Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} \log 6^{x^2-x} & = \log 2^{x+1} \\ (x^2-x) \log 6 & = (x+1) \log 2 \\ x^2 \log 6-x \log 6 & = x \log 2 + \log 2 \\ x^2 \log 6-x \log 6-x \log 2-\log 2 & = 0 \\ (\log 6)x^2-(\log 6 + \log 2)x-\log 2 & = 0 \\ (\log 6)x^2-(\log 12)x-\log 2 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir dapat dipandang sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien $a = \log 6$, $b= -\log 12$, dan $c = -\log 2$.
Karena akarnya $x_1$ dan $x_2$, maka berdasarkan rumus jumlah akar, diperoleh
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{b}{a} \\ & = -\dfrac{-\log 12}{\log 6} \\ & = \! ^6 \log 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x_1+x_2= \! ^6 \log 12}$
(Jawaban C)

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24-\log 24 \\ x \log 8-x \log 24 & = -(\log 24 + \log 8) \\ x(\log 8-\log 24) & = -(\log 24+ \log 8) \\ x & = \dfrac{-(\log 24+\log 8)}{\log 8-\log 24} \\ & = \dfrac{\log 8 + \log 3+ \log 8}{\log 24-\log 8} \\ & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ & = 1 + 6 \cdot ^3 \log 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{1 + 6 \cdot ^3 \log 2}$
(Jawaban C)

Persamaan $5^{t^4-1} = 3^{t^4-1}$ memuat basis yang berbeda, namun pangkatnya sama. Oleh karena itu, persamaan ini akan bernilai benar hanya pada saat pangkatnya bernilai $0.$
$\begin{aligned} t^4-1 & = 0 \\ (t^2+1)(t^2-1) & = 0 \\ (t^2+1)(t+1)(t-1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan $t^2+1 = 0$ tidak memiliki penyelesaian real (karena diskriminannya negatif). Oleh karena itu, kita hanya memperoleh dua nilai $t,$ yaitu $t = -1$ atau $t = 1,$ tetapi karena $t$ adalah bilangan real positif, maka $\boxed{t = 1}$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{t^{2.020} = 1^{2.020} = 1}$
(Jawaban C)

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = 1$ dengan $f(x) = 2x-3$ dan $g(x) = x+1$.
Berdasarkan Ketentuan 1 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $3$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ 2x-3 & = 1 \\ 2x & = 4 \\ x & = 2~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ 2x-3 & = -1 \\ 2x & = 2 \\ x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = 1$ pada $g(x) = x+1$ menghasilkan $g(1) = 1+1=2$. Karena hasilnya genap, maka nilai $x=1$ memenuhi.
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} g(x) & = 0 \\ x+1 & = 0 \\ x & = -1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada $f(x) = 2x-3$ menghasilkan $f(-1) = 2(-1) -3 = -5$. Karena hasilnya bukan nol, maka nilai $x=-1$ memenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\{-1, 1, 2\}$ sehingga $\boxed{x_1+x_2+x_3 = -1+1+2 = 2}$
(Jawaban D)

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = 1$ dengan $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2-5x+6$. Berdasarkan Ketentuan 1 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $3$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ \Rightarrow x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ \Rightarrow x & = -1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada $g(x) = x^2-5x+6$ menghasilkan $g(-1) = (-1)^2-5(-1)+6$ $= 1+5+6 = 12$. Karena hasilnya genap, maka nilai $x = -1$ memenuhi.
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} g(x) & = 0 \\ x^2-5x+6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 3 \end{aligned}$
Kedua nilai $x$ ini tidak membuat $f(x) = x$ bernilai $0$ sehingga memenuhi persamaan.
Kita peroleh $4$ nilai $x$, yaitu $\{-1, \color{blue}{1, 2, 3}\}$. Untuk itu, jumlah semua nilai real $x$ positif sama dengan $\boxed{1+2+3 = 6}$
(Jawaban C)

