Soal dan Pembahasan – Ujian Nasional Matematika Jurusan PSP Tingkat SMK Tahun 2015/2016

$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}} & = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}} \times \dfrac{2\sqrt{3}- \sqrt{8}}{2\sqrt{3}- \sqrt{8}} \\ & = \dfrac{2\sqrt{18}- \sqrt{48}}{4\times 3- 8} \\ & = \dfrac{2\sqrt{9 \times 2}- \sqrt{16\times 3}}{4} \\ & = \dfrac{6\sqrt{2}- 4\sqrt{3}}{4} \\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt{2}- \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} + \sqrt{8}}$ adalah $\boxed{\dfrac{3}{2}\sqrt{2}- \sqrt{3}}$
(Jawaban D)

$$\begin{aligned} & \sqrt{98} + \sqrt{50}- \sqrt{8}- \sqrt{72} \\ & = \sqrt{49 \times 2} + \sqrt{25\times 2}- \sqrt{4\times 2}- \sqrt{36 \times 2} \\ & = 7\sqrt{2} + 5\sqrt{2}- 2\sqrt{2}- 6\sqrt{2} \\ & = (7+5-2-6)\sqrt{2} \\ & = 4\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{98} + \sqrt{50}- \sqrt{8}- \sqrt{72}$ adalah $\boxed{4\sqrt{2}}$
(Jawaban C)

$\begin{aligned} \left(\dfrac{2^{-7}3^25^{-1}}{2^{-5}3^65^{-2}}\right)^2 & = (2^{-7-(-5)}3^{2-6}5^{-1-(-2)})^2 \\ & = (2^{-2}3^{-4}5^1)^2 \\ & = 2^{-4}3^{-8}5^2 \\ & = \dfrac{5^2}{2^43^8} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{2^{-7}3^25^{-1}}{2^{-5}3^65^{-2}}\right)^2$ adalah $\dfrac{5^2}{2^43^8}$. 
(Jawaban E)

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a} \\ ^a \log b^n & = n ^a \log b \end{aligned}}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} ^4 \log 27 & = \dfrac{\log 27}{\log 4} \\ & = \dfrac{\log 3^3}{\log 2^2} \\ & = \dfrac{3 \log 3}{2 \log 2} \\ & = \dfrac{3q}{2p} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^4 \log 27$ apabila $\log 2 = p$ dan $\log 3 = q$ adalah $\boxed{\dfrac{3q}{2p}}$.
(Jawaban B)

$\begin{aligned} & ^2 \log 32-^2 \log 4 + ^2 \log 2 \\ & = ^2 \log 2^5-^2 \log 2^2 + ^2 \log 2 \\ & = 5- 2 + 1 = 4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $^2 \log 32-^2 \log 4 + ^2 \log 2$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban C) 

Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ adalah $\alpha$ (baca: alfa) dan $\beta$ (baca: beta), maka
$\alpha + \beta =-\dfrac{b}{a}$
dan
$\alpha \beta = \dfrac{c}{a}$
Untuk itu, dalam hal ini diketahui $a = 1, b = 5$, dan $c=-2$, sehingga
$\alpha + \beta =-\dfrac{5}{1} =-5$ dan $\alpha \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{1} =-2$
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} & = \dfrac{\alpha^2+ \beta^2}{\alpha^2 \beta^2} \\ & = \dfrac{(\alpha + \beta)^2- 2\alpha\beta}{(\alpha \beta)^2} \\ & = \dfrac{(-5)^2- 2(-2)}{(-2)^2} \\ & = \dfrac{25 + 4}{4} = \dfrac{29}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$ adalah $\boxed{\dfrac{29}{4}}$
(Jawaban A)

Diketahui
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & =-\dfrac{b}{a} =-\dfrac{5}{1} =-5 \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-6}{1} =-6 \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah akar persamaan kuadrat baru adalah
$\begin{aligned} (x_1- 2) + (x_2-2) & = (x_1 + x_2)-4 \\ & =-5-4 =-9 \end{aligned}$
dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru adalah
$\begin{aligned} (x_1- 2)(x_2-2) & = x_1x_2- 2(x_1 + x_2) + 4 \\ & =-6-2(-5) + 4 \\ & =-6 + 10 + 4 = 8 \end{aligned}$
Untuk itu, persamaan kuadrat baru yang dimaksud itu adalah
$x^2- (-9)x + 8 = 0 \Rightarrow x^2 + 9x + 8 = 0$
di mana koefisien $x$ adalah jumlah akar dan konstantanya adalah hasil kali akar.
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1- 2$ dan $x_2- 2$ adalah $\boxed{x^2+9x+8 = 0}$
(Jawaban E)

$\begin{aligned} x^2-4x-5 & \leq 0 \\ (x-5)(x+1) & \leq 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $x=5$ atau $x=-1$.
Buatlah garis bilangan yang menyatakan daerah positif-negatifnya.
Misalkan diambil titik $x = 0$ dan bila disubstitusikan ke pertidaksamaan $x^2-4x-5 \leq 0$, diperoleh $-5 \leq 0$ (bertanda negatif), sehingga dapat dibuat skema berikut (tandanya selang-seling).
 
Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat itu adalah $\boxed{\{x~|~-1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}}$
(Jawaban B)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen.
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 10x + 4y & = 36.000 \\ 5x + 8y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 5x+2y & = 18.000 \\ 5x+8y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} 6y & = 9.000 \\ y & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $y = 1.500$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 5x + 2y & = 18.000 \\ 5x + 2(1.500) & = 18.000 \\ 5x + 3.000 & = 18.000 \\ 5x & = 15.000 \\ x & = 3.000 \end{aligned}$
Jadi harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp3.000,00 dan Rp1.500,00.
(Jawaban E)

$$\begin{aligned} 2A + 3B- C & = 2\begin{pmatrix} 2 & 3 \\-4 & 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 4 & 5 \\-3 & 2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\-5 & 6 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -8 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 & 15 \\-9 & 6 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\-5 & 6 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 + 12-1 & 6 + 15-0 \\-8 + (-9)-(-5) & 4 + 6- 6 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 15 & 21 \\-12 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $2A+3B-C$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 15 & 21 \\-12 & 4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa matriks $A$ berordo $2 \times 3$, sedangkan matriks $B$ berordo $3 \times 2$, sehingga matriks $AB$ berordo $2 \times 2$.
Dengan menggunakan aturan perkalian matriks (baris kali kolom), diperoleh
$$\begin{aligned} A \times B & = \begin{pmatrix} 2 & 1 &-1 \\ 3 &-4 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0-1 \cdot 4 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4-1 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2-4 \cdot 0 + 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1-4 \cdot 4 + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 + 0-4 & 2 + 4-0 \\ 6- 0 + 12 & 3-16 + 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 18 &-13 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perkalian matriks $A$ dan matriks $B$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 18 &-13 \end{pmatrix}}$
(Jawaban E)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
Determinan matriks ini adalah
$\det(A) = 4(1)- (2)(3) = 4- 6 =-2$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 &-3 \\-2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}  & \dfrac{3}{2} \\ 1 &-2 \end{pmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}  & \dfrac{3}{2} \\ 1 &-2 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan Aturan Sarrus, buatlah skema berikut.

Dengan demikian, determinannya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \det(A) & = (1)(3)(2) + (0)(4)(5) + (2)(2)(6) \\ &-(5)(3)(2)-(6)(4)(1)-(2)(2)(0) \\ & = 6 + 0 + 24- 30-24-0 \\ & =-24 \end{aligned}$
Jadi, determinan matriks $A$ adalah $\boxed{\det(A) =-24}$
(Jawaban C)

Titik pojok daerah penyelesaian itu adalah $(2,0), (5,0)$, dan titik potong kedua garisnya. Untuk itu, akan dicari koordinat titik potongnya terlebih dahulu. 
Persamaan kedua garis itu adalah
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8x + 2y & = 16 \\ 5x + 5y & = 25 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \div 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4x+y & = 8 \\ x+y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} 3x & = 3 \\ x & = 1\end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 1$ pada salah satu persamaan, misalkan pada $x + y = 5$. 
$1 + y = 5 \Rightarrow y = 4$
Jadi, koordinat titik potong kedua garis adalah $(1,4)$. 
Uji semua titik pojok terhadap fungsi objektif $f(x, y) = 2x + y$ dengan menggunakan tabel berikut.
masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif tersebut dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 2x+y \\ \hline A(2,0) & 4 \\ B(1, 4) & 6 \\ \color{red}{ C(5, 0)} & \color{red}{10} \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari fungsi objektif itu adalah $\boxed{10}$
(Jawaban C)

Berdasarkan informasi yang diberikan dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{GK Jenis I} & \text{GK Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 100 \\ \text{Biaya (Rp.)} & 5000 & 10000 & \leq 650.000 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear berikut.
$$\begin{cases} x + y \leq 100 \\  5000x + 10000y \leq 650.000 \Rightarrow x + 2y \leq 130 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 2000x + 3000y$. Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.

Daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah penyelesaian, dengan titik pojok $B(100, 0). C(70; 30)$, dan $D(0, 65)$ di mana titik $C$ adalah titik potong kedua garis yang koordinatnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Ujilah ketiga titik pojok ini terhadap fungsi objektif $P = 2.000x + 3.000y$ dengan menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 2.000x+3.000y \\ \hline B(100,0) & 200.000 \\ \color{red}{C(70,30)} & \color{red}{230.000}  \\  D(0, 65) & 195.000 \\ \hline \end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp230.000,00.
(Jawaban C) 

Diketahui $a = 20$ dan $\text{U}_6 = 40$.
Langkah pertama adalah mencari nilai $b$ (beda) terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan dicari hasil dari $\text{S}_{10}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban E) 

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui $a =-18$ dan $b = 3$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-18 + (n-1) \times 3 \\ & =-18 + 3n-3 = 3n-21 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 3n-21}$
(Jawaban E)

Diketahui: $a = 4$ dan $b =-3$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n- 1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10- 1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4- 27 =-23 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$10$ barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{-23}$
(Jawaban C)

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5- \text{U}_3}{5-3} = \dfrac{-9-(-5)}{2} =-2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_3 =-5$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & =-5 \\ a + 2(-2) & =-5 \\ a-4 & =-5 \\ a & =-1 \end{aligned}$
Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{10} = a + 9b =-1 + 9(-2) =-19}$
(Jawaban D)

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan hasil produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui $a = 80$ dan $b = 10$.
Jumlah pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang diproduksi selama $6$ bulan pertama adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 80 + (6-1) \cdot 10) \\ & = 3(160 + 50) \\ & = 3(210) = 630 \end{aligned}$
Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama $6$ bulan adalah $\boxed{630~\text{setel}}$
(Jawaban D)

Diketahui $S_{\infty} = 12$ dan $a = 9$. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
$\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} 12 & = \dfrac{9} {1-r} \\ 1-r & = \dfrac{9} {12} = \dfrac{3}{4} \\ r & = 1- \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, rasio deret tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban C)

Misalkan pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2001$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 42$. Dengan demikian, pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2003$ adalah $\text{U}_3 = 168$. Selanjutnya, akan dicari rasio deret geometri tersebut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 42r^2 & = 168 \\ r^2 & = \dfrac{168}{42} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}$
Pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2006$ adalah
$\text{U}_6 = ar^5 = 42(2)^5 = \boxed{1344~\text{orang}}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah suku ke-$6$.
$ \text{U}_6 = ar^5 = \dfrac{5}{2} \times 2^5 = 80$
Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$
(Jawaban A)

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Untuk ini, koordinat bayangan titik $P(-1, 3)$ bila didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k=-2$ adalah
$P'(-2 \times (-1),-2 \times 3) = P'(2,-6)$
Jadi, koordinat bayangannya adalah $(2, -6).$
(Jawaban C)

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Konsep refleksi: Jika titik $(x, y)$ direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu $Y$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(-x,y)$.
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses dilatasi terhadap titik $P$ berikut.
$\begin{aligned} P(3,-2) \xrightarrow{D[O, 2]} & P'(3\times 2,-2 \times 2) \\ & = P'(6,-4) \end{aligned}$
Kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu $Y$.
$P'(6,-4) \xrightarrow{R_{\text{sumbu}~Y}} P”(-6,-4)$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-6,-4)$.
(Jawaban A)

Koordinat bayangan titik $Q(-3,7)$ setelah ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} 1 \\-5 \end{pmatrix}$ adalah $Q'(-3 + 1, 7 + (-5)) = Q'(-2, 2)$.
Selanjutnya, dirotasikan sebesar $-90^{\circ}$ (artinya $90^{\circ}$ searah jarum jam) dengan pusat di $O(0,0)$, ditulis
$$\begin{aligned} Q’\begin{pmatrix} x” \\ y” \end{pmatrix}& = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 2  \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos-90^{\circ} &-\sin-90^{\circ} \\ \sin-90^{\circ}& \cos-90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 2  \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 2  \end{pmatrix} \\ & =  \begin{pmatrix} 2 \\ 2  \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $Q$ setelah ditranslasi dan dirotasi adalah $(2, 2)$
(Jawaban B) 

Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan bahwa $AB$ dan $AC$ berturut-turut merupakan sisi depan dan sisi samping dari sudut $60^{\circ}$, sehingga dengan menggunakan perbandingan tangen sebagai salah satu fungsi trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{AB}{AC} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{12}{AC} \\ AC & = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{12}{3}\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AC$ adalah $4\sqrt{3}~\text{cm}$.
(Jawaban B) 

Diketahui $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}} {2}$. Ini berarti, dapat dikatakan bahwa panjang sisi samping dan hipotenusa segitiga siku-siku $\sqrt{3}$ dan $2$.

