Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Diketahui: $a = 150$ dan $\text{U}_4 = 4.050.$
Rasio barisan geometri ini dapat ditentukan dengan melakukan perbandingan antarsuku sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_1} & = \dfrac{4.050}{150} \\ \dfrac{\cancel{a} r^3}{\cancel{a}} & = 27 \\ r^3 & = 27 \\ r & = \sqrt[3]{27} = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_5 & = \dfrac{150(3^5 -1)} {3 -1} \\ & = \dfrac{150(243 -1)}{2} \\ & = 75 \cdot 242 = 18.150. \end{aligned}$
Jadi, hasil produksi selama $5$ bulan adalah $\boxed{18.150}$ unit kerajinan.
(Jawaban B)

Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan $\text{U} _1 = a = 2$ dan $\text{U}_4 = 54$. Dalam hal ini, akan dicari $\text{S}_4 = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4.$
Langkah pertama adalah menentukan rasionya.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = ar^3 \\ 54 & = 2r^3 \\ 27 & = r^3 \\ r & = \sqrt[3]{27} = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisannya adalah $3$. Untuk itu, didapat
$\text{U}_2 = ar = 2 \cdot 3 = 6$
dan
$\text{U}_3 = ar^2 = 2 \cdot 3^2 = 18.$
Dengan demikian, $\text{S}_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80.$
Jadi, panjang tali semula (sebelum dipotong) adalah $\boxed{80~\text{cm}}$
(Jawaban C) 

Kecepatan pesawat tiap menitnya membentuk barisan geometri. 
Diketahui: $a = 300$ dan $r= 1\dfrac12 = \dfrac32.$
Ditanya: $\text{S}_4$
Dengan demikian,  
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_4 & = \dfrac{300\left(\left(\dfrac32\right)^4 -1\right)} {\dfrac32 -1} \\ & = \dfrac{300\left(\dfrac{81}{16} -\dfrac{16}{16}\right)} {\dfrac12} \\ & = 300 \cdot \dfrac{65}{16} \cdot 2 = 2.437,\!50~\text{km}. \end{aligned}$
Jadi, panjang lintasan seluruhnya dalam $4$ menit pertama adalah $\boxed{2.437,\!50~\text{km}}$
(Jawaban A)

Kasus di atas merupakan kasus barisan dan deret geometri. 
Diketahui: $a = 1$ (dalam satuan juta). 
Karena banyak surat berkurang sebesar $\dfrac15$ tiap tahunnya, maka pada tahun berikutnya, banyak surat menjadi $1 -\dfrac15 = \dfrac45$ sehingga rasionya adalah $r = \dfrac45$. 
Kurun waktu dari tahun $2018$ sampai $2022$ (selama $5$ tahun) sehingga $n = 5$. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(1-r^n)} {1-r} \\ \text{S}_5 & = \dfrac{1\left(1 -\left(\dfrac45\right)^5 \right)} {1 – \dfrac45} \\ & = \dfrac{1- \dfrac{1.024}{3.125}} {\dfrac15} \\ & = \dfrac{2.101}{\cancelto{625}{3.125}} \times \cancel{5} = \dfrac{2.101}{625}. \end{aligned}$
Jadi, jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu $2018 -2022$ adalah $\boxed{\dfrac{2.101}{625}}$ juta surat.
(Jawaban A)

Kasus ini merupakan kasus barisan geometri.
Tinggi pantulan pertama adalah $9 \times \dfrac89 = 8$ meter. Dengan demikian, diketahui $\text{U}_1 = 8$ dan $r = \dfrac89.$
Ditanya: $\text{U}_5.$
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_5 & = 8\left(\dfrac89 \right)^{5-1} \\ & = \dfrac{8^5}{9^4} \approx 5 \end{aligned}$
Ketinggian bola setelah pantulan ke-$5$ yang paling mendekati adalah $\boxed{5~\text{m}}$
(Jawaban E)

Misalkan $\text{U}_1$ menyatakan banyaknya bakteri mula-mula ($0$ menit), $\text{U}_2$ saat $5$ menit, $\text{U}_3$ saat $10$ menit, dan seterusnya. 
Diketahui: $\text{U}_4 = ar^3 = 400$ dan $r = 2.$
Ditanya: $\text{U}_7$.
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_7 & = ar^6 \\ & = (ar^3)r^3 \\ & = (400)(2)^3 = 400(8) = 3.200. \end{aligned}$
Banyak bakteri setelah $30$ menit adalah $\boxed{3.200}$
(Jawaban D)

Banyaknya archaebacteria setiap 25 menit membentuk barisan geometri dengan banyak mula-mula $a = 50$ dan rasio $r = 2$ (karena menggandakan diri). Perhatikan bahwa dalam waktu $5$ jam (setara dengan $300$ menit), archaebacteria mengalami penggandaan diri sebanyak $\dfrac{300}{25} = 12$ kali. Artinya, kita mencari suku ke-$13$ (perlu ditambah $1$) yang merepresentasikan banyak archaebacteria selama $5$ jam.
$$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = ar^{n-1} \\ \text{U}_{13} & = 50 \cdot 2^{13-1} \\ & = 50 \cdot 2^{12} \\ & = 50 \cdot 4.096 = 204.800 \end{aligned}$$Jadi, banyaknya archaebacteria selama $5$ jam adalah $\boxed{204.800}$
(Jawaban C)

Kasus di atas adalah masalah kontekstual terkait barisan geometri dengan $a = 600.000$ dan $r = 2$. Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $\text{U}_6.$
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_6 & = 600.000 \cdot 2^{6-1} \\ & = 600.000 \cdot 2^5 \\ & = 600.000 \cdot 32 = 19.200.000 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah Rp19.200.000,00.
(Jawaban B) 

Misalkan pertambahan penduduk pada tahun $2010$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 24$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 24r^2 & = 96 \\ r^2 & = \dfrac{96}{24} = 4 \\ r & = 2. \end{aligned}$
Pertambahan penduduk pada tahun $2015$ adalah $\boxed{\text{U}_6 = ar^5 = 24(2)^5 = 768~\text{orang}}$
(Jawaban B)

Misalkan pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2015$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 42$. Dengan demikian, pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2017$ adalah $\text{U}_3 = 168$. Selanjutnya, akan dicari rasio barisan geometri tersebut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 42r^2 & = 168 \\ r^2 & = \dfrac{168}{42} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}$
Pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2020$ adalah $\text{U}_6 = ar^5 = 42(2)^5 = \boxed{1344~\text{orang}}$
(Jawaban A)

Misalkan $\text{U}_1$ menyatakan banyak bakteri pada saat jam 09.00, $\text{U}_2$ saat jam 12.00, sampai $\text{U}_5$ saat jam 21.00.
Karena jumlah bakteri berkurang sebesar $20\%$, maka jumlah bakteri saat jam tertentu dapat ditentukan dengan menggunakan konsep barisan geometri dengan suku pertama $\text{U}_1 = 6.250$ dan $r = 1-20\% = 80\% = \dfrac45$.
Akan dicari $\text{U}_5.$
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 6.250 \times \left(\dfrac45\right)^4 \\ & = (\cancel{5^4} \times 10) \times \dfrac{4^4}{\cancel{5^4}} \\ & = 10 \times 256 = 2.560 \end{aligned}$
Jadi, perkiraan jumlah bakteri setelah pemberian obat pada pukul 21.00 adalah $2.560$ bakteri.
(Jawaban C)