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$ dengan $f(x) = x-4$, $g(x) = 4x$, dan $h(x) = 1+3x$.
Berdasarkan Ketentuan 2 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $4$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} g(x) & = h(x) \\ 4x & = 1+3x \\ x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ x-4 & = 1\\ x & = 5~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ x-4 & = -1 \\ x & = 3~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Nilai $x = 3$ ini memenuhi karena membuat $g(x)$ dan $h(x)$ menjadi sama-sama genap, yaitu $g(3) = 4(3) = 12$ dan $h(3) = 1 + 3(3) = 10$.
Kemungkinan 4:
$\begin{aligned} f(x) & = 0 \\ x-4 & = 0 \\ x & = 4~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Nilai $x = 4$ ini memenuhi karena membuat $g(x)$ dan $h(x)$ menjadi sama-sama positif, yaitu $g(4) = 4(4) = +16$ dan $h(4) = 1 + 3(4) = +13$.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{\{1, 3, 4, 5\}}$
(Jawaban C)

Dari persamaan $3^x = 7^y$, tarik logaritma pada kedua ruasnya.
$$\begin{aligned} \log 3^x & = \log 7^y \\ x \log 3 & = y \log 7 \\ \dfrac{x}{y} & = \dfrac{\log 7}{\log 3} && (\cdots 1) \end{aligned}$$Gunakan cara yang sama untuk persamaan $3^x = 63^z$.
$$\begin{aligned} \log 3^x & = \log 63^z \\ x \log 3 & = z \log 63 \\ x \log 3 & = z \log (3^2 \cdot 7) \\ x \log 3 & = 2z \log 3 + z \log 7 \\ (x-2z) \log 3 & = z \log 7 \\ \dfrac{x-2z}{z} & = \dfrac{\log 7}{\log 3} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{x-2z}{z} \\ xz & = y(x-2z) \\ xz & = xy-2yz \\ xy & = xz+2yz \end{aligned}$
Jadi, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{xy=2yz+xz}$
(Jawaban B)

Munculkan bentuk $3^x$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu selesaikan dengan menggunakan aljabar biasa.
$$\begin{aligned} 3^{x+1} + 6(3^{x} + 3^{-2}) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3^x \cdot 3) + 6\left(3^x + \dfrac19\right) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6 \cdot 3^x + \dfrac23 & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6 \cdot 3^x-3^x & = \dfrac{10}{3}-\dfrac23 \\ (3+6-1) \cdot 3^x & = \dfrac83 \\ 8 \cdot 3^x & = \dfrac83 \\ 3^x & = \dfrac13 = 3^{-1} \\ x & = -1 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai dari $\boxed{4x^2-1=4(-1)^2-1=3}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 9^{x+1}-10 \cdot 3^x + 1 &= 0 \\ 9^x \cdot 9-10 \cdot 3^x + 1 & = 0 \\ (3^2)^x \cdot 9-10 \cdot 3^x + 1 & = 0 \\ (\color{red}{3^x})^2 \cdot 9-10 \cdot \color{red}{3^x} + 1 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $a = 3^x$, maka kita peroleh persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} 9a^2-10a+1 &= 0 \\ (9a-1)(a-1) & = 0 \\ a = \dfrac19~\text{atau}~a & = 1 \end{aligned}$
Untuk $a = \dfrac19$, diperoleh
$3^x = \dfrac19 = 3^{-2} \Rightarrow x = -2.$
Untuk $a = 1$, diperoleh
$3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0.$
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 0$ dan $x_2 = -2$ sehingga $\boxed{x_1-x_2=0-(-2)=2}$
(Jawaban C)

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 2^{2x}-3 \cdot 2^{x+1} + 8 & = 0 \\ (2^x)^2 -3 \cdot (2^x \cdot 2) + 8 & = 0 \\ (\color{red}{2^x})^2-6 \cdot \color{red}{2^x} + 8 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 2^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-6\color{red}{a}+8 & = 0 \\ (a-4)(a-2) & = 0 \\ a = 4~\text{atau}~&a = 2 \end{aligned}$
Untuk $a =4$, diperoleh $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Untuk $a =2$, diperoleh $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{x = 1}$ atau $\boxed{x = 2}$
(Jawaban A)

