Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan hasil produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui $a = 80$ dan $b = 10.$
Jumlah pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang diproduksi selama $6$ bulan pertama adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 80 + (6-1) \cdot 10) \\ & = 3(160 + 50) \\ & = 3(210) = 630. \end{aligned}$
Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama $6$ bulan adalah $\boxed{630~\text{setel}}$
(Jawaban D)

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui $a = 8.000$ dan $b = 300.$
Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester ($6$ bulan) adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 8.000 + (6-1) \cdot 300) \\ & =3(16.000 + 1.500) \\ & = 3(17.500) =52.500. \end{aligned}$
Jadi, jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah $\boxed{52.500~\text{unit}}$
(Jawaban C)

Karena selisih antarsuku tetap (konstan), kasus di atas tergolong masalah kontekstual yang melibatkan barisan aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 50.000$ dan $b = 5.000.$
Akan dicari nilai dari $\text{S}_{24}$ (2 tahun = 24 bulan).
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{24} & = \dfrac{24}{2}(2 \times 50.000 + (24 -1) \times 5.000) \\ & = 12(100.000 + 115.000) \\ & = 12 \times 215.000 = 2.580.000 \end{aligned}$$Jadi, besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah Rp2.580.000,00.
(Jawaban B)

Diketahui $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{S}_4 = 44$. Dengan menggunakan formula jumlah deret aritmetika, yaitu
$\boxed{\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n)}$
diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_4 & = \dfrac{4}{2}(a + \text{U}_4) \\ 44 & = 2(a + 17) \\ \dfrac{44}{2} & = a + 17 \\ 22 & = a + 17 \\ a & = 5. \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari selisih tiap suku yang berdekatan, yaitu $b$.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ 5 + 3b & = 17 \\ 3b & = 12 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi, banyak produksi pada bulan kelima adalah
$\boxed{\text{U}_5 = a + 4b = 5 + 4(4) = 21~\text{ton}}$
(Jawaban D) 

Jumlah uang yang ditabung tiap bulannya oleh Asep membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 2.000$ dan beda $b = 500$. Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $\text{S}_{12}$ (1 tahun = 12 bulan). 
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}(2(2.000) + (12-1) \times 500) \\ & = 6(4.000 + 5.500) \\ & = 6(9.500) = 57.000 \end{aligned}$$Jadi, jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah Rp57.000,00.
(Jawaban D)

Dari masalah di atas, jumlah kursi pada tiap barisnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 20, b = 4,$ dan $n=15.$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{15} & = \dfrac{15}{2}(2 \cdot 20 + (15-1) \cdot 4)\\ & = \dfrac{15}{2}(40 + 56) \\ & = \dfrac{15}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{48}{96} \\ & = 15 \cdot 48 = 720. \end{aligned}$
Jadi, kapasitas gedung tersebut adalah $\boxed{720~\text{kursi}}$
(Jawaban C)

Dari masalah di atas, banyak produksi barang jenis A pabrik itu setiap tahunnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 1.960, b = -120$ (negatif karena jumlah produksinya berkurang), dan $n=16$. 
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{\cancelto{8}{16}}{\cancel{2}}(2 \cdot 1.960 + (16 -1) \cdot (-120)) \\ & = 8(3.920 – 1.800) \\ & = 8 \cdot 2.120 = 16.960. \end{aligned}$$Jadi, total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-$16$ adalah $\boxed{16.960~\text{unit}}$
(Jawaban C)

Dari masalah di atas, jumlah keuntungan yang diperoleh setiap bulannya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 46.000, b = 18.000$, dan $n=12$. 
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} (2 \cdot 46.000 + (12-1) \cdot 18.000) \\ & = 6(92.000 + 198.000) \\ & = 6(290.000) = 1.740.000. \end{aligned}$$Jadi, jumlah keuntungan pedagang itu sampai bulan ke-$12$ adalah $\boxed{\text{Rp}1.740.000,00}$
(Jawaban A)

