Peluang Archives — Page 15 of 18

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan Ujian Sekolah Berstandar Nasional (USBN) Tahun Ajaran 2018/2019 Tingkat SMK yang disusun oleh Dinas Pendidikan dan Kebudayaan Provinsi Kalimantan Barat. Pembahasan soal dibuat semata-mata bertujuan untuk membantu para siswa dalam mempersiapkan diri menghadapi USBN atau ujian terkait mendatang.

Ayo: Download (Unduh) Soal UN/USBN Bidang Matematika Tingkat SMK

Unduh file soal (PDF, 409 KB): Download

Quote by Albert Einstein

A ship is always safe at the shore, but that is not what it is built for.
(Sebuah kapal akan selalu aman jika terus berada di tepi pantai, tetapi bukan untuk itu kapal dibangun).

Petunjuk Khusus:
Untuk soal nomor 1 sampai dengan 35, pilihlah satu jawaban dengan memberi tanda silang (X) pada huruf jawaban A, B, C, D, atau E yang Anda anggap benar!

Soal Nomor 1
Bentuk sederhana dari ${(\frac{a^{2} b^{3} c^{- 2}}{a^{- 1} b^{2} c^{- 1}})}^{2}$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{a^{6} b^{2}}{c^{2}}$ D. $\frac{a^{3}}{b^{2} c^{3}}$
B. $\frac{a^{6} b^{2}}{c^{3}}$ E. $\frac{1}{a^{6} b^{2} c^{3}}$
C. $\frac{a^{4}}{b^{2} c^{3}}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat perpangkatan (eksponen), diperoleh
$\begin{aligned} {(\frac{a^{2} b^{3} c^{- 2}}{a^{- 1} b^{2} c^{- 1}})}^{2} & = {(\frac{a^{2 - (- 1)} b^{3 - 2}}{c^{- 1 - (- 2)}})}^{2} \\ = {(\frac{a^{3} b}{c})}^{2} \\ = \frac{a^{6} b^{2}}{c^{2}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari ${(\frac{a^{2} b^{3} c^{- 2}}{a^{- 1} b^{2} c^{- 1}})}^{2}$ adalah $\frac{a^{6} b^{2}}{c^{2}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 2
Bentuk sederhana dari $\frac{8}{3 - \sqrt{5}}$ adalah $\dots \cdot$
A. $- 6 - \sqrt{5}$ D. $6 + \sqrt{5}$
B. $- 6 + \sqrt{5}$ E. $6 + 2 \sqrt{5}$
C. $6 - \sqrt{5}$

Pembahasan

Rasionalkan penyebut pecahan dengan mengalikan bentuk akar sekawannya.
$\begin{aligned} \frac{8}{3 - \sqrt{5}} & = \frac{8}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \\ = \frac{8 (3 + \sqrt{5})}{3^{2} - (\sqrt{5})^{2}} \\ = \frac{8 (3 + \sqrt{5})}{9 - 5} \\ = \frac{8^{2} (3 + \sqrt{5})}{4} \\ = 6 + 2 \sqrt{5} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\frac{8}{3 - \sqrt{5}}$ adalah $6 + 2 \sqrt{5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Hasil dari $^{3} \log 18 -^{3} \log 4 +^{3} \log 12 -^{3} \log 2$ adalah $\dots \cdot$
A. $0$ C. $2$ E. $4$
B. $1$ D. $3$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^{3} \log 18 -^{3} \log 4 +^{3} \log 12 -^{3} \log 2 \\ =^{3} \log (18 \div 4 \times 12 \div 2) \\ =^{3} \log 27 = 3 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $^{3} \log 18 -^{3} \log 4 +^{3} \log 12 -^{3} \log 2 = 3$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear $2 x + 5 y = 4$ dan $3 x - 2 y = - 13$ adalah $\dots \cdot$
A. ${- 3, 2}$ D. ${- 2, 3}$
B. ${3, - 2}$ E. ${2, - 3}$
C. ${- 3, - 2}$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi (gabungan), akan dicari penyelesaian SPLDV di atas.
$\begin{aligned} \begin{aligned} 2 x + 5 y & = 4 \\ 3 x - 2 y & = - 13 \end{aligned} | \begin{matrix} \times 3 \\ \times 2 \end{matrix} | & \begin{aligned} 6 x + 15 y & = 12 \\ 6 x - 4 y & = - 26 \end{aligned} \\ - \\ \begin{aligned} 19 y & = 38 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan $y = 2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $2 x + 5 y = 4$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2 x + 5 (2) & = 4 \\ 2 x + 10 & = 4 \\ 2 x & = - 6 \\ x & = - 3 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah ${- 3, 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – SPLDV

Soal Nomor 5
Diketahui matriks $A = (\begin{matrix} 3 & 1 & - 2 \\ 2 & 2 & - 1 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix})$ , dan $C = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & 1 & 0 \end{matrix})$ . Hasil dari $A + B - C =$ $\dots \cdot$
A. $(\begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & - 1 \end{matrix})$
B. $(\begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 5 & 2 & - 1 \end{matrix})$
C. $(\begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 7 & 2 & - 1 \end{matrix})$
D. $(\begin{matrix} 3 & 0 & - 2 \\ 3 & 2 & - 1 \end{matrix})$
E. $(\begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & - 1 \end{matrix})$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks, diperoleh
$\begin{aligned} A + B - C \\ = (\begin{array}{c} 3 & 1 & - 2 \\ 2 & 2 & - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 3 + 1 - 1 & 1 + 0 - 1 & - 2 + 2 - (- 2) \\ 2 + 3 - (- 2) & 2 + 1 - 1 & - 1 + 0 - 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 \\ 7 & 2 & - 1 \end{array}) \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $A + B - C = (\begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 7 & 2 & - 1 \end{matrix})$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 6
Diketahui matriks $A = (\begin{matrix} 3 a - b & - 4 \\ 8 & - 2 \end{matrix})$ dan $B = (\begin{matrix} 8 & a - 3 \\ 4 & - c \end{matrix})$ . Jika $A = 2 B$ , maka nilai $a, b$ , dan $c$ adalah $\dots \cdot$
A. $a = - 4, b = - 13$ , dan $c = - 2$
B. $a = - 1, b = - 13$ , dan $c = 2$
C. $a = 1, b = - 13$ , dan $c = 1$
D. $a = 1, b = 12$ , dan $c = 1$
E. $a = 1, b = 12$ , dan $c = 2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} A & = 2 B \\ (\begin{array}{c} 3 a - b & - 4 \\ 8 & - 2 \end{array}) & = 2 (\begin{array}{c} 8 & a - 3 \\ 4 & - c \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 3 a - b & - 4 \\ 8 & - 2 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 16 & 2 (a - 3) \\ 8 & - 2 c \end{array}) \end{aligned}$
Dengan menggunakan kesamaan matriks pada entri baris ke-2 kolom ke-2, diperoleh
$- 2 = - 2 c \Leftrightarrow c = 1.$
Pada entri baris ke-1 kolom ke-2, diperoleh
$\begin{aligned} - 4 & = 2 (a - 3) \\ \Leftrightarrow a - 3 & = - 2 \\ \Leftrightarrow a & = 1. \end{aligned}$
Pada entri baris ke-1 kolom ke-1, diperoleh
$\begin{aligned} 3 a - b & = 16 \\ 3 (1) - b & = 16 \\ 3 - b & = 16 \\ b & = 3 - 16 = - 13. \end{aligned}$
Jadi, nilai $a = 1, b = - 13$ , dan $c = 1$ .
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika matriks $A = (\begin{matrix} - 2 & - 5 \\ 1 & 3 \end{matrix})$ , invers matriks $A$ adalah $\dots \cdot$
A. $(\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{matrix})$
B. $(\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 1 & - 2 \end{matrix})$
C. $(\begin{matrix} - 3 & - 5 \\ 1 & 2 \end{matrix})$
D. $(\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$
E. $(\begin{matrix} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$