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $5^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 5^{2x+1}-26 \cdot 5^{x} + 5 & =0 \\ (5^{2x} \cdot 5) -26 \cdot 5^x + 5 & = 0 \\ 5 \cdot (\color{red}{5^x})^2-26 \cdot \color{red}{5^x} + 5 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 5^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 5\color{red}{a}^2-26\color{red}{a}+5& = 0 \\ (5a-1)(a-5) & = 0 \\ a = \dfrac15~\text{atau}~&a = 5 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac15$, diperoleh $5^x = \dfrac15 \Rightarrow x = -1$.
Untuk $a =5$, diperoleh $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, didapat $x_1 = -1$ dan $x_2 = 1$ (terbalik tidak masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya) sehingga jumlah akarnya adalah $\boxed{x_1+x_2 = -1+1=0}$
(Jawaban C)

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3^{2x+1}-28 \cdot 3^{x} + 9 & =0 \\ (3^{2x} \cdot 3) -28 \cdot 3^x + 9 & = 0 \\ 3 \cdot (\color{red}{3^x})^2-28 \cdot \color{red}{3^x} + 9 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 3^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}^2-28\color{red}{a}+9& = 0 \\ (3a-1)(a-9) & = 0 \\ a = \dfrac13~\text{atau}~&a = 9 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac13$, diperoleh $3^x = \dfrac13 \Rightarrow x = -1$.
Untuk $a =9$, diperoleh $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$.
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 2$ dan $x_2 = -1$ sehingga $\boxed{3x_1-x_2 = 3(2)-(-1)=7}$
(Jawaban E)

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 2^{2x}-6 \cdot 2^{x+1} + 32 & = 0 \\ (2^x)^2 -6 \cdot (2^x \cdot 2) + 32 & = 0 \\ (\color{red}{2^x})^2-12 \cdot \color{red}{2^x} + 32 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 2^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-12\color{red}{a}+32 & = 0 \\ (a-4)(a-8) & = 0 \\ a = 4~\text{atau}~&a = 8 \end{aligned}$
Untuk $a =4$, diperoleh $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Untuk $a =8$, diperoleh $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$.
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 3$ dan $x_2 = 2$ sehingga $\boxed{2x_1+x_2 = 2(3)+2=8}$
(Jawaban D)

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3^{4-x}+3^x-30 & =0 \\ (3^4 \cdot 3^{-x}) + 3^x-30 & = 0 \\ 81 \cdot 3^{-x} + 3^x-30 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~3^x \\ (81 \cdot 3^0) + (3^x)^2-30 \cdot 3^x & = 0 \\ (\color{red}{3^x})^2-30 \cdot \color{red}{3^x} + 81 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 3^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-30\color{red}{a}+81& = 0 \\ (a-27)(a-3) & = 0 \\ a = 27~\text{atau}~&a = 3 \end{aligned}$
Untuk $a =27$, diperoleh $3^x = 27 \Rightarrow x = 3$.
Untuk $a =3$, diperoleh $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, kita peroleh $x_1 = 3$ dan $x_2 = 1$ (terbalik tidak menjadi masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya) sehingga $\boxed{x_1+x_2 = 3+1=4}$
(Jawaban D)

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $10^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3 \cdot 10^{2x}-\dfrac{7}{10} \cdot 10^{x+1}+4 & = 0 \\ 3 \cdot (10^x)^2 -\dfrac{7}{\cancel{10}} \cdot (10^x \cdot \cancel{10}) + 4 & = 0 \\ 3 \cdot (\color{red}{10^x})^2-7 \cdot \color{red}{10^x} + 4 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 10^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}^2-7\color{red}{a}+4& = 0 \\ (3a-4)(a-1) & = 0 \\ a = \dfrac43~\text{atau}~&a = 1 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac43$, diperoleh $10^x = \dfrac43 \Rightarrow x = \log \dfrac43$.
Untuk $a =1$, diperoleh $10^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
Karena $x_0$ bulat, maka haruslah $x_0 = 0$ sehingga nilai dari $\boxed{x_0^{1.000} = 0^{1.000} = 0}$
(Jawaban B)