Dengan demikian, panjang sisi depannya adalah $\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2} = 1$. 
Karena $\alpha$ berada di kuadran IV, maka nilai tangen bertanda negatif. Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} \tan \alpha & =-\dfrac{\text{de}} {\text{sa}} \\ & =- \dfrac{1}{\sqrt{3}} =-\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\tan \alpha$ adalah $\boxed{-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{YZ} {\sin X} & = \dfrac{XY} {\sin Z} \\ \dfrac{8}{\sin 60^{\circ}} & = \dfrac{XY} {\sin 45^{\circ}} \\ XY & = \dfrac{8 \times \sin 45^{\circ}} {\sin 60^{\circ}} \\ XY & = \dfrac{8 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ XY & = 4\sqrt{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \\ XY & = \dfrac{8}{3}\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $XY$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}\sqrt{6}~\text{cm}}$ (Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} QR^2 & = PQ^2 + PR^2- 2 \cdot PQ \cdot PR \cos P \\ & = (2\sqrt{2})^2 + 4^2- 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4 \cos 45^{\circ} \\ & = 8 + 16- 16\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 24- 16 = 8 \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{QR = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban E)

Perhatikan gambar berikut.

Luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan aturan luas menurut trigonometri, yaitu
$\begin{aligned} L \triangle ABC & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 \cdot \sin 60^{\circ} \\ & = 108 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 54\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $ABC$ tersebut adalah $\boxed{54\sqrt{3}~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Urutkan dan pilah semua data yang diberikan itu dengan membaginya dalam $3$ bagian seperti berikut.
$\underbrace{38~~40~~40~~42~~48}_{\text{Bagian} ~Q_1} ~~\underbrace{48}_{Q_2}~~\underbrace{50~50~~55~~60~~62}_{\text{Bagian}~Q_3}$
Pada bagian $Q_3$, datum tengahnya adalah $55$.
Jadi, kuartil ketiga (kuartil atas) dari data tersebut adalah $55$.
(Jawaban B)

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif sebagai berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 121-123 & 2 & 2 \\ 124-126 & 5 & 7 \\ \color{red}{ 127-129} & \color{red}{10} & \color{red}{17} \\ 130-132 & 12 & 29 \\ 133-135 & 8 & 37 \\ 136-138 & 3  & 40\\ \hline \end{array}$
Kelas desil ke-$4$ atau $\text{D}_4$ terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{4n}{10} = \dfrac{4\times 40}{10} = 16$, yaitu pada kelas dengan rentang $127-129$.
Tepi bawah kelas desil ke-4 adalah $L_0 = 127-0,5 = 126,5$
Lebar kelasnya $c = 3$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-4, yaitu $\sum F_k = 7$
Frekuensi kelas desil ke-4 $f_{D} = 10$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{D}_4 & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{4n}{10}- \sum F_k}{f_{D}}\right) \\ & = 126,5 + 3\left(\dfrac{16- 7}{10}\right) \\ & = 126,5+ 3\left(\dfrac{9}{10}\right) \\ & = 126,5 + 2,7 \\ & = 129,2 \end{aligned}$
Jadi, desil ke-$4$ dari data pada tabel di atas adalah $\boxed{129,2}$
(Jawaban C)

Rata-rata dari 5 data tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{4+5+8+9+9}{5} = 7$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i- \overline{x}|} {n} }$
di mana $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ banyaknya data.
$$\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|4-7| + |5-7| + |8-7| + |9-7| + |9-7|} {5} \\ & = \dfrac{3+2+1+2+2}{5} \\ & = \dfrac{10}{5} = 2 \end{aligned}$$Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{2}$
(Jawaban C)

Rata-rata dari 6 data tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{8+3+4+6+2+7}{6} = 5$
Selanjutnya, carilah simpangan baku dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_B = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i- \overline{x})^2} {n}}}$
di mana $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ banyaknya data.
$$\begin{aligned} S_B & = \sqrt{\dfrac{(8-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2+(2-5)^2+(7-5)^2}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9+4+1+1+9+4}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{28}{6}}  = \sqrt{\dfrac{14}{3}} =  \dfrac{1}{3}\sqrt{42} \end{aligned}$$Jadi, simpangan baku dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}\sqrt{42}}$
(Jawaban B)