Pembahasan

Diketahui $A = (\begin{matrix} - 2 & - 5 \\ 1 & 3 \end{matrix})$
Determinan matriks ini adalah
$\begin{aligned} det (A) & = - 2 (3) - (- 5) (1) \\ = - 6 + 5 = - 1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ , maka inversnya adalah
$A^{- 1} = \frac{1}{det (A)} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$\begin{aligned} A^{- 1} & = \frac{1}{- 1} (\begin{array}{c} 3 & - (- 5) \\ - 1 & - 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 1 & 2 \end{array}) \end{aligned}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $(\begin{matrix} - 3 & - 5 \\ 1 & 2 \end{matrix})$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui barisan aritmetika dengan besar suku ke- $10 = 20$ dan suku ke- $24 = 48$ . Suku ke- $50$ barisan tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $100$ C. $106$ E. $116$
B. $102$ D. $108$

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke- $n$ barisan aritmetika adalah $U_{n} = a + (n - 1) b$ . Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \frac{U_{24} - U_{10}}{24 - 10} = \frac{48 - 20}{14} = 2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $U_{10} = 20$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} U_{10} = a + 9 b & = 20 \\ a + 9 (2) & = 20 \\ a + 18 & = 20 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Suku ke- $50$ barisan tersebut adalah
$U_{50} = a + 49 b = 2 + 49 (2) = 100$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 9
Negasi dari pernyataan, “Jika guru kesenian datang, maka semua siswa senang” adalah $\dots \cdot$

Jika guru kesenian datang, maka ada siswa yang tidak senang
Guru kesenian datang dan semua siswa senang
Guru kesenian datang dan ada siswa senang
Jika guru kesenian tidak datang, maka ada siswa yang tidak senang
Guru kesenian datang dan ada siswa yang tidak senang

Pembahasan

Pernyataan di atas merupakan bentuk implikasi: Jika $p$ , maka $q$ .
Misalkan
$p$ : Guru kesenian datang
$q$ : Semua siswa senang
berarti
$\sim p$ : Guru kesenian tidak datang
$\sim q$ : Ada siswa yang tidak senang
Perhatikan bahwa
$p \Rightarrow q \equiv\sim p \lor q$
sehingga
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \land \sim q .$
Jadi, negasinya adalah “Guru kesenian datang dan ada siswa yang tidak senang”.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Akar-akar persamaan kuadrat $4 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ adalah $\dots \cdot$
A. $- 3$ atau $\frac{1}{2}$
B. $- \frac{3}{4}$ atau $1$
C. $- \frac{1}{2}$ atau $\frac{3}{2}$
D. $- \frac{3}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
E. $- \frac{1}{4}$ atau $3$

Pembahasan

Alternatif 1: Metode Pemfaktoran
Pada bentuk persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ , harus dicari dua bilangan yang bila dikalikan, hasilnya adalah $a c$ , namun bila dijumlahkan, hasilnya $b$ , dengan pemfaktorannya berupa
$\frac{(a x + ?) (a x - ?)}{a} = 0$
Diketahui $4 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ . Dalam hal ini, dua bilangan yang dimaksud bila dikalikan, hasilnya $4 (- 3) = - 12$ , dan bila dijumlahkan, hasilnya $4$ . Dua bilangan itu adalah $+ 6$ dan $- 2$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x - 3 & = 0 \\ \frac{(4 x + 6) (4 x - 2)}{4} & = 0 \\ \frac{2 (2 x + 3) 2 (2 x - 1)}{4} & = 0 \\ (2 x + 3) (2 x - 1) & = 0 \end{aligned}$
Penyelesaian pertama adalah
$2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2 x = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} .$
Penyelesaian kedua adalah
$2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$
Alternatif 2: Metode Kuadrat Sempurna
$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x - 3 & = 0 \\ 4 (x^{2} + x) - 3 & = 0 \\ 4 ({(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}) - 3 & = 0 \\ 4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 3 & = 0 \\ 4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} & = 4 \\ {(x + \frac{1}{2})}^{2} & = 1 \\ x + \frac{1}{2} & = \pm 1 \\ x & = \pm 1 - \frac{1}{2} \\ x_{1} & = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ x_{2} & = - 1 - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \end{aligned}$ Alternatif 3: Rumus Kuadrat (ABC)
Dari persamaan $4 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ , diketahui nilai $a = 4, b = 4$ , dan $c = - 3$ .
$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4)^{2} - 4 (4) (- 3)}}{2 (4)} \\ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} \\ = \frac{- 4 \pm 8}{8} \\ x_{1} & = \frac{- 4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ x_{2} & = \frac{- 4 - 8}{8} = \frac{- 12}{8} = - \frac{3}{2} \end{aligned}$
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah $- \frac{3}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan -Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 11
Seorang peternak memiliki ternak tidak lebih dari $12$ ekor yang terdiri dari sapi dan kambing. Si peternak akan menjual semua ternaknya minimal seharga Rp $23.500 .000, 00$ . Harga seekor sapi Rp $4.000 .000, 00$ dan harga seekor kambing Rp $500.000, 00$ . Jika banyaknya sapi adalah $x$ dan banyaknya kambing adalah $y$ , maka model matematika dari persoalan tersebut adalah $\dots \cdot$

$x + y \leq 12; 8 x + y \leq 47;$ $x \geq 0; y \geq 0$
$x + y \leq 12; 8 x + y \geq 47;$ $x \geq 0; y \geq 0$
$x + y \leq 12; x + 8 y \leq 47;$ $x \geq 0; y \geq 0$
$x + y \geq 12; x + 8 y \leq 47;$ $x \geq 0; y \geq 0$
$x + y \geq 12; 8 x + y \geq 47;$ $x \geq 0; y \geq 0$

