,\! 27$ memiliki basis perpangkatan yang sama dan ingat bahwa $\boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}$ sehingga
$\begin{aligned} \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}} & = \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{3^3}}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{9(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^2(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{2}}}} \\ & = \sqrt{3(3^{\frac{7}{4}})} \\ & = \sqrt{3^{\frac{11}{4}}}= 3^{\frac{11}{8}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$ adalah $3^{\frac{11}{8}}$ sehingga diperoleh nilai $x = 11$ dan $y = 8$. Dengan demikian, $\boxed{x + y = 11 + 8 = 19}.$
(Jawaban C)

Ingat bahwa $\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} & = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2 + 2\sqrt{\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}- \sqrt{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{3} + \sqrt{3}- \sqrt{1}} {\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{3-1}{1} = 2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} = 2}.$
(Jawaban B)

Sederhanakan dengan menerapkan sifat akar.
$$\begin{aligned}\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}} & = \dfrac{\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}}{(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\color{red}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}(\sqrt2+1)\color{red}{(\sqrt2+1)^{\sqrt3}}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(2-1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}} \\ & = \dfrac{2-2\sqrt2 + 1}{2-1} \\ & = 3-2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\boxed{3- 2\sqrt2}.$
(Jawaban C)

Karena $\dfrac25 < x < \dfrac45$, maka kita peroleh $2 < 5x < 4,\!$ mengimplikasikan
$\begin{aligned} 5x > 2 & \Leftrightarrow 5x-2 > 0 && (\cdots 1) \\ 5x < 4 & \Leftrightarrow 5x-4 < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16} \\ & = \sqrt{(5x-2)^2} + \sqrt{(5x-4)^2} \\ & = (5x-2)+(-(5x-4)) \\ & = 5x-2-5x+4 = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16} = 2}$$(Jawaban B)

Karena $\log a = 2$ dan $\log b = 4$, maka diperoleh $a = 10^2$ dan $b = 10^4$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}} & = \dfrac{\sqrt{10^2} \cdot (10^4)^3}{(10^2)^3 \cdot \sqrt{10^4}} \\ & = \dfrac{10 \cdot 10^{12}}{10^6 \cdot 10^2} \\ & = \dfrac{10^{13}}{10^8} = 10^5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}} = 10^5}.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, diperoleh
$$\begin{aligned} \log 3,\!16 & = 0,\!5 \\ 10^{0,5} & = 3,\!16 && (^a \log b = c \iff a^c = b) \\ (10^{0,5})^4 & = (3,\!16)^4 \\ 10^2 = 100 & = (3,\!16)^4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(3,\!16)^4 = 100}.$
(Jawaban C)

Ubah $a$ menjadi bentuk pecahan biasa sebagai berikut.
$\begin{aligned} a & = 0,\!909090\cdots \\ 100a & = 90,\!909090\cdots \\ & \rule{3 cm} {0.8pt}~- \\ 99a & = 90 \\ a & = \dfrac{90}{99} = \dfrac{10}{11} \end{aligned}$
Selanjutnya, $b = 1,\!331 = \dfrac{1.331}{1.000}.$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} ^a \log b & = ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{1.331}{1.000} \\ & = ^{\frac{10}{11}} \log \left(\dfrac{11}{10}\right)^3 \\ & = 3 \times ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{11}{10} \bigstar\\ & =-3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^a \log b =-3}.$
NB: $\bigstar$ Gunakan sifat bahwa $\boxed{^{\frac{a}{b}} \log \dfrac{b} {a} =- ^{\frac{a} {b}} \log \dfrac{a}{b} =-1}.$
(Jawaban A)

Nilai karakteristik logaritma ditentukan oleh numerusnya.
Jika diberikan $^a \log x = n$, maka: karakteristiknya 0 jika $1 < x < 10$, karakteristiknya 1 jika $10 < x < 100$,  karakteristiknya 2 jika $100 < x < 1.000$ dan seterusnya.
Karena numerus logaritmanya yaitu $1234,\!56789$, berada di antara $1.000$ dan $10.000$, maka ini berarti karakteristik logaritmanya adalah $\boxed{3}.$
(Jawaban C)