Munculkan bentuk $3^{\frac{x}{10}}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan, dan selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk.
$$\begin{aligned} 3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x-10}{10}} & = 84 \\ 3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x}{10}-1} & = 84 \\ (3^{\frac{x}{10}})^2 + \dfrac13 \cdot 3^{\frac{x}{10}}-84 & = 0 \\ a^2+\dfrac13a-84 & = 0 && (\text{Misal}~a = 3^{\frac{x}{10}}) \\ 3a^2+a-252 & = 0 \\ (3a + 28)(a-9) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -\dfrac{28}{3}$ atau $a = 9$.
Substitusi kembali $a = 3^{\frac{x}{10}}$.
Kasus 1:
$3^{\frac{x}{10}} = -\dfrac{28}{3}~~(\color{red}{\text{X}})$
Tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Kasus 2:
$\begin{aligned} 3^{\frac{x}{10}} & = 9 = 3^2 \\ \dfrac{x}{10} & = 2 \\ x & = 20 \end{aligned}$
Jadi, hanya ada $1$ akar penyelesaian, yaitu $x = 20$. Ini berarti, nilai $A = 1$ dan $B = 20$ sehingga $\boxed{A+B=1+20=21}$
(Jawaban D)

Munculkan bentuk $3^{\sqrt{x}}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan.
$\begin{aligned} 9^{\sqrt{x}+1} + 3^{1-2\sqrt{x}} & = 28 \\ 3^{2(\sqrt{x} + 1)} + 3^{1-2\sqrt{x}}-28 & = 0 \\ 3^{2\sqrt{x}} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^{-2\sqrt{x}}-28 & = 0 \\ 9 \cdot \color{blue}{3^{2\sqrt{x}}} + 3 \cdot (\color{blue}{3^{2\sqrt{x}}})^{-1}-28 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $a = 3^{2\sqrt{x}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 9a+3a^{-1}-28 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~a \\ 9a^2+3-28a & = 0 \\ 9a^2-28a+3 & = 0 \\ (9a-1)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac19$ atau $a = 3$. Substitusi balik $a = 3^{2\sqrt{x}}$.
Kasus 1:
$\begin{aligned} 3^{2\sqrt{x}} & = \dfrac19 \\ 3^{2\sqrt{x}} & = 3^{-2} \\ 2\sqrt{x} & = -2 \\ \sqrt{x} & = -1~~(\color{red}{\text{X}}) \end{aligned}$
Tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Kasus 2:
$\begin{aligned} 3^{2\sqrt{x}} & = 3 \\ 2\sqrt{x} & = 1 \\ \sqrt{x} & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac14~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{\dfrac14}$
(Jawaban B)

Karena segitiga tersebut siku-siku, maka hubungan panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} (4)^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x + 4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ 16 + (\color{red}{2^{2x}})^2 \cdot 4 & = \color{red}{2^{2x}} \cdot 16 \end{aligned}$
Misalkan $a = 2^{2x}$, maka kita peroleh persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} 16 + 4a^2 &= 16a \\ 4a^2-16a+16 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~4 \\ a^2-4a+4 & = 0 \\ (a-2)^2 & = 0 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Untuk $a = 2$, diperoleh
$2^{2x} = 2 = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \dfrac12.$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban C)

Munculkan bentuk $5^{\sqrt{x^2-4x-1}}$ pada tiap suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan.
$$\begin{aligned} 5^{1+\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}} \cdot \frac{2-\sqrt{x^2-4x-1}}{2-\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{(5+4x-x^2)(2-\sqrt{x^2-4x-1})}{4-(x^2-4x-1)}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{\cancel{(5+4x-x^2)}(2-\sqrt{x^2-4x-1})}{\cancel{5+4x-x^2}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{2-\sqrt{x^2-4x-1}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + \dfrac{25}{5^{\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \end{aligned}$$Misalkan $a = 5^{\sqrt{x^2-4x-1}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 5a + \dfrac{25}{a}-126 & = 0 \\ 5a^2-126a+25 & = 0 && (\cdots \times a) \\ (5a-1)(a-25) & = 0 \\ a = \dfrac15~\text{atau}~&a = 25 \end{aligned}$
Substitusi balik $a$.
Kasus 1: $a = \dfrac15$
$\begin{aligned} 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} & = \dfrac15 = 5^{-1} \\ \sqrt{x^2-4x-1} & = -1 \end{aligned}$
Persamaan terakhir tidak memiliki penyelesaian karena $\sqrt{x^2-4x-1} \geq 0$ untuk setiap bilangan real $x$.
Kasus 2: $a = 25$
$$\begin{aligned} 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} & = 25 = 5^2 \\ \sqrt{x^2-4x-1} & = 2 \\ x^1-4x-1 & = 4 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x+1)(x-5) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~&x = 5 \end{aligned}$$Catatan: Nilai $x=1$ maupun $x=5$ memenuhi karena memenuhi syarat akar $x^2-4x-1 \geq 0$.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{\{-1, 5\}}$
(Jawaban C)