Pembahasan

Diketahui $x$ menyatakan banyaknya sapi dan $y$ menyatakan banyaknya kambing, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$\begin{array}{cccc} Sapi & Kambing & Kapasitas \\ Kuantitas & 1 & 1 & \leq 12 \\ Harga & 4.000 .000 & 500.000 & \geq 23.500 .000 \end{array}$ ${\begin{cases} x + y \leq 12 \\ 4.000 .000 x + 500.000 y \geq 23.500 .000 \Rightarrow 8 x + y \geq 47 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ (Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Program Linear

Soal Nomor 12
Suatu pabrik roti akan membuat dua jenis roti, yaitu roti jenis I dan II. Pembuatan roti jenis I membutuhkan $250$ gram terigu dan $30$ gram mentega, sedangkan pembuatan roti jenis II membutuhkan $100$ gram terigu dan $60$ gram mentega. Pabrik tersebut hanya menyediakan $4$ kg terigu dan $1, 2$ kg mentega. Jika harga roti jenis I Rp $25.000, 00$ /bungkus dan jenis II Rp $32.000, 00$ /bungkus, penghasilan maksimum dari penjualan roti tersebut adalah $\dots \cdot$
A. Rp $400.000, 00$
B. Rp $525.000, 00$
C. Rp $640.000, 00$
D. Rp $730.000, 00$
E. Rp $900.000, 00$

Pembahasan

Misalkan banyaknya roti jenis I dan II yang dibuat berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$ . Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$\begin{array}{cccc} Roti Jenis I & Roti Jenis II & Kapasitas \\ Terigu & 250 & 100 & \leq 4.000 \\ Mentega & 30 & 60 & \leq 1.200 \end{array}$ Keterangan: $1$ kg = $1.000$ gram.
${\begin{cases} 250 x + 100 y \geq 4.000 \Leftrightarrow 5 x + 2 y \leq 80 \\ 30 x + 60 y \geq 1.200 \Leftrightarrow x + 2 y \leq 40 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ Fungsi objektif dari masalah ini dinyatakan oleh $P = 25.000 x + 32.000 y$ . Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah titik $A, B$ , dan $C$ .
Titik $A$ merupakan titik potong garis $5 x + 2 y = 80$ terhadap sumbu- $X$ sehingga absisnya adalah
$5 x + 2 (0) = 80 \Leftrightarrow x = \frac{80}{5} = 16.$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(16, 0)$ .
Titik $B$ merupakan titik potong garis $5 x + 2 y = 80$ dan $x + 2 y = 40$ .
Dengan menggunakan penyelesaian SPLDV, diperoleh koordinat titik $B$ , yaitu $(10, 15)$ .
Titik $C$ merupakan titik potong garis $x + 2 y = 40$ terhadap sumbu- $Y$ sehingga ordinatnya adalah
$0 + 2 y = 40 \Leftrightarrow y = 20.$
Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(0, 20)$ .
Uji ketiga titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 25.000 x + 32.000 y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{cc} Titik Pojok & P = 25.000 x + 32.000 y \\ A (16, 0) & 400.000 \\ B (10, 15) & 730.000 \\ C (0, 20) & 640.000 \end{array}$ Dari tabel di atas, tampak bahwa penghasilan maksimum tercapai saat menjual $10$ bungkus roti jenis I dan $15$ bungkus roti jenis II, yakni $Rp 730.000, 00$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut: $3 + 6 + 12 + \dots$
Jumlah $5$ suku pertama barisan tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $48$ C. $81$ E. $101$
B. $60$ D. $93$

Pembahasan

Deret geometri di atas memiliki suku pertama $a = 3$ dan $r = 2$ (polanya dikali $2$ ).
Perhatikan bahwa suku ke- $4$ deret itu adalah $U_{4} = 12 \times 2 = 24$ ,
sedangkan suku ke- $5$ deret itu adalah $U_{5} = 24 \times 2 = 48$ .
Tanpa perlu menggunakan rumus jumlah deret geometri, akan dihitung jumlah $5$ suku pertama barisan tersebut secara langsung (karena masih sangat memungkinkan).
$S_{5} = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$
Jadi, jumlah $5$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $93$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Seorang pekerja bangunan membeli $3$ kaleng cat dan $2$ kuas seharga Rp $140.000, 00$ . Keesokan harinya, pekerja tersebut membeli lagi $2$ kaleng cat dan $1$ kuas dengan merek dan di toko yang sama seharga Rp $91.500, 00$ . Harga sekaleng cat dan satu kuas adalah $\dots \cdot$
A. Rp $46.000, 00$
B. Rp $48.500, 00$
C. Rp $51.000, 00$
D. Rp $53.500, 00$
E. Rp $55.000, 00$

Pembahasan

Misalkan $x$ = harga $1$ kaleng cat dan $y$ = harga $1$ kuas sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
${\begin{cases} 3 x + 2 y = 140.000 & (\dots 1) \\ 2 x + y = 91.500 & (\dots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{aligned} 3 x + 2 y & = 140.000 \\ 2 x + y & = 91.500 \end{aligned} | \begin{matrix} \times 1 \\ \times 2 \end{matrix} | & \begin{aligned} 3 x + 2 y & = 140.000 \\ 4 x + 2 y & = 183.000 \end{aligned} \\ - \\ \begin{aligned} x & = 43.000 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusikan (gantikan) $x = 43.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan kedua.
$\begin{aligned} 2 x + y & = 91.500 \\ 2 (43.000) + y & = 91.500 \\ 86.000 + y & = 91.500 \\ y & = 91.500 - 86.000 \\ y & = 5.500 \end{aligned}$
Dengan demikian, harga sekaleng cat dan satu kuas adalah
$x + y = 43.000 + 5.500 = Rp 48.500, 00$ (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 15 ( $★$ HOTS $★$ )
Suatu jenis usaha kecil menengah memproduksi dua model sepatu, yaitu sepatu model A dan B yang menggunakan bahan baku dari dua jenis kulit dengan kualitas berbeda. Untuk membuat sepatu model A menghabiskan $30 {cm}^{2}$ bahan jenis I dan $25 {cm}^{2}$ bahan jenis II, sedangkan untuk membuat sepatu model B menghabiskan $40 {cm}^{2}$ bahan jenis I dan $15 {cm}^{2}$ bahan jenis II. Banyak bahan yang disediakan per minggu paling sedikit $3.900 {cm}^{2}$ bahan jenis I dan $2.150 {cm}^{2}$ bahan jenis II. Harga jual sepatu model A adalah Rp $250.000, 00$ dan Rp $200.000, 00$ untuk model B. Pernyataan berikut yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah $\dots \cdot$