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. $\boxed{a^2-b^2 = (a+b) (a-b)}.$
Dalam hal ini, $a = ^3 \log 18$ dan $b = ^3 \log 2$ sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 18-^3 \log 2)(^3 \log 18 + ^3 \log 2)}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log \frac{18}{2})(^3 \log (18 \times 2))} {^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 9)(\cancel{^3 \log 36})} {\cancel{^3 \log 36}} \\ & = ^3 \log 9 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36} = 2}.$
(Jawaban C) 

Perhatikan bahwa bentuk pada pembilang dapat difaktorkan dengan mengikuti konsep: $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} &\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 45 + ^3 \log 5)(^3 \log 45-^3 \log 5)} {^3 \log 15^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 225)(^3 \log 9)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(^3 \log 15^2)(2)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(2)(2)\cancel{(^3 \log 15)}} {\frac{1}{3} \cdot \cancel{^3 \log 15}} = \dfrac{4}{\frac{1}{3}} = 12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\boxed{12}.$
(Jawaban C)

Ingat bahwa $^a \log^b c = (^a \log c)^b$. 
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2} \\ & = \dfrac{^5 \log 3^{\frac{1}{2}} \cdot ^{3^2} \log 5^3 + ^{2^4} \log 2^5}{(^2 \log 8 + ^2 \log 2)(^2 \log 8-^2 \log 2)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot ^5 \log 3 \cdot \frac{3}{2} ^3 \log 5 + \frac{5}{4} ^2 \log 2}{(3 + 1)(3-1)} \\ & = \dfrac{\frac{3}{4} \cdot ^5 \log 5 + \frac{5}{4}} {4 \cdot 2} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} $
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}.$
(Jawaban C)

Ubah $0,\!111\cdots$ menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,
$\begin{cases} a & = 0,\!111\cdots && (\cdots 1) \\ 10a & = 1,\!111\cdots && (\cdots 2) \end{cases}$
Kurangi persamaan $(2)$ dengan persamaan $(1)$,
$\begin{aligned} 10a- a & = 1,\!111\cdots- 0,\!111\cdots \\ 9a & = 1 \\ a & = \dfrac{1}{9} = 9^{-1} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} ^a \log 729 & = \! ^{9^{-1}} \log 9^3 \\ & = \dfrac{3}{-1} \cdot ^9 \log 9 =-3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^{0,\!111\cdots} \log 729 =-3}.$
(Jawaban B)

Diketahui bahwa $R = 356.(10)^{0,000152G}$ dan $R = 500$ sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\begin{aligned} 500 & = 356 \cdot (10)^{0,000152G} \\ \dfrac{500}{356} & = 10^{0,000152G} \\ ^{10} \log \dfrac{500}{356} & = 0,\!000152G \\ \log 500-\log 356 & = 0,\!000152G \\ G & = \dfrac{\log 500-\log 356}{0,\!000152} \end{aligned}$
Jadi, nilai $G$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{G = \dfrac{\log 500- \log 356}{0,\!000152}}.$
(Jawaban B)

