Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui
${\displaystyle \int p(x)\text{d}x=\int \left({\displaystyle \frac{2x+1}{x}}\right)\text{d}x=2x+\ln x}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)\text{d}x}=e^{2x+\ln x}=e^{2x}.e^{\ln x}=x{e}^{2x}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu ${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+\left({\displaystyle \frac{2x+1}{x}}\right)y=e^{-2x}$, sehingga diperoleh:
$(x{e}^{2x}){\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+(\cancel{x}{e}^{2x})\left({\displaystyle \frac{2x+1}{\cancel{x}}}\right)y$ $=(x{e}^{2x})e^{-2x}$
dan dapat ditulis menjadi
${\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(x{e}^{2x}y)=x$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$, sehingga diperoleh
$x{e}^{2x}y=\int x\text{d}x$
$x{e}^{2x}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C$
$\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{x}{2e^{2x}}}+C}}$
Persamaan terakhir ini merupakan penyelesaian/solusi umum dari PD tersebut.

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan $x^2+1$ untuk mendapatkan ${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+\left({\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}\right)y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$
Diketahui
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int p(x)\text{d}x}& =\int \left({\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}\right)\text{d}x\\ & =2\ln (x^2+1)\\ & =\ln (x^2+1{)}^2\end{array}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)\text{d}x}=e^{\ln (x^2+1{)}^2}=(x^2+1{)}^2$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu  ${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+\left({\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}\right)y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$, sehingga diperoleh: $(x^2+1{)}^2{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+(x^2+1)(4x)y=x(x^2+1)$
${\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}((x+1{)}^{2}y)=x^3+x$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$, sehingga diperoleh
$(x+1{)}^{2}y=\int (x^3+x)\text{d}x$
$\boxed{{\displaystyle (x+1{)}^{2}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C}}$
Persamaan terakhir merupakan solusi/penyelesaian umum implisit dari PD tersebut.

Persamaan diferensial yang diberikan itu berbentuk PD linear orde satu, yang dapat ditulis:
${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+(-2)y=2x^3$
Diketahui ${\displaystyle \int p(x)\text{d}x=\int (-2)\text{d}x=-2x}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
${\displaystyle e^{\int p(x)\text{d}x}=e^{-2x}}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal, sehingga didapat
$\begin{array}{rl}{\displaystyle e^{-2x}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}–2y{e}^{-2x}}& =2x^3{e}^{-2x}\\ {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(e^{-2x}y)& =2x^3{e}^{-2x}\\ e^{-2x}y& ={\displaystyle \int 2x^3{e}^{-2x}\text{d}x}\end{array}$
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial (langkah pengerjaannya memang cukup panjang). Setelah mengintegralkan bentuk itu, diperoleh penyelesaian PD tersebut, yakni
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle e^{-2x}y=-{\displaystyle \frac{(4x^3+6x^2+6x+3)e^{-2x}}{4}}+C}}}$

Diketahui $y^2\text{d}x+(3xy-1)\text{d}y=0$
Bagi kedua ruas dengan $y^2\text{d}y$, untuk mendapatkan
${\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+{\displaystyle \frac{3xy-1}{y^2}}=0$
${\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+{\displaystyle \frac{3x}{y}}={\displaystyle \frac{1}{y^2}}$ $★$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa ini merupakan PD linear orde satu. Sekarang, misalkan $P(y)={\displaystyle \frac{3}{y}}$. Faktor integrasi PD di atas adalah
$e^{\int P(y)\text{d}y}=e^{\int \frac{3}{y}\text{d}y}=e^{\ln y^3}=y^3$
Kalikan faktor integrasi $y^3$ ke $★$, diperoleh
$y^3{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+3x{y}^2=y$
Ekspresi pada ruas kiri ternyata adalah turunan dari $y^{3}x$ terhadap $x$, ditulis
${\displaystyle \frac{d}{\text{d}y}}(y^{3}x)=y$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$y^{3}x=\int y\text{d}y$
$y^{3}x={\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2+C$
Jadi, penyelesaian umum dari PD tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle y^{3}x={\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2+C}}$