Hasil penjualan terbesar diperoleh jika memproduksi sepatu model A dan B dalam jumlah yang sama banyak
Hasil penjualan terbesar diperoleh jika memproduksi kedua model sepatu dalam jumlah yang berbeda
Hasil penjualan terkecil diperoleh jika hanya memproduksi sepatu model A
Hasil penjualan terkecil diperoleh jika hanya memproduksi sepatu model B
Hasil penjualan terkecil diperoleh jika memproduksi sepatu model A dan B dengan perbandingan $5 : 6$

Pembahasan

Misalkan banyaknya sepatu model A dan B yang dibuat berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$ . Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$\begin{array}{cccc} Sepatu Model A & Sepatu Model B & Kapasitas \\ Bahan Jenis I & 30 & 40 & \geq 3.900 \\ Bahan Jenis II & 25 & 15 & \geq 2.150 \end{array}$ Keterangan: Tanda $\geq$ muncul dari kata “paling sedikit”.
${\begin{cases} 30 x + 40 y \geq 3.900 \Leftrightarrow 3 x + 4 y \geq 390 \\ 25 x + 15 y \geq 2.150 \Leftrightarrow 5 x + 3 y \geq 430 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ Fungsi objektif dari masalah ini dinyatakan oleh $P = 250.000 x + 200.000 y$ . Dalam hal ini, akan dicari nilai minimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah titik $A, B$ , dan $C$ .
Titik $A$ merupakan titik potong garis $5 x + 3 y = 430$ terhadap sumbu- $Y$ sehingga ordinatnya adalah
$5 (0) + 3 y = 430 \Leftrightarrow y = \frac{430}{3} .$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(0, \frac{430}{3})$ .
Titik $B$ merupakan titik potong garis $5 x + 3 y = 430$ dan $3 x + 4 y = 390$ . Koordinatnya dapat ditentukan dengan menggunakan konsep SPLDV.
$\begin{aligned} \begin{aligned} 5 x + 3 y & = 430 \\ 3 x + 4 y & = 390 \end{aligned} | \begin{matrix} \times 4 \\ \times 3 \end{matrix} | & \begin{aligned} 20 x + 12 y & = 1720 \\ 9 x + 12 y & = 1170 \end{aligned} \\ - \\ \begin{aligned} 11 x & = 550 \Leftrightarrow x = 50 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusikan $x = 50$ pada salah satu persamaan, misalnya pada $3 x + 4 y = 390$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 3 (50) + 4 y & = 390 \\ \Leftrightarrow 4 y & = 240 \\ \Leftrightarrow y & = 60. \end{aligned}$ $J a d i, k o o r d i n a t t i t i k$ B $a d a l a h$ (50, 60) $. T i t i k$ C $m e r u p a k a n t i t i k p o t o n g g a r i s$ 3x+4y=390 $t e r h a d a p s u m b u -$ X $s e h i n g g a a b s i s n y a a d a l a h$ 3x + 4(0) = 390 \Leftrightarrow x = 130. $J a d i, k o o r d i n a t t i t i k$ C $a d a l a h$ (130, 0). $U j i k e t i g a t i t i k p o j o k n y a p a d a f u n g s i o b j e k t i f$ P = 250.000x + 200.000y $d e n g a n m e n g g u n a k a n t a b e l s e p e r t i d i b a w a h .$ $\begin{array}{cc} Titik Pojok & P = 250.000 x + 200.000 y \\ A (0, \frac{430}{3}) & \frac{86.000 .000}{3} \\ B (50, 60) & 24.500 .000 \\ C (130, 0) & 32.500 .000 \end{array}$ $D a r i t a b e l d i a t a s, t a m p a k b a h w a h a s i l p e n j u a l a n m i n i m u m (t e r k e c i l) t e r c a p a i k e t i k a m e m p r o d u k s i s e p a t u m o d e l$ A $d a n$ B $m a s i n g - m a s i n g$ 50 $u n i t d a n$ 60 $u n i t s e h i n g g a p e r b a n d i n g a n n y a a d a l a h$ 5 : 6$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $8$ meter dan setelah menyentuh lantai, bola memantul dengan lintasan vertikal ke atas. Setelah mencapai ketinggian tertentu, bola turun kembali dan ketika sampai di lantai, bola memantul kembali, begitu seterusnya sampai bola berhenti. Hasil pengamatan diperoleh bahwa setiap pantulan mempunyai ketinggian $\frac{3}{5}$ dari ketinggian pada lintasan sebelumnya. Perkiraan panjang lintasan bola dari mulai dijatuhkan sampai berhenti adalah $\dots \cdot$
A. $30 m$ D. $42 m$
B. $32 m$ E. $48 m$
C. $40 m$

Pembahasan

Kasus ini merupakan kasus deret geometri tak hingga.
Alternatif I:
Diketahui:
(Untuk lintasan bola ke bawah)
$a = 8$ dan $r = \frac{3}{5}$
(Untuk lintasan bola ke atas)
$a = 8 \times \frac{3}{5} = \frac{24}{5}$ dan $r = \frac{3}{5}$
Panjang lintasan bola ke arah bawah dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} S_{1} & = \frac{a}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{3}{5}} \\ = \frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \times \frac{5}{2} = 20 \end{aligned}$
Panjang lintasan bola ke arah atas dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} S_{2} & = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{24}{5}}{1 - \frac{3}{5}} \\ = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{24}{5} \times \frac{5}{2} = 12 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $20 + 12 = 32 m$
Alternatif II:
Untuk kasus jatuhnya bola seperti soal ini, terdapat rumus khususnya, yaitu
$S_{\infty} = h + 2 (\frac{a}{1 - r})$
di mana $h$ adalah ketinggian dijatuhkannya bola, $a$ ketinggian bola setelah pemantulan pertama, dan $r$ rasionya.
Diketahui: $h = 8, a = 8 \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{5}$ , dan $r = \frac{3}{5}$ .
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} S_{\infty} & = h + 2 (\frac{a}{1 - r}) \\ = 8 + 2 (\frac{\frac{24}{5}}{1 - \frac{3}{5}}) \\ = 8 + 2 (\frac{24^{12}}{5} \times \frac{5}{2}) \\ = 8 + 2 (12) = 32 \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan bola itu sampai berhenti adalah $20 + 12 = 32 m$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 17
Diketahui $\cos A = \frac{12}{13}$ , dengan $270^{\circ} \leq A \leq 360^{\circ}$ . Nilai $\tan A$ adalah $\dots \cdot$
A. $- \frac{5}{12}$ D. $\frac{5}{12}$
B. $- \frac{5}{13}$ E. $\frac{12}{13}$
C. $\frac{5}{13}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $A$ berada di kuadran $4$ sehingga cosinus sudutnya bernilai positif, sedangkan tangen sudutnya bernilai negatif.