Gunakan sifat logaritma berikut. $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} & = \dfrac{5^{^{\sqrt{25}} \log \sqrt{9}}}{8^{^{2^3} \log 3^3}} \\ & = \dfrac{5^{^5 \log 3}} {8^{^8 \log 27}} \\ & = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \dfrac19}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$$\begin{aligned} 5^{^6 \log 7} & = 5^{\dfrac{^5 \log 7}{^5 \log 6}} \\ & = \left(5^{^5 \log 7}\right)^{\dfrac{1}{^5 \log 6}} \\ & = 7^{^6 \log 5}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk $5^{^6 \log 7}$ senilai dengan $\boxed{7^{^6 \log 5}}.$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} \dfrac{^n \log x} {1+ \! ^n \log m} & = \dfrac{^n \log x} {^n \log n + \! ^n \log m} \\ & = \dfrac{^n \log x} {^n \log mn} \\ & = \! ^{mn} \log x \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+ \! ^n \log m}$ adalah $\boxed{^{mn} \log x}.$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^5 \log 3 = a \iff ^3 \log 5 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 4 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^4 \log 15 = \cdots$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^4 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log (3 \times 5)}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log 3 + ^3 \log 5}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{1 + \frac{1}{a}} {b} \\ & = \dfrac{1+\frac{1}{a}} {b} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \dfrac{a + 1}{ab} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^4 \log 15 = \dfrac{a+1}{ab}}.$
(Jawaban A)

Diketahui: 
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \\ &^2 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^9 \log 150$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^9 \log 150 & = \dfrac{^2 \log 150}{^2 \log 9} \\ & = \dfrac{^2 \log (2 \times 3 \times 5^2)} {^2 \log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{^2 \log 2 + ^2 \log 3 + 2 \cdot ^2 \log 5}{^2 \log 3 + ^2 \log 3} \\ & = \dfrac{1 + a + 2b}{2a} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\boxed{\dfrac{1 + a + 2b}{2a}}.$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \iff ^3 \log 2 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log 15 = \cdots$
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 6} \\ & = \dfrac{^3 \log (5 \times 3)} {^3 \log (3 \times 2)} \\ & = \dfrac{^3 \log 5 + ^3 \log 3}{^3 \log 3 + ^3 \log 2} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \dfrac{a(1+b)} {1+a} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^6 \log 15 = \dfrac{a(1+b)}{1+a}}.$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} ^6 \log 3 & = x \\ ^6 \log 2 & = y \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}.$
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
$$\begin{aligned} ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} & = ^6 \log 2\sqrt{2}-^6 \log 27 \\ & = ^6 \log 2 + ^6 \log 2^{\frac{1}{2}}-^6 \log 3^3 \\ & = ^6 \log 2 + \dfrac{1}{2} \cdot ^6 \log 2- 3 \cdot ^6 \log 3 \\ & = y + \dfrac{1}{2}y- 3x \\ & = \dfrac{3}{2}y-3x \\ & = \dfrac{-6x + 3y}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} = \dfrac{-6x+3y}{2}}.$
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} ^{30} \log 3 &=a \\ ^{30} \log 5 & = b \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $30 = 2 \times 3 \times 5$. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^{30} \log 30 & = ^{30} \log (2 \times 3 \times 5) \\ ^{30} \log 30 & = ^{30} \log 2 + ^{30} \log 3 + ^{30} \log 5 \\ 1 & = ^{30} \log 2 + a + b \\ ^{30} \log 2 & =1-a-b \\ 2 \times ^{30} \log 2 & = 2(1-a-b) \\ ^{30} \log 4 & = 2(1-a-b) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{^{30} \log 4=2(1-a-b)}.$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} 60^a = 3 & \iff a = ^{60} \log 3 \\ 60^b = 5 & \iff b = ^{60} \log 5 \end{aligned}}$
Sederhanakan dulu ekspresi pangkatnya. 
$$\begin{aligned} \dfrac{1-a-b} {2-2b} & = \dfrac{1-^{60} \log 3-^{60} \log 5}{2-2(^{60} \log 5)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 60-^{60} \log 3-^{60} \log 5}{^{60} \log 60^2-^{60} \log 25} \\ & = \dfrac{^{60} \log (60 \div 3 \div 5)} {^{60} \log (3600 \div 25)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 4}{^{60} \log 144} \\ & = ^{144} \log 4 = ^{12} \log 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis $12^{^{12} \log 2} = 2.$
Jadi, nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}}$ adalah $\boxed{2}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $\dfrac{m} {n} = m \times \dfrac{1}{n}$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{m} {n} & = \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} \times \dfrac{^2 \log b} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\dfrac{^3 \log a} {^3 \log 2}} {^3 \log b} \times \dfrac{\dfrac{^3 \log b} {^3 \log 2}} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\cancel{^3 \log a \cdot ^3 \log b} } {^3 \log 2 \cdot ^3 \log 2} \times \dfrac{1}{\cancel{^3 \log b \cdot ^3 \log a}} \\ & = \dfrac{1}{(^3 \log 2)^2} = (^2 \log 3)^2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{m} {n} = (^2 \log 3)^2}.$
(Jawaban C)