Dari masalah di atas, diketahui
$\text{U}_1 = \dfrac{1}{5}\text{U}_{10} \Leftrightarrow 5\text{U}_1 = \text{U}{10}$
atau dapat ditulis
$5a = a + 9b \Leftrightarrow 20a = 45b.~~~~(1)$
Jumlah kesepuluh sudut pusat itu akan menjadi jumlah derajat dalam satu putaran (lingkaran), yaitu $360^{\circ}$ sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots + \text{U}_{10} & = 360^{\circ} \\ a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a+9b) & = 360^{\circ} \\ 10a + (1+2+3+\cdots 9)b & = 360^{\circ} \\ 10a + 45b & = 360^{\circ}. && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusikan persamaan $(1)$ ke persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 10a + 45b & = 360^{\circ} \\ 10a + 20a & = 360^{\circ} \\ 30a & = 360^{\circ} \\ \text{U}_1 & = a = 12^{\circ} \end{aligned}$
Besar sudut pusat potongan piza terbesar adalah
$\text{U}_{10} = 5\text{U}_1 = 5(12^{\circ}) = 60^{\circ}.$
Luas juring lingkaran dengan sudut pusat $60^{\circ}$ dan berjari-jari $\dfrac{20}{2} = 10~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L & = \dfrac{60^{\circ}} {360^{\circ}} \pi r^2 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 3,14 \cdot 100 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 314 = 52\dfrac13. \end{aligned}$
Jadi, luas potongan piza terbesar adalah $\boxed{52\dfrac13~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Banyaknya populasi sapi akan membentuk barisan aritmetika. 
Kota A: Diketahui $a = 1.600$ dan $b = 25$ sehingga jumlah populasi sapi di kota A pada bulan ke-$n$ terhitung dari Januari 2019 adalah
$\begin{aligned} A_n & = a + (n-1)b \\ & = 1.600 + (n -1) \cdot 25 \\ & = 1.575+ 25n. \end{aligned}$
Kota B: Diketahui $a = 500$ dan $b = 10$ sehingga jumlah populasi sapi di kota B pada bulan ke-$n$ terhitung dari Januari 2019 adalah
$\begin{aligned} B_n & = a + (n-1)b \\ & = 500 + (n-1) \cdot 10 \\ & = 490 + 10n. \end{aligned}$
Karena populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, diperoleh
$\begin{aligned} A_n & = 3B_n \\ 1.575 + 25n & = 3(490 + 10n) \\ 1.575 + 25n & = 1.470 + 30n \\ 5n & = 105 \\ n & = 21. \end{aligned}$
Ini berarti, $21$ bulan kemudian terhitung dari bulan Januari $2019$, populasi sapi di kota A akan menjadi $3$ kali populasi sapi di kota B. Jumlah populasi sapi di kota A adalah $A_{21} = 1.600 + (21-1) \cdot 25 = 2.100$ ekor.
(Jawaban D)

Diketahui:
$a = 20, n = 30$, dan $\text{S}_n = 22.350.$
Ditanya: $\text{U}_n$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ 22.350 & = \dfrac{30}{2}(20 + \text{U}_n) \\ 22.350 & = 15(20 + \text{U}_n) \\ 20 + \text{U} _n & = \dfrac{22.350}{15} = 1.490 \\ \text{U}_n & = 1.490 -20 = 1.470. \end{aligned}$
Jadi, telur yang ia kumpulkan pada hari terakhir sebanyak $\boxed{1.470~\text{butir}}$
(Jawaban D)

Berdasarkan keterangan yang diberikan, diketahui bahwa banyaknya uang yang diterima anak membentuk barisan aritmetika dengan beda $b = 10.000$ dan $\text{S}_5 = 200.000$. 
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)\cdot 10.000) \\ 200.000 & = \dfrac{5}{2}(2a + 40.000) \\ 200.000 \cdot \dfrac25 & = 2a + 40.000 \\ 80.000 & = 2a + 40.000 \\ 2a & = 40.000 \\ a & = 20.000. \end{aligned}$$Nilai dari $\text{U}_3$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = a + 2b \\ & = 20.000+2(10.000) = 40.000. \end{aligned}$
Jadi, anak ke-$3$ mendapat uang sebesar Rp40.000,00.
(Jawaban C)

Kasus ini merupakan kasus barisan aritmetika.
Dari posisi botol nomor $10$, peserta bergerak menuju kotak sejauh $9 \times 8 + 10 = 82~\text{m}.$
Dimulai dari posisi kotak:
$\text{U}_1$ adalah jarak kotak ke botol nomor $1$.
$\text{U}_2$ adalah jarak kotak ke botol nomor $2$, dan seterusnya sehingga
$\text{U}_1 = 10,$ $\text{U}_2 = 18,$ $\text{U}_3 = 26,$ sampai $\text{U}_{10} = 10 + 8 \times 9 = 82.$
Dengan demikian, jumlah jarak tempuh bolak balik (sehingga dikali dua) yang dilakukan peserta adalah
$\begin{aligned} 2 \text{S}_n & = 2 \times \dfrac{n}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 2 \text{S}_{10} & = 10(10 + 82) \\ & = 10 \times 92 = 920. \end{aligned}$
Namun, perhatikan bahwa ketika peserta memegang bendera terakhir dan bergegas menuju botol nomor $10,$ ia tidak perlu lagi kembali ke kotak karena ia sudah menyelesaikan permainan. Dengan demikian, total jarak tempuhnya adalah $$\boxed{s = 82 + 920 – (8 \times 9 + 10) = 920~\text{m}}$$(Jawaban C)