Karena $\cos A = \frac{12}{13}$ , maka bisa dianggap bahwa panjang sisi samping sudutnya $12$ , sedangkan panjang sisi hipotenusanya $13$ (cos = sa/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian,
$de = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{25} = 5.$
Untuk itu,
$\tan α = - \frac{de}{sa} = - \frac{5}{12} .$
(Tangen sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran $4$ )
Jadi, nilai dari $\tan α = - \frac{5}{12}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Soal Nomor 18
Perhatikan gambar kubus berikut.

Ruas garis berikut yang merupakan diagonal bidang pada kubus tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $A B$ C. $A D$ E. $A G$
B. $A C$ D. $A E$

Pembahasan

Pada kubus $A B C D . E F G H$ , ruas garis $A B, A D$ , dan $A E$ merupakan rusuk kubus, ruas garis $A C$ merupakan diagonal bidang kubus pada sisi $A B C D$ (alas), sedangkan ruas garis $A G$ merupakan diagonal ruang kubus.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai dari $\sin 300^{\circ} =$ $\dots \cdot$
A. $0$ C. $- \frac{1}{2} \sqrt{2}$ E. $- 1$
B. $- \frac{1}{2}$ D. $- \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Pembahasan

Ingat bahwa $\sin (360 - x)^{\circ} = - \sin x$ sehingga
$\begin{aligned} \sin 300^{\circ} & = \sin (360 - 60)^{\circ} \\ = - \sin 60^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sin 300^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Persamaan bayangan garis $6 x - 5 y = 7$ oleh translasi $T = (\begin{matrix} 3 \\ - 8 \end{matrix})$ adalah $\dots \cdot$
A. $6 x + 5 y = 65$
B. $5 x + 6 y = - 2$
C. $6 x - 5 y = 65$
D. $5 x + 6 y = - 7$
E. $5 x - 6 y = 65$

Pembahasan

Hasil translasi oleh $T$ dijabarkan sebagai berikut.
$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + 3 \\ y - 8 \end{matrix})$
Diperoleh persamaan
$\begin{aligned} x^{'} & = x + 3 \Leftrightarrow x = x^{'} - 3 \\ y^{'} & = y - 8 \Leftrightarrow y = y^{'} + 8 \end{aligned}$
Substitusikan pada persamaan $6 x - 5 y = 7$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 6 (x^{'} - 3) - 5 (y^{'} + 8) & = 7 \\ 6 x^{'} - 18 - 5 y^{'} - 40 & = 7 \\ 6 x^{'} - 5 y^{'} & = 65 \end{aligned}$
Hilangkan tanda aksen. Jadi, persamaan bayangan garis hasil translasi tersebut adalah $6 x - 5 y = 65$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri

Soal Nomor 21
Diketahui kubus $A B C D . E F G H$ . Jika panjang rusuk kubus $8 cm$ dan titik $X$ merupakan titik di pertengahan rusuk $C G$ , maka jarak titik $A$ ke titik $X$ adalah $\dots \cdot$
A. $12 cm$ D. $18 cm$
B. $14 cm$ E. $21 cm$
C. $16 cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui panjang rusuk kubus $s = 8 cm$ . Tinjau segitiga siku-siku $A C X$ (siku-siku di $C$ ). Panjang $A C$ merupakan diagonal bidang kubus sehingga $A C = s \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} cm$ . Panjang $C X$ merupakan setengah dari panjang $C G$ sehingga $C X = 4 cm$ .
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} A X & = \sqrt{A C^{2} + C X^{2}} \\ = \sqrt{(8 \sqrt{2})^{2} + (4)^{2}} \\ = \sqrt{128 + 16} \\ = \sqrt{144} = 12 cm \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke titik $X$ adalah $12 cm$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga: Konsep Jarak

Soal Nomor 22
Diketahui segitiga $A B C$ dengan panjang sisi $a = 10 cm$ , $c = 12 cm$ , dan besar $∠ B = 150^{\circ}$ . Luas segitiga tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $20 {cm}^{2}$ D. $30 {cm}^{2}$
B. $24 {cm}^{2}$ E. $34 {cm}^{2}$
C. $28 {cm}^{2}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Untuk mencari luas $△ A B C$ , gunakan Aturan Luas Segitiga menurut Trigonometri.
$\begin{aligned} L_{△ A B C} & = \frac{1}{2} \times A B \times B C \times \sin B \\ = \frac{1}{2} \times 12^{6} \times 10 \times \sin 150^{\circ} \\ = 6 \times 10 \times \frac{1}{2} = 30 {cm}^{2} \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga tersebut adalah $30 {cm}^{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui segitiga $A B C$ dengan panjang sisi $A B = 10 cm$ dan $A C = 12 cm$ , Jika besar $∠ B A C = 120^{\circ}$ , panjang sisi $B C$ adalah $\dots \cdot$
A. $\sqrt{91} cm$ D. $6 \sqrt{31} cm$
B. $2 \sqrt{31} cm$ E. $6 \sqrt{41} cm$
C. $2 \sqrt{91} cm$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Panjang sisi $B C$ dapat ditentukan dengan menggunakn Aturan Cosinus.
$\begin{aligned} B C^{2} & = A B^{2} + A C^{2} - 2 (A B) (A C) \cos A \\ = (10)^{2} + (12)^{2} - 2 (10) (12) \cos 120^{\circ} \\ = 100 + 144 - 2 (120) \times (- \frac{1}{2}) \\ = 244 + 120 \\ B C & = \sqrt{364} = \sqrt{4 \times 91} = 2 \sqrt{91} cm \end{aligned}$ Jadi, panjang sisi $B C$ adalah $2 \sqrt{91} cm$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 100$ di titik $A (6, - 8)$ adalah $\dots \cdot$
A. $3 x - 4 y - 100 = 0$
B. $3 x - 4 y - 50 = 0$
C. $3 x - 4 y + 50 = 0$
D. $4 x - 3 y + 100 = 0$
E. $4 x - 3 y - 100 = 0$

Pembahasan

Persamaan garis singgung dari persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 100$ berbentuk $x x_{1} + y y_{1} = 100$ .
Substitusikan $x_{1} = 6$ dan $y_{1} = - 8$ sehingga diperoleh $6 x - 8 y = 100$ atau disederhanakan menjadi $3 x - 4 y - 50 = 0$
Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya.