Perhatikan bahwa bentuk ini dapat diubah menjadi PD linear orde satu, tetapi ekspresi $y^3$ di ruas kanan harus “disingkirkan” terlebih dahulu.
Kalikan kedua ruas dengan $y^3$, diperoleh
$y^3{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{y^4}{2x}}=x$
Sekarang, misalkan $v=y^4$
Turunkan kedua ruas terhadap $x$ (bukan terhadap $y$),
${\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}=4y^3{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}$
Substitusikan ini ke persamaan semula, diperoleh
${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}=+{\displaystyle \frac{v}{2x}}=x$
Kalikan $4$ di kedua ruas,
${\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}v=4x$ $★$
Bentuk di atas sudah baku menjadi PD linear orde satu.
Sekarang, kita akan mencari faktor integrasi PD tersebut. misalkan $P(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}$. Faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)\text{d}x}=e^{\int \frac{2}{x}\text{d}x}=e^{2\ln x}=x^2$
Kalikan $x^2$ di kedua ruas pada $★$, didapat
$x^2{\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}+2xv=4x^3$
Manipulasi ekspresi ruas kiri sebagai turunan dari $x^{2}v$ terhadap $x$, ditulis
${\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(x^{2}v)=4x^3$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$,
$x^{2}v=x^4+C$
Substitusikan kembali $v=y^4$,
$x^2{y}^4=x^4+C$
Untuk $x=0$ dan $y=2$, diperoleh
$0(16)=0+C\iff C=0$
Berarti diperoleh
$x^2{y}^4=x^4\iff y^4=x^2$
Jadi, solusi khusus PD tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle y^4=x^2}}$

$x{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+y=x^3\iff {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}=x^2$ $★$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa PD ini merupakan PD linear orde satu. Kita akan menentukan faktor integrasi dari PD tersebut. Diketahui bahwa ${\displaystyle P(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}}$. Dalam hal ini, $P(x)$ adalah koefisien $y$ pada suku kedua di ruas kiri.
Ini berarti, faktor integrasinya adalah
$e^{\int P(x)\text{d}x}=e^{\int \frac{1}{x}\text{d}x}=e^{\ln x}=x$
Kalikan faktor integrasi $x$ pada $★$, sehingga diperoleh
$x{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+y=x^3$
Jika diperhatikan, ternyata ekspresi pada ruas kiri merupakan turunan dari $xy$ terhadap $x$, sehingga ditulis
${\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(xy)=x^3$
Tahap terakhir, integrasikan kedua ruas terhadap $x$, diperoleh
$xy={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+C$
Jadi, penyelesaian dari PD $x{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+y=x^3$ adalah $\boxed{{\displaystyle xy={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+C}}$.