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b \cdot \! ^b \log c & = \! ^a \log c \\ ^a \log b + \! ^a \log c & = \! ^a \log bc \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}\end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{^b \log a \cdot \! ^c \log a} {^b \log a + \! ^c \log a} & = \dfrac{\dfrac{\log a} {\log b} \cdot \dfrac{\log a} {\log c}} {\dfrac{\log a} {\log b} + \dfrac{\log a} {\log c}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\log^2 a} {\cancel{\log b \log c}}} {\dfrac{\log a \log c + \log a \log b}{\cancel{\log b \log c}} } \\ & = \dfrac{\log^2 a} {\log a \log c + \log a \log b} \\ & = \dfrac{\log^{\cancel{2}} a} {\cancel{\log a}(\log c + \log b)} \\ & = \dfrac{\log a} {\log c + \log b} \\ & = \dfrac{\log a} {\log bc} \\ & = \! ^{bc} \log a \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b \cdot \! ^c \log a} {^b \log a + \! ^c \log a}$ adalah $\boxed{^{bc} \log a}.$
(Jawaban A)

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log bc & = \! ^a \log b + \! ^a \log c \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a}, c > 0 \\ ^a \log b \cdot \! ^b \log c & = \! ^a \log c \end{aligned}}$
Diketahui: $^a \log b = 2,\! ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$. Dengan menggunakan sifat perkalian logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c & = 2 \cdot 3 \\ ^a \log c & = 6 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot \! ^b \log c \cdot \! ^c \log d & = 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ ^a \log d & = 24 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} ^{abc} \log d & = \dfrac{^a \log d}{^a \log (abc)} \\ & = \dfrac{^a \log d}{^a \log a + \! ^a \log b + ^a \log c} \\ & = \dfrac{24}{1+2+6} \\ & = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}}.$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} x & = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \\ y & = 0,\!111\cdots = \dfrac{1}{9} = 3^{-2}.  \end{aligned}$
Perhatikan bahwa bentuk $a^{^a \log b} = b$ untuk $a > 1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (^x \log y)a^{^a \log 10} & = (^{3^{-1}} \log 3^{-2}) \cdot 10 \\ & = \dfrac{-2}{-1} \cdot ^3 \log 3 \cdot 10 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ adalah $\boxed{20}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} \\ & = \dfrac{3(1- \log^2 xy)} {1-(\log x^3y^2-\log (x\sqrt{y})^2)} \\ & = \dfrac{3\cancel{(1- \log xy)}(1 + \log xy)} {\cancel{1-\log xy}} \\ & = 3(1 + \log xy) \\ & = 3(\log 10 + \log xy) \\ & = 3 \log 10xy \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = 3 \log 10xy}.$$(Jawaban C)

$\begin{aligned} & \dfrac{9-\log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} \\ & = \dfrac{(3 + \log a^3b^3)(3-\log a^3b^3)}{1-\log a^5b^3 + \log a^4b^2} \\ & = \dfrac{(3 + 3 \log ab)(3-3 \log ab)}{1-\left(\log \dfrac{a^5b^3}{a^4b^2}\right)} \\ & = \dfrac{3(1 + \log ab) \cdot 3\cancel{(1-\log ab)}}{\cancel{1-\log ab}} \\ & = 9(1 + \log ab) \\ & = 9 + 9 \log ab \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{9- \log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = 9 + 9 \log ab}.$$(Jawaban D)