(Jawaban B)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Lingkaran

Soal Nomor 25
Tersedia angka-angka $1, 2, 3, 4$ , dan $5$ . Dari angka-angka tersebut akan dibentuk susunan bilangan yang terdiri atas tiga angka dan tidak berulang. Banyaknya susunan bilangan yang terbentuk adalah $\dots \cdot$
A. $40$ bilangan D. $120$ bilangan
B. $60$ bilangan E. $122$ bilangan
C. $80$ bilangan

Pembahasan

Perhatikan skema filling slot berikut.

Untuk mengisi kotak ratusan, ada $5$ angka yang tersedia, yakni $1, 2, 3, 4, 5$ . Pilih salah satu bilangan, misalnya $5$ .
Untuk mengisi kotak puluhan, ada $4$ angka yang tersedia, yakni $1, 2, 3, 4$ . Pilih salah satu bilangan, misalnya $4$ .
Untuk mengisi kotak satuan, ada $3$ angka yang tersedia, yakni $1, 2, 3$ . Pilih salah satu bilangan, misalnya $3$ .
Dengan demikian, banyaknya susunan bilangan yang terbentuk adalah $5 \times 4 \times 3 = 60 bilangan$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26 ( $★$ HOTS $★$ )
Diagram batang berikut menunjukkan pergerakan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika Serikat selama enam hari.

Pernyataan yang sesuai dengan data pada diagram tersebut adalah $\dots \cdot$

Terjadi penurunan nilai tukar rupiah selama dua hari dalam sepekan
Penurunan nilai tukar rupiah tertinggi pada tanggal 6 Mei
Terjadi penurunan nilai tukar rupiah lebih dari $4 %$ pada tanggal 6 Mei
Terjadi penurunan nilai tukar rupiah selama tiga hari dalam sepekan
Rata-rata penurunan nilai tukar rupiah kurang dari $2 %$ selama enam hari

Pembahasan

Akan diperiksa kebenaran setiap pernyataan pada opsi jawaban yang diberikan.
Perhatikan bahwa penurunan nilai tukar rupiah ditunjukkan dengan semakin tingginya batang pada diagram di atas.
Opsi A: Pernyataan tidak sesuai karena penurunan nilai tukar rupiah terjadi selama tiga hari dalam sepekan, yaitu di tanggal $3, 4$ , dan $5$ Mei.
Opsi B dan C: Pernyataan tidak sesuai karena pada tanggal $6$ Mei justru terjadi penguatan rupiah yang ditandai dengan kenaikan nilai tukar rupiah (sehingga batangnya menurun).
Opsi D: Pernyataan sesuai.
Opsi E: Pernyataan tidak sesuai. Hal ini didasari oleh perhitungan sebagai berikut.
Pada tanggal $3$ Mei, persentase penurunan nilai tukar rupiah sebesar
$\begin{aligned} \frac{12.956 - 12.493}{12.493} \times 100 % \\ = \frac{463}{12.493} \times 100 % = 3, 706 % . \end{aligned}$
Pada tanggal $4$ Mei, persentase penurunan nilai tukar rupiah sebesar
$\begin{aligned} \frac{14.036 - 12.956}{12.956} \times 100 % \\ = \frac{1.080}{12.956} \times 100 % = 8, 336 % . \end{aligned}$
Pada tanggal $5$ Mei, persentase penurunan nilai tukar rupiah sebesar
$\begin{aligned} \frac{14.574 - 14.036}{14.036} \times 100 % \\ = \frac{538}{14.036} \times 100 % = 3, 833 % . \end{aligned}$
Ini berarti, rata-rata penurunannya selama $6$ hari adalah
$\begin{aligned} \frac{3, 706 % + 8, 336 % + 3, 833 %}{3} & = \frac{15, 925 %}{3} \\ = 5, 308 % . \end{aligned}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 27
Dua buah dadu berwarna hitam dan putih dilambungkan secara bersama-sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah $4$ atau $9$ adalah $\dots \cdot$
A. $\frac{1}{36}$ C. $\frac{7}{36}$ E. $\frac{13}{36}$
B. $\frac{4}{36}$ D. $\frac{9}{36}$

Pembahasan

Kemunculan mata dadu untuk dadu hitam dan putih agar jumlah mata dadunya $4$ atau $9$ dapat dilihat pada tabel berikut.
$\begin{array}{cc} Dad u Hitam & Dad u Putih \\ 1 & 3 \\ 3 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 6 \\ 6 & 3 \\ 4 & 5 \\ 5 & 4 \end{array}$
Ada $7$ anggota ruang sampel yang memenuhi dari $6 \times 6 = 36$ total anggota ruang sampel pada dua buah dadu. Dengan demikian, peluangnya sebesar $\frac{7}{36}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28
Perhatikan tabel berikut.
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 60 - 66 & 6 \\ 67 - 73 & 5 \\ 74 - 80 & 10 \\ 81 - 87 & 8 \\ 88 - 94 & 6 \end{array}$
Modus dari data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $77, 5$ C. $79, 0$ E. $80, 0$
B. $78, 5$ D. $79, 5$

Pembahasan

Perhatikan tabelnya.
$\begin{array}{cc} Nilai & Frekuensi \\ 60 - 66 & 6 \\ 67 - 73 & 5 \\ 74 - 80 & 10 \\ 81 - 87 & 8 \\ 88 - 94 & 6 \\ Jumlah & 35 \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $74 - 80$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_{0} = 74 - 0, 5 = 73, 5.$
Lebar kelas $c = 7.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_{1} = 10 - 5 = 5.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_{2} = 10 - 8 = 2.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} Mo & = L_{0} + c (\frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}) \\ = 73, 5 + 7 (\frac{5}{5 + 2}) \\ = 73, 5 + 5 \\ = 78, 5 \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $78, 5$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29
Tabel berikut menyatakan tinggi badan siswa di suatu kelas.
$\begin{array}{ccc} Tinggi (cm) & Frekuensi \\ 130 - 135 & 5 \\ 136 - 141 & 5 \\ 142 - 147 & 12 \\ 148 - 153 & 15 \\ 154 - 159 & 3 \end{array}$
Median data tersebut adalah $\dots \cdot$
A. $143, 5$ cm D. $146, 3$ cm
B. $144, 3$ cm E. $146, 5$ cm
C. $145, 5$ cm

Pembahasan

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif.
$\begin{array}{ccc} Tinggi (cm) & Frekuensi & Frekuensi Kumulatif \\ 130 - 135 & 5 & 5 \\ 136 - 141 & 5 & 10 \\ 142 - 147 & 12 & 22 \\ 148 - 153 & 15 & 37 \\ 154 - 159 & 3 & 40 \end{array}$ Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke- $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$ , yaitu pada kelas dengan rentang $142 - 147$ .
Tepi bawah kelas median $L_{0} = 142 - 0, 5 = 141, 5.$
Lebar kelas $c = 6.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median $\sum F_{k} = 10.$
Frekuensi kelas median $f_{m} = 12.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} Me & = L_{0} + c (\frac{\frac{n}{2} - \sum F_{k}}{f_{m}}) \\ = 141, 5 + 6 (\frac{\frac{40}{2} - 10}{12}) \\ = 141, 5 + 6 (\frac{5}{6}) \\ = 141, 5 + 5 \\ = 146, 5 cm \end{aligned}$
Jadi, median dari data pada tabel di atas adalah $146, 5 cm$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Statistika

Soal Nomor 30 ( $★$ HOTS $★$ )
Diagram garis berikut menunjukkan data pekerjaan orang tua siswa atau wali murid di suatu SMK.