Dari persamaan yang diberikan, bagi kedua ruasnya dengan $y\text{d}y$ sehingga didapat
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+{\displaystyle \frac{x{y}^2+x-y}{y}}& =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+xy+{\displaystyle \frac{x}{y}}-1& =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+(y+{\displaystyle \frac{1}{y}})x& =1\end{array}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(y)=y+{\displaystyle \frac{1}{y}}$, berarti
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int p(y)\text{d}y}& =\int (y+{\displaystyle \frac{1}{y}})\text{d}y\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2+\ln (y)\end{array}$
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$\begin{array}{rl}{e}^{\int p(x)\text{d}x}& =e^{\frac{1}{2}{y}^2+\ln (y)}\\ & =y{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\end{array}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan ${\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+(y+{\displaystyle \frac{1}{y}})x=1$ sehingga ditulis
$$\begin{array}{rl}\left(y{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\right){\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}y}}+\left(y{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\right)(y+{\displaystyle \frac{1}{y}})x& =y{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\\ {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}y}}\left(xy{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\right)& =y{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\\ \text{Integralkan kedua}& \text{ruas}\\ {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}y}}\left(xy{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\right)\text{d}y}& =\int y{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}\text{d}y\\ xy{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}& =e^{\frac{1}{2}{y}^2}+C\end{array}$$Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle xy{e}^{\frac{1}{2}{y}^2}=e^{\frac{1}{2}{y}^2}+C}}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{array}{rl}\cos \theta \text{d}r+(r\sin \theta -{\cos }^4\theta )\text{d}\theta & =0\\ \text{Bagi kedua ruas dengan}(\cos \theta )\text{d}\theta & \\ {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}\theta }}+{\displaystyle \frac{r\sin \theta –{\cos }^4\theta }{\cos \theta }}& =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}\theta }}+r\cdot {\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}–{\cos }^3\theta & =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}\theta }}+(\tan \theta )r& ={\cos }^3\theta \end{array}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(\theta )=\tan \theta$, sehingga
$\int p(\theta )\text{d}\theta =\int \tan \theta \text{d}\theta =\ln (\sec \theta )$
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(\theta )=\ln (\sec \theta )$.
Dengan demikian, persamaan diferensial ${\displaystyle \frac{\text{d}r}{\text{d}\theta }}+(\tan \theta )r={\cos }^3\theta$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle r}& =e^{-v(\theta )}\cdot \int e^{v(\theta )}\cdot {\cos }^3\theta \text{d}\theta \\ & =e^{-\ln (sec\theta )}\cdot \int e^{\ln (sec\theta )}\cdot {\cos }^3\theta \text{d}\theta \\ & =(\sec \theta {)}^{-1}\int \sec \theta \cdot {\cos }^3\theta \text{d}\theta \\ & =\cos \theta \int {\cos }^2\theta \text{d}\theta \\ & =\cos \theta ({\displaystyle \frac{1}{2}}\theta -{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2\theta +C)\end{array}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle r=\cos \theta ({\displaystyle \frac{1}{2}}\theta -{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2\theta +C)}}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{array}{rl}(y\sin 2x-\cos x)\text{d}x+(1+{\sin }^{2}x)\text{d}y& =0\\ \text{Bagi kedua ruas dengan}(1+{\sin }^{2}x)\text{d}x& \\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{y\sin 2x-\cos x}{1+{\sin }^{2}x}}& =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+\left({\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}}\right)y& ={\displaystyle \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}}\end{array}$$Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(x)={\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}}$, sehingga
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int p(x)\text{d}x}& =\int {\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}}\text{d}x\\ & =\ln (1+{\sin }^{2}x)\end{array}$
Catatan: Integral di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi, di mana $u=1+{\sin }^{2}x$.
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(x)=\ln (1+{\sin }^{2}x)$.
Dengan demikian, persamaan diferensial ${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+\left({\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}}\right)y={\displaystyle \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& =e^{-v(x)}\cdot \int e^{v(x)}\cdot {\displaystyle \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}}\text{d}x\\ & =e^{-\ln (1+{\sin }^{2}x)}\cdot \int e^{\ln (1+{\sin }^{2}x)}\cdot {\displaystyle \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}}\text{d}x\\ & =(1+{\sin }^{2}x{)}^{-1}\int \cancel{(1+{\sin }^{2}x)}\left({\displaystyle \frac{\cos x}{\cancel{1+{\sin }^{2}x}}}\right)\text{d}x\\ & =(1+{\sin }^{2}x{)}^{-1}\int \cos x\text{d}x\\ & ={\displaystyle \frac{\sin x+C}{1+{\sin }^{2}x}}\end{array}$$Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{\sin x+C}{1+{\sin }^{2}x}}}}$