Misalkan harga barang paling murah adalah $\text{U}_1$.
Selanjutnya, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4 & = 50 \\ \text{U}_4 + \text{U}_5 + \text{U}_6 + \text{U}_7 & = 86. \end{aligned}$
Jika dinyatakan dalam bentuk $\text{U}_n = a + (n-1)b$, diperoleh
$$\begin{aligned} a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) & = 50 && (\cdots 1) \\ (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) + (a+6b) & = 86 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Sederhanakan.
$\begin{aligned} 4a + 6b & = 50 && (\cdots 1) \\ 4a + 18b & = 86 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Kurangi kedua persamaan di atas dan akan diperoleh $b = 3$, berakibat $a = 8.$
Jadi, harga ketujuh barang tersebut adalah $8, 11, 14, 17, 20, 23$, dan $26$.
Jika pembeli itu membeli barang dengan harga $14, 17, 20, 23$, dan $26$ (total: $100$), maka uangnya pas tanpa pengembalian.
Jadi, minimal kembalian yang ia dapat adalah $\boxed{0}$
(Jawaban A)

Tinjau barisan $2, 5, 8, 11, 14, \cdots$ yang merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 2$ dan beda $b = 3.$ Rumus suku ke-$n$ untuk barisan ini dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2+(n-1) \cdot 3 \\ & = 3n-1. \end{aligned}$$Karena Wesley menyebut bilangan $41,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 41 & = 3n-1 \\ 42 & = 3n \\ n & = 14. \end{aligned}$$Jadi, Wesley berada di posisi ke-14 dari kiri. Artinya, ada $13$ anak di kiri Wesley.
Sekarang tinjau barisan $1, 5, 9, 13, 17, \cdots$ yang merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 1$ dan beda $b = 4.$ Rumus suku ke-$n$ untuk barisan ini dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 1+(n-1) \cdot 4 \\ & = 4n-3. \end{aligned}$$Karena Wesley menyebut bilangan $41,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 41 & = 4n-3 \\ 44 & = 4n \\ n & = 11. \end{aligned}$$Jadi, Wesley berada di posisi ke-11 dari kanan. Artinya, ada $10$ anak di kanan Wesley.
Dengan demikian, banyak anak semuanya ada $\boxed{13 + 1 + 10 = 24}$
(Jawaban D)

Karena penambahan tarifnya bersifat konstan, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait barisan aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 6.000$ dan $b = 2.500.$ Dalam hal ini, kita diminta untuk mencari nilai dari $\text{U}_{15},$ yaitu tarif taksi untuk perjalanan sejauh $15$ km.
$$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a+(n-1)b \\ \text{U}_{15} & = 6.000 + (15-1) \cdot 2.500 \\ & = 6.000 + 35.000 \\ & = 41.000. \end{aligned}$$Jadi, tarif taksi yang harus dibayar penumpang untuk menempuh perjalanan sejauh $15$ km adalah Rp41.000,00.

Karena rataan pertumbuhannya dianggap konstan, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait barisan aritmetika.
Diketahui populasi tumbuhan tersebut pada tahun pertama adalah $\text{U}_1 = a = 75.230.$ Pada tahun kedelapan, populasi tumbuhan itu menjadi $\text{U}_8 = a + 7b = 125.280$ dengan $b$ adalah rataan pertumbuhannya. Substitusi nilai $a = 75.230$ pada $\text{U}_8$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} 75.230 + 7b & = 125.280 \\ 7b & = 50.050 \\ b & = 7.150. \end{aligned}$$Jadi, rataan pertumbuhan populasi tersebut adalah $\boxed{7.150}.$

Diketahui $\text{U}_1 = a = 75$ dan $b = 125-75 = 50.$ Dalam kasus ini, kita diminta untuk mencari nilai dari $\text{S}_{20},$ yaitu jumlah $20$ suku pertama dari barisan aritmetika dengan suku pertama $75$ dan beda $50.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20}{2}(2(75) + (20-1) \cdot 50) \\ & = 10(150 + 950) \\ & = 11.000. \end{aligned}$$Jadi, jumlah jeruk yang ia petik selama $20$ hari pertama adalah $\boxed{11.000}$ buah.