Pernyataan berikut yang sesuai dengan data pada diagram garis tersebut adalah $\dots \cdot$

Sebanyak lebih dari $30 %$ orang tua siswa bekerja sebagai karyawan
Sebanyak lebih dari $36 %$ orang tua siswa berwirausaha
Persentase orang tua sebagai petani adalah $60 %$ lebih besar dibandingkan PNS
Persentase orang tua sebagai karyawan adalah $12 %$ lebih besar dibandingkan petani
Perbandingan banyak orang tua sebagai PNS dan karyawan adalah $1 : 12$

Pembahasan

Dari diagram garis tersebut, jumlah seluruh orang tua/wali siswa sebanyak $30 + 10 + 20 + 80 +$ $150 + 120 = 410$ orang.
Akan diperiksa kebenaran setiap pernyataan pada opsi jawaban yang diberikan.
Opsi A: Banyak orang yang bekerja sebagai karyawan adalah $120$ orang. Persentasenya sebesar $\frac{120}{410} \times 100 % \approx 29, 268 %$ . Jadi, pernyataannya tidak sesuai.
Opsi B: Banyak orang yang bekerja sebagai karyawan adalah $150$ orang. Persentasenya sebesar $\frac{150}{410} \times 100 % \approx 36, 585 %$ . Jadi, pernyataannya sesuai.
Opsi C: Banyak orang tua yang bekerja sebagai PNS adalah $20$ orang, sedangkan petani $80$ orang. Ini berarti, persentase orang tua sebagai petani adalah $\frac{80 - 20}{20} \times 100 % = 300 %$ lebih besar dibandingkan PNS. Jadi, pernyataannya tidak sesuai.
Opsi D: Banyak orang tua yang bekerja sebagai karyawan adalah $120$ orang, sedangkan petani $80$ orang. Ini berarti, persentase orang tua sebagai karyawan adalah $\frac{120 - 80}{80} \times 100 % = 50 %$ lebih besar dibandingkan petani. Jadi, pernyataannya tidak sesuai.
Opsi E: Banyak orang tua yang bekerja sebagai PNS adalah $20$ orang, sedangkan karyawan $120$ orang. Perbandingannya sebesar $20 : 120 = 1 : 6$ . Jadi, pernyataannya tidak sesuai.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 31
Nilai dari $lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 5 x + 6) =$ $\dots \cdot$
A. $4$ C. $12$ E. $32$
B. $8$ D. $24$

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 2$ pada fungsi menghasilkan
$\begin{aligned} lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 5 x + 6) & = 2 (2)^{2} - 5 (2) + 6 \\ = 8 - 10 + 6 = 4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 5 x + 6) = 4$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 32
Turunan pertama dari fungsi $f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6$ adalah $\dots \cdot$
A. $3 x^{3} + 4 x^{2} + 6$
B. $3 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 6$
C. $9 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 6$
D. $9 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x$
E. $9 x^{2} + 4 x + 6$

Pembahasan

Diketahui $f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6.$
Dengan menggunakan Aturan Pangkat dalam Turunan: $f (x) = a x^{n} ⟹ f^{'} (x) = a n x^{n - 1}$ , diperoleh
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 3 (3) x^{3 - 1} + 2 (2) x^{2 - 1} + 6 (1) x^{1 - 1} + 0 \\ = 9 x^{2} + 4 x + 6 \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari fungsi $f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6$ adalah $f^{'} (x) = 9 x^{2} + 4 x + 6$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 33
Jika diketahui $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 6$ , maka nilai dari turunan pertama $f^{'} (1)$ adalah $\dots \cdot$
A. $8$ C. $12$ E. $20$
B. $10$ D. $16$

Pembahasan

Diketahui $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x$ $+ 6.$
Dengan menggunakan Aturan Pangkat dalam Turunan: $f (x) = a x^{n} ⟹ f^{'} (x) = a n x^{n - 1}$ , diperoleh turunan pertama fungsi $f$ , yaitu
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = 2 (3) x^{3 - 1} + 5 (2) x^{2 - 1} + 4 (1) x^{1 - 1} + 0 \\ = 6 x^{2} + 10 x + 4 \end{aligned}$ Substitusi $x = 1$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} f^{'} (1) & = 6 (1)^{2} + 10 (1) + 4 \\ = 6 + 10 + 4 = 20 \end{aligned}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 34
Hasil dari $\int (8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 4) d x$ adalah $\dots \cdot$
A. $8 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + C$
B. $24 x^{3} - 6 x^{2} + x + C$
C. $24 x^{2} - 6 x + C$
D. $2 x^{4} - x^{3} + x^{2} + 4 x + C$
E. $8 x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C$

Pembahasan

Dengan menggunakan Aturan Pangkat dalam Integral, diperoleh
$\begin{aligned} \int (8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 4) d x \\ = \frac{8}{3 + 1} x^{3 + 1} - \frac{3}{2 + 1} x^{2 + 1} + \frac{2}{1 + 1} x^{1 + 1} + 4 x + C \\ = 2 x^{4} - x^{3} + x^{2} + 4 x + C \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\int (8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 4) d x$ adalah $2 x^{4} - x^{3} + x^{2} + 4 x + C$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 35
Interval nilai $x$ agar $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ $+ 3 x + 5$ naik adalah $\dots \cdot$
A. $1 < x < 3$
B. $- 1 < x < 3$
C. $- 3 < x < 1$
D. $x < - 3$ atau $x > 1$
E. $x < 1$ atau $x > 3$

Pembahasan

Dengan menggunakan Aturan Pangkat dalam Turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $f$ , yakni
$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{1}{3} (3) x^{3 - 1} - 2 (2) x^{2 - 1} + 3 (1) x^{1 - 1} + 0 \\ = x^{2} - 4 x + 3 \end{aligned}$ Fungsi $f (x)$ naik ketika $f^{'} (x) > 0$ , atau ditulis
$ $\begin{aligned} x^{2} - 4 x + 3 & > 0 \\ \Leftrightarrow (x - 3) (x - 1) & > 0. \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $x = 3$ atau $x = 1$ .
Dengan menggunakan bantuan garis bilangan serta uji tanda $\pm$ seperti ilustrasi di bawah, diperoleh interval nilai $x$ yang memenuhi, yakni $x < 1$ atau $x > 3$ .