Munculkan bentuk $3^{x^2-3x}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan untuk membentuk persamaan kuadrat dan selesaikan dengan pemfaktoran biasa.
$$\begin{aligned} 9^{x^2-3x+\frac12} & = -3-10(3^{x^2-3x}) \\ (9^{x^2-3x} \cdot 9^{\frac12}) +3+10(3^{x^2-3x}) & = 0 \\ 3 \cdot (3^{x^2-3x})^2 + 3 + 10(3^{x^2-3x}) & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $a = 3^{x^2-3x}$. Kita akan peroleh
$\begin{aligned} 3a^2+3+10a & = 0 \\ 3a^2+10a+3 & = 0 \\ (3a+1)(a+3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -\dfrac13$ atau $a=-3$.
Substitusi kembali nilai $a$, diperoleh $3^{x^2-3x} = -\dfrac13$ atau $3^{x^2-3x} = -3$. Karena hasil pangkat seharusnya tidak mungkin negatif bila basisnya positif, maka keduanya tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Jadi, banyaknya penyelesaian real dari persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{0}$
(Jawaban A)

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen seperti berikut.
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16 & =0 \\ (3^2)^x + (3^2)^{-x}-(3^2 \cdot 3^x) + (3^2 \cdot 3^{-x}) + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x}-9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x}+16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9(3^x-\cdot 3^{-x})-16 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = 3^{2x}-2(3^x \cdot 3^{-x})+3^{-2x} \\ & = (3^{2x}+3^{-2x})-2(3^{0}) \\ & = (3^{2x}+3^{-2x})- 2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan substitusi persamaan $(1)$ pada $(2)$, didapat
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = \color{red}{(9(3^x-\cdot 3^{-x})-16)}-2 \\ (3^x-3^{-x})^2 & = 9(3^x-\cdot 3^{-x})-18 \end{aligned}$$Misalkan $3^x-3^{-x} = a$, maka diperoleh persamaan kuadrat
$\begin{aligned}a^2 & =9a-18 \\ a^2-9a+18 &=0 \\ (a-6)(a-3) & =0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=6$ atau $a=3$.
Ini menunjukkan bahwa nilai $3^x-3^{-x}$ adalah $3$ atau $6$.
(Jawaban D)

Persamaan yang diberikan memuat bentuk eksponen $3^{2x}$ sehingga kita dapat melakukan pemisalan untuk memperoleh bentuk persamaan kuadrat.
$$\begin{aligned} 9^{2x}+2 \cdot 3^{2x+1}+3^{2x+2}-3 \cdot 3^{2x+3}+c & = 0 \\ (3^2)^{2x} + 2 \cdot (3^{2x} \cdot 3) + (3^{2x} \cdot 3^2)-3 \cdot (3^{2x} \cdot 3^3) + c & = 0 \\ (3^{2x})^2 + 6 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{2x}-81 \cdot 3^{2x} + c & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $3^{2x} = y$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y^2 + 6y + 9y-81y + c & = 0 \\ y^2-66y+c & = 0 \end{aligned}$
Misalkan persamaan kuadrat ini memiliki akar $y_1$ dan $y_2$ sehingga hasil kali akarnya $y_1y_2 = \dfrac{c}{1} = c$.
Perhatikan bahwa $y_1 = 3^{2x_1}$ dan $y_2 = 3^{2x_2}$, serta diketahui $\color{red}{x_1+x_2 = 2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12}$. Oleh karena itu, diperoleh
$\begin{aligned} c & = 3^{2x_1} \cdot 3^{2x_2} \\ & = 3^{2x_1+2x_2} \\ & = 3^{2(x_1+x_2)} \\ & = 3^{2\color{red}{(2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12)}} \\ & = 3^{4 \cdot ^3 \log 2 + 1} \\ & = 3^{^3 \log 2^4 + ^3 \log 3} \\ & = 3^{^3 \log (2^4 \times 3)} \\ & = 3^{^3 \log 48} = 48 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{c = 48}$
(Jawaban D)