Karena penambahan kursinya bersifat konstan, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait deret aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 20$ dan $b = 20-15 = 5.$ Dalam kasus ini, kita diminta untuk mencari nilai dari $\text{S}_{20},$ yaitu jumlah $20$ suku pertama dari barisan aritmetika dengan suku pertama $20$ dan beda $5.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20}{2}(2(20) + (20-1) \cdot 5) \\ & = 10(40 + 95) \\ & = 1.350. \end{aligned}$$Jadi, total kursi yang tersedia di dalam ruang pertunjukan itu adalah $\boxed{1.350}$ kursi.

Karena pengurangan jaraknya bersifat konstan, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait deret aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 1.150$ dan $b = -75$ (bertanda negatif karena berkurang). Karena $3$ minggu sama dengan $12$ minggu, dalam kasus ini, kita diminta untuk mencari nilai dari $\text{S}_{12},$ yaitu jumlah $12$ suku pertama dari barisan aritmetika dengan suku pertama $1.150$ dan beda $-75.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}(2(1.150) + (12-1) \cdot (-75)) \\ & = 6(2.300-825) \\ & = 6 \cdot 1.475 \\ & = 8.850. \end{aligned}$$Ini berarti, wiraniaga tersebut telah menempuh total jarak $8.850$ km dalam waktu $3$ minggu. Karena tiap liter bensin dapat membuat sepeda motornya menempuh jarak $30$ km, ia memerlukan $\dfrac{8.850}{30} = 295$ liter. Kemudian, karena $1$ liter bensin seharga Rp10.000,00, uang yang harus ia keluarkan untuk mengisi bensin adalah $295 \times$ Rp10.000,00, yaitu Rp2.950.000,00.

Karena penambahan genting setiap harinya bersifat konstan, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait deret aritmetika. Perhatikan bahwa $1$ lusin setara dengan $12$ buah.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 5 \cdot 12 = 60$ dan $b = 1 \cdot 12,$ serta $\text{S}_n = 2.160.$ Dalam kasus ini, kita diminta untuk mencari nilai $n.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ 2.160 & = \dfrac{n}{2}(2(60) + (n-1) \cdot 12) \\ 2.160 & = n(54 + 6n) \\ n^2+9n-360 & = 0 \\ (n+24)(n-15) & = 0 \\ n=-24~\text{atau} & ~n=15. \end{aligned}$$Karena $n$ tidak mungkin bernilai negatif, haruslah $n = 15.$ Jadi, pekerja pabrik tersebut dapat menghasilkan $2.160$ buah genting dalam $15$ hari.

Karena angsuran yang dibayar setiap bulannya bertambah Rp20.000,00 secara terus-menerus, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait deret aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 250.000$ dan $b = 20.000$ serta $\text{S}_n = 8.800.000.$ Dalam kasus ini, kita diminta untuk mencari nilai $n.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ 8.800.000 & = \dfrac{n}{2}(2(250.000) + (n-1) \cdot 20.000) \\ 8.800.000 & = n(10.000n+240.000) \\ n^2+24n-880 & = 0 \\ (n+44)(n-20) & = 0 \\ n=-44~\text{atau} & ~n=20. \end{aligned}$$Karena $n$ tidak mungkin bernilai negatif, haruslah $n = 20.$ Jadi, utang itu akan lunas dalam waktu $20$ bulan.

Karena penambahan uang yang ditabung setiap bulannya bersifat konstan, ini akan menjadi masalah kontekstual terkait deret aritmetika.
Diketahui tabungan Sukardi pada bulan pertama adalah $\text{U}_1 = 80.000$ dengan beda $b = 1.500.$ Sementara itu, tabungan Lili pada bulan pertama adalah $\text{V}_1 = 100.000$ dengan beda $c = 1.000.$ Misalkan tabungan mereka berdua tepat sama pada bulan ke-$n,$ yaitu sebesar $\text{S}_n.$ Dalam kasus ini, kita diminta mencari nilai $n.$
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \text{S}_n \\ \cancel{\dfrac{n}{2}}(2\text{U}_1 + (n-1) \cdot b) & = \cancel{\dfrac{n}{2}}(2\text{V}_1 + (n-1) \cdot c) \\ 2(80.000) + (n-1) \cdot 1.500 & = 2(100.000) + (n-1) \cdot 1.000 \\ 500(n-1) & = 40.000 \\ n-1 & = 80 \\ n & = 81. \end{aligned}$$Jadi, jumlah tabungan mereka akan tepat sama pada bulan ke-$81.$