Dari persamaan diferensial yang diberikan, dapat kita tuliskan
$\begin{array}{rl}x{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+y& =-2x^6{y}^4\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan}x\\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}& =-2x^5{y}^4\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan}{y}^{-4}\\ y^{-4}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{1}{x{y}^3}}& =-2x^5\end{array}$
Misalkan $v=y^{-3}$ sehingga ${\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}=-3y^{-4}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}$, yang juga ekuivalen dengan $-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}=y^{-4}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}$
Dengan demikian, persamaan $y^{-4}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{1}{x{y}^3}}=-2x^5$ dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{rl}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{v}{x}}& =-2x^5\\ \text{Kalikan -3}& \text{pada kedua ruas}\\ {\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}-{\displaystyle \frac{3v}{x}}& =6x^5\end{array}$
Persamaan terakhir sudah berbentuk PD linear orde satu.
Diketahui $p(x)=-{\displaystyle \frac{3}{x}}$, sehingga
${\displaystyle \int p(x)\text{d}x=-3\int {\displaystyle \frac{1}{x}}\text{d}x=-3\ln x}$
Untuk itu, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)\text{d}x}=e^{-3\ln x}=x^{-3}$
Kalikan faktor integrasi $x^{-3}$ ke persamaan ${\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}–{\displaystyle \frac{3v}{x}}=6x^5$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}{x}^{-3}{\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}x}}-{\displaystyle \frac{3v}{x^4}}& =6x^2\\ {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}\left({\displaystyle \frac{1}{x^3}}v\right)& =6x^2\\ \text{Integralkan kedua}& \text{ruas}\\ \int {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}\left({\displaystyle \frac{1}{x^3}}v\right)\text{d}x& =\int 6x^2\text{d}x\\ {\displaystyle \frac{1}{x^3}}v& =2x^3+C\\ v& =2x^6+C{x}^3\\ \text{Substitusi kembali}& v=y^{-3}\\ y^{-3}& =2x^6+C{x}^3\end{array}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial itu adalah $\boxed{{\displaystyle y^{-3}=2x^6+C{x}^3}}$

Perhatikan bahwa persamaan diferensial di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}t}}+{\displaystyle \frac{t+1}{2t}}x& ={\displaystyle \frac{t+1}{xt}}\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}x\\ x{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}t}}+{\displaystyle \frac{t+1}{2t}}{x}^2& ={\displaystyle \frac{t+1}{t}}\end{array}$
Bentuk di atas tidak akan bisa diubah menjadi persamaan diferensial linear orde satu apabila tidak menggunakan permisalan.
Misalkan $v=x^2$, sehingga ${\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}=2x{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}t}}$ yang ekuivalen dengan $x{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}$.
Dengan demikian, bentuk terakhir tadi dapat ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}+{\displaystyle \frac{t+1}{2t}}v& ={\displaystyle \frac{t+1}{t}}\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}2& \\ {\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}+{\displaystyle \frac{t+1}{t}}v& ={\displaystyle \frac{2(t+1)}{t}}\end{array}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(t)={\displaystyle \frac{t+1}{t}}$, sehingga
${\displaystyle \int p(t)\text{d}t=\int {\displaystyle \frac{t+1}{t}}\text{d}t=t+\ln t}$
Diperoleh faktor integrasinya, yakni $v(t)=t+\ln t$.
Dengan demikian, persamaan diferensial ${\displaystyle \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}+{\displaystyle \frac{t+1}{t}}v={\displaystyle \frac{2(t+1)}{t}}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle v}& =e^{-v(t)}\cdot \int e^{v(t)}\cdot {\displaystyle \frac{2(t+1)}{t}}\text{d}t\\ & =e^{-t-\ln t}\int e^{t+\ln t}\cdot {\displaystyle \frac{2(t+1)}{t}}\text{d}t\\ & =e^{-t}\cdot t^{-1}\int e^t\cdot \cancel{t}\cdot {\displaystyle \frac{2(t+1)}{\cancel{t}}}\text{d}t\\ & =2e^{-t}\cdot t^{-1}\int (t{e}^t+e^t)\text{d}t\\ & =2e^{-t}\cdot t^{-1}(t{e}^t-\cancel{e^t}+\cancel{e^t}+C)\\ & =2e^{-t}{t}^{-1}(t{e}^t+C)\\ y^2& =2e^{-t}{t}^{-1}(t{e}^t+C)\end{array}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle y^2=2e^{-t}{t}^{-1}(t{e}^t+C)}}$