Ingat bahwa jumlah datum dihitung dengan cara mengalikan frekuensi dan rata-ratanya.
Misalkan
$x_1 =$ jumlah tinggi $10$ wanita,
$x_2 =$ jumlah tinggi $7$ wanita yang tersisa,
$x_3=$ jumlah tinggi $3$ wanita yang dikeluarkan,
$a =$ rata-rata tinggi $3$ wanita yang dikeluarkan,
maka diperoleh persamaan:
$\begin{aligned} x_1 & = x_2 + x_3 \\ 10 \times 155 & = 7 \times 156,5 + 3a \\ 1550 & = 1095,5 + 3a \\ 3a & = 1550- 1095,5 \\ 3a & = 454,5 \\ a & = \dfrac{454,5}{3} = 151,5 \end{aligned}$
Jadi, tinggi rata-rata tiga wanita yang dikeluarkan itu adalah $\boxed{151,5~\text{cm}}$
(Jawaban B) 

Lengkapi tabel di atas dengan menyisipkan hasil kali frekuensi dan nilai yang bersesuaian dengan kolomnya sebagai berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nilai (N)} & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 & 60 & \text{Jumlah} \\ \hline \text{Frekuensi (f)} & 3 & 4 & 5 & 8 & x & 3 & 23 + x  \\ \hline Nf & 90 & 140 & 200 & 360 & 50x & 180 & 970 + 50x \\ \hline \end{array}$$Rata-ratanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\text{Jumlah nilai}}{\text{Banyak orang}} \\ 44 & = \dfrac{970 + 50x}{23 + x} \\ 44(23 + x) & = 970 + 50x \\ 1012 + 44x & = 970 + 50x \\ 1012- 970 & = 50x- 44x \\ 42 & = 6x \\ x & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{7}$
(Jawaban B) 

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom $x_i$ dan $f_ix_i$ berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & f_ix_i \\ \hline 60-64 & 3 & 62 & 186 \\ 65-69 & 8 & 67 & 536 \\ 70-74 & 10 & 72 & 720 \\ 75-79 & 12 & 77 & 924 \\ 80-84 & 7 & 82 & 574 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 &- & 2940 \\ \hline \end{array}$
Diperoleh $\sum f = 40$ dan $\sum f_ix_i = 2940$, sehingga rataan datanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\displaystyle \sum f_ix_i} {\sum f} \\ & = \dfrac{2940}{40} \\ & = 73,5 \end{aligned}$
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara $\overline{x}_s = 75$. Selanjutnya, buatlah tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline  \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & d_i = x_i- \overline{x}_s & f_id_i \\ \hline 60-64 & 3 & 62 &-13 &-39 \\ 65-69 & 8 & 67 &-8 &-64 \\ 70-74 & 10 & 72 &-3 &-30 \\ 75-79 & 12 & 77 & 2 & 24 \\ 80-84 & 7 & 82 & 7 & 49 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 &- &- &-60 \\ \hline \end{array}$$Rata-ratanya adalah
$\begin{aligned} \overline{x} & = \overline{x}_s + \dfrac{\sum f_id_i}{\sum f} \\ & = 75 + \dfrac{-60}{40} \\ & = 75- 1,5 \cdots \approx 73,5 \end{aligned}$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika 40 orang siswa tersebut adalah $\boxed{73,5}$
(Jawaban A)

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Penjualan Beras (Ton)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 21-25 & 3 \\ 26-30 & 5 \\ \color{red}{ 31-35} & \color{red}{15} \\  36-40 & 8 \\ 41-45 & 6 \\ 46-50 & 3 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $31-35$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_0 = 31- 0,5 = 30,5$
Lebar kelas $c = 5$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_1 = 15- 5 = 10$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_2 = 15-8 = 7$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 30,5 + 5\left(\dfrac{10}{10+7}\right) \\ & = 30,5 + \dfrac{50}{17} \\ & = 30,5 + 2,941176\cdots \approx 33,44 \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $\boxed{33,44~\text{ton}}$
(Jawaban A) 

Banyaknya siswa perempuan pada tingkat SD, SMP, SMA, dan SMK berturut-turut berdasarkan diagram batang di atas adalah $700, 800, 900$, dan $400$, sehingga jumlah semuanya adalah $\boxed{700 + 800 + 900 + 400 = 2.800~\text{orang}}$
(Jawaban D)