(Jawaban E)

[collapse]

Untuk soal nomor 36 sampai dengan 40, selesaikan dengan singkat dan tepat!

Soal Nomor 36
Suatu benda diluncurkan ke atas sehingga terbentuk lintasan pada ketinggian $h$ meter dalam setiap $t$ detik dirumuskan dengan $h (t) = 120 t - 3 t^{2}$ . Tentukan ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda tersebut.

Pembahasan

Perhatikan bahwa fungsi $h (t)$ merupakan suatu fungsi kuadrat dengan $a = - 3, b = 120$ , dan $c = 0$ (tidak ada konstanta). Karena $a$ bernilai negatif, maka grafik fungsi kuadrat (parabola) akan terbuka ke bawah sehingga memiliki nilai maksimum.
Sumbu simetri grafik fungsi kuadrat $h$ adalah
$t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{120}{2 (- 3)} = 20.$
Ketinggian maksimum (nilai maksimum) tercapai ketika saat $t = 20$ .
$\begin{aligned} f (t) & = 120 t - 3 t^{2} \\ = 120 (20) - 3 (20)^{2} \\ = 2400 - 1200 = 1200 \end{aligned}$
Jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda tersebut adalah $1.200 meter$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 37
Diketahui fungsi kuadrat $f (x) = - 3 x^{2} - 12 x - 1$ . Tentukan koordinat titik balik grafik fungsi tersebut.

Pembahasan

Diketahui $f (x) = - 3 x^{2} - 12 x - 1$ , dengan $a = - 3, b = - 12$ , dan $c = - 1.$
Perhatikan bahwa nilai $a$ negatif sehingga grafik fungsi kuadrat (parabola) akan terbuka ke bawah, berarti fungsi memiliki nilai maksimum.
Sumbu simetri grafik fungsi kuadrat $f$ adalah
$x_{maks} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 12}{2 (- 3)} = - 2.$
Substitusi $x = - 2$ pada rumus fungsi $f$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} f (x) & = - 3 x^{2} - 12 x - 1 \\ y_{maks} & = - 3 (- 2)^{2} - 12 (- 2) - 1 \\ = - 12 + 24 - 1 = 11 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi tersebut adalah $(- 2, 11)$

[collapse]

Soal Nomor 38
Seorang pedagang menjual dua jenis es krim, yaitu es krim rasa vanila dan stroberi. Es krim rasa vanila dibeli dengan harga Rp $8.000, 00$ per buah, sedangkan es krim rasa stroberi Rp $6.000, 00$ per buah. Lemari es yang dimiliki pedagang tersebut hanya dapat menyimpan tidak lebih dari $250$ buah es krim dan modal yang ia miliki adalah Rp $1.800 .000, 00$ . Jika es krim tersebut dijual kembali dengan mengambil keuntungan masing-masing Rp $1.000, 00$ per buah, tentukan banyaknya es krim rasa vanila dan stroberi yang dibeli pedagang tersebut agar jika terjual seluruhnya diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan

Misalkan banyaknya es krim rasa vanila dan stroberi yang dibeli untuk dijual kembali berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$ . Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$\begin{array}{cccc} Rasa Vanila & Rasa Stroberi & Kapasitas \\ Biaya & 8.000 & 6.000 & \leq 1.800 .000 \\ Kuantitas & 1 & 1 & \leq 250 \end{array}$ ${\begin{cases} 8.000 x + 6.000 y \leq 1.800 .000 \Leftrightarrow 4 x + 3 y \leq 900 \\ x + y \leq 250 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ Fungsi objektif dari masalah ini dinyatakan oleh $P = 1.000 x + 1.000 y$ , yang menunjukkan besarnya keuntungan pedagang itu. Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah titik $A, B$ , dan $C$ .
Titik $A$ merupakan titik potong garis $4 x + 3 y = 900$ terhadap sumbu- $X$ sehingga absisnya adalah
$4 x + 3 (0) = 900 \Leftrightarrow x = \frac{900}{4} = 225.$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(225, 0)$ .
Titik $B$ merupakan titik potong garis $4 x + 3 y = 900$ dan $x + y = 250$ .
Dengan menggunakan penyelesaian SPLDV, diperoleh koordinat titik $B$ , yaitu $(150, 100)$ .
Titik $C$ merupakan titik potong garis $x + y = 250$ terhadap sumbu- $Y$ sehingga ordinatnya adalah
$0 + y = 250 \Leftrightarrow y = 250.$
Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(0, 250)$ .
Uji ketiga titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 1.000 x + 1.000 y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{cc} Titik Pojok & P = 1.000 x + 1.000 y \\ A (225, 0) & 225.000 \\ B (150, 100) & 250.000 \\ C (0, 250) & 250.000 \end{array}$ Dari tabel di atas, tampak bahwa penghasilan maksimum yang bisa didapat pedagang tersebut adalah $Rp 250.000, 00$

[collapse]

Soal Nomor 39
Tentukan frekuensi harapan munculnya angka pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak $50$ kali.

Pembahasan

Peluang munculnya angka pada pelemparan satu buah uang logam (memiliki $2$ sisi sehingga $n (S) = 2$ ) adalah $P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{1}{2} .$
Frekuensi harapan kemunculannya dengan banyak pelemparan $n = 50$ adalah
$\begin{aligned} F_{h} & = P (A) \times n \\ = \frac{1}{2} \times 50 = 25 kali \end{aligned}$
Jadi, frekuensi harapannya sebanyak $25$ kali.

[collapse]

Soal Nomor 40
Tentukan simpangan baku dari data $12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18.$

Pembahasan

Rata-rata dari 8 data tersebut adalah
$\overset{―}{x} = \frac{12 + 13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 17 + 18}{8} = 15$ Selanjutnya, carilah simpangan baku dengan menggunakan rumus berikut.
$S_{B} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n}}$
di mana $x_{i}$ adalah masing-masing datum, $\overset{―}{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ banyaknya data.
$\begin{aligned} S_{R} & = \sqrt{\frac{(12 - 15)^{2} + (13 - 15)^{2} + (14 - 15)^{2} + (15 - 15)^{2} + (15 - 15)^{2} + (16 - 15)^{2} + (17 - 15)^{2} + (18 - 15)^{2}}{8}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 + 9}{8}} \\ = \sqrt{\frac{28}{8}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{14} \end{aligned}$ Jadi, simpangan baku dari data yang diberikan itu adalah $\frac{1}{2} \sqrt{14}$

[collapse]

Tag: Peluang

Soal dan Pembahasan – USBN Matematika Tahun Ajaran 2018/2019 Tingkat SMK

Quote by Albert Einstein