Apabila persamaan itu dibagi $a$ pada kedua ruasnya, diperoleh
${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+{\displaystyle \frac{b}{a}}y={\displaystyle \frac{k{e}^{-\lambda x}}{a}}$
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu.
Diketahui $p(x)={\displaystyle \frac{b}{a}}$, sehingga
${\displaystyle \int p(x)\text{d}x=\int {\displaystyle \frac{b}{a}}\text{d}x={\displaystyle \frac{b}{a}}x}$
Jadi, faktor integrasinya adalah $e^{\int p(x)\text{d}x}=e^{\frac{b}{a}x}$
Dengan demikian, dapat langsung kita tuliskan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& =e^{-\frac{b}{a}x}\int e^{\frac{b}{a}x}\cdot {\displaystyle \frac{k{e}^{-\lambda x}}{a}}\text{d}x\\ & ={\displaystyle \frac{k}{a}}{e}^{-\frac{b}{a}x}\int e^{(-\frac{b}{a}-\lambda )x}\text{d}x\\ & ={\displaystyle \frac{k}{a}}{e}^{-\frac{b}{a}x}(({\displaystyle \frac{b}{a}}-\lambda )e^{(-\frac{b}{a}–\lambda )x}+C)\end{array}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{k}{a}}{e}^{-\frac{b}{a}x}(({\displaystyle \frac{b}{a}}-\lambda )e^{(-\frac{b}{a}-\lambda )x}+C)}}$
Catatan: Notasi $\lambda$ dibaca: lambda.

Jelas bahwa persamaan diferensial di atas merupakan PD linear orde satu. Faktor integrasinya adalah
$\mu (t)={\displaystyle \exp \int (-{\displaystyle \frac{dt}{2}})=\exp (-{\displaystyle \frac{t}{2}})}$
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan mula-mula, sehingga diperoleh
$\exp (-{\displaystyle \frac{t}{2}})y^{\prime }–\exp (-{\displaystyle \frac{t}{2}}){\displaystyle \frac{y}{2}}=\exp (-{\displaystyle \frac{3t}{2}})$
Ruas kiri pada persamaan di atas merupakan turunan pertama dari $\exp (-{\displaystyle \frac{t}{2}})y$ terhadap $x$, sehingga dapat ditulis menjadi
${\displaystyle {(\exp (-{\displaystyle \frac{t}{2}})y)}^{\prime }=\exp (-{\displaystyle \frac{3t}{2}})}$
Integrasikan kedua ruas terhadap $t$, sehingga didapat
${\displaystyle \exp (-{\displaystyle \frac{t}{2}})y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\exp (-{\displaystyle \frac{3t}{2}})+C}$
Oleh karena itu, didapat
$y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\exp (-t)+C\exp \left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)$
Untuk menemukan kondisi awal, substitusikan $t=0$ dan $y=-1$
$\begin{array}{rl}-1& =-{\displaystyle \frac{2}{3}}\exp (0)+C\exp \left({\displaystyle \frac{0}{2}}\right)\\ & \iff C=-1+{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$
Jadi, solusi dari masalah nilai awal yang diberikan adalah
$\boxed{{\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\exp (-t)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\exp \left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)}}$
Catatan: Diberikan kesepakatan penulisan bahwa $\boxed{{\displaystyle e^x=\exp (x)}}$.

Karena $f$ dan $g$ merupakan solusi dari persamaan diferensial ${\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+p(x)y=0$, maka berlaku
$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}}+p(x)f& =0& & (\cdots 1)\\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}+p(x)y& =0& & (\cdots 2)\end{array}$
Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, akan dibuktikan bahwa $c_{1}f+c_{2}g$ juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\text{d}(c_{1}f+c_{2}g)}{\text{d}x}}+p(x)(c_{1}f+c_{2}g)\\ & ={\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(c_{1}f)+{\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}(c_{2}g)+p(x)c_{1}f+p(x)c_{2}g\\ & =c_1({\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}}+p(x)f)+c_2({\displaystyle \frac{\text{d}g}{\text{d}x}}+p(x)g)\\ & =c_1(0)+c_2(0)=0\end{array}$$Jadi, pernyataan tersebut terbukti benar. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$