Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita)

 

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang himpunan berupa soal cerita (aplikatif). 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Non-cerita)

Soal Nomor 1
Dalam suatu kelompok siswa terdapat 8 siswa yang suka bermain musik dan 12 siswa yang suka menyanyi. Jika banyak keseluruhan siswa ada 14 orang, maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan formula,
n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B),
maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah

(8 + 12) - 14 = 20 - 14 = 6
Jadi, ada 6 siswa yang menyukai bernyanyi sekaligus bermain musik. 

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa di antaranya gemar bermain pingpong, 18 siswa gemar bermain sepak bola, dan 7 siswa tidak menyukai keduanya. Banyak siswa yang menyukai keduanya adalah…

Penyelesaian

Misalkan A menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain pingpong, sedangkan B menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain sepak bola.
Diketahui
\begin{aligned} & n(S) = 40 \\ & n(A) = 25 \\ & n(B) = 18 \\ & n(A \cup B)^c = 7 \end{aligned}
Dengan menggunakan formula,
n(A \cap B) = n(A) + n(B) + n(A \cup B)^c - n(S), diperoleh
n(A \cap B) = 25 + 18 + 7 - 40 = 10
Jadi, banyak siswa yang gemar bermain pingpong maupun sepak bola adalah 10 orang.

[collapse]

Soal Nomor 3
Kelas VII-A terdiri dari 31 siswa. Sebanyak 15 siswa mengikuti kompetisi matematika, 13 siswa mengikuti kompetisi IPA, dan 7 siswa tidak mengikuti kompetisi tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan A menyatakan himpunan siswa yang mengikuti kompetisi matematika, sedangkan B kompetisi IPA, serta S himpunan semesta, maka dapat ditulis
\begin{aligned} n(S) & = 31 \\ n(A) & = 15 \\ n(B) & = 13 \\ n(A \cup B)^c & = 7 \end{aligned}
Berarti, n(A \cup B) = n(S) - n(A \cup B)^c = 31-7 = 24
Dengan demikian, 
\begin{aligned} n(A \cap B) & = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \\ & = 15 + 13 - 24 = 4 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{4} siswa yang mengikuti kompetisi tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 4
Terdapat 60 orang pelamar yang harus mengikuti tes tertulis dan tes wawancara agar dapat diterima sebagai karyawan sebuah perusahaan. Ternyata 32 orang karyawan lulus tes wawancara, 48 orang lulus tes tertulis, dan 6 orang tidak mengikuti tes tersebut. Banyak pelamar yang diterima sebagai karyawan perusahaan adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan A menyatakan himpunan pelamar yang lulus tes tertulis, sedangkan B lulus tes wawancara, serta S himpunan semesta, maka dapat ditulis
\begin{aligned} n(S) & = 60 \\ n(A) & =48 \\ n(B) & = 32\\ n(A \cup B)^c & = 6 \end{aligned}
Berarti, n(A \cup B) = n(S) - n(A \cup B)^c = 60-6=54
Dengan demikian, 
\begin{aligned} n(A \cap B) & = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \\ & = 48+32 - 54 = 26 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{26} pelamar yang diterima sebagai karyawan perusahaan itu.

[collapse]

Soal Nomor 5
Dari 120 orang mahasiswa semester 7 di suatu sekolah tinggi, diketahui 100 mahasiswa mengambil paling sedikit satu mata kuliah aplikasi pilihan, yaitu mata kuliah Asuransi, Perbankan, dan Transportasi. Diketahui juga 65 orang mengambil Asuransi, 45 orang mengambil Perbankan, 42 orang mengambil Transportasi, 20 orang mengambil Asuransi dan Perbankan, 25 orang mengambil Asuransi dan Transportasi, dan 15 orang mengambil Perbankan dan Transportasi. 
a. Tentukan banyaknya mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah tersebut. 
b. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi. 
c. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan. 
d. Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Transportasi. 
e. Gambarkan diagram Venn.

Penyelesaian

Misalkan A menyatakan himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Asuransi, P perbankan, dan T transportasi, serta S sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
\begin{aligned} n(S) & = 120 \\ n(A \cup P \cup T) & = 100 \\ n(A) & = 65 \\ n(P) & = 45 \\ n(T) & = 42 \\ n(A \cap P) & = 20 \\ n(A \cap T) & = 25 \\ n(P \cap T) & = 15 \end{aligned}
Jawaban a) 
Ditanya: n(A \cap P \cap T)
\begin{aligned} n(A \cup P \cup T) & = n(A) + n(P) + n(T) - n(A \cap P) \\ & - n(A \cap T) - n(P \cap T) + n(A \cap P \cap T) \\ 100 & = 65 + 45 + 42 - 20 - 25 - 15 \\ & + n(A \cap P \cap T) \\ 100 & = 92 + n(A \cap P \cap T) \\ n(A \cap P \cap T) & = 100-92 = 8 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{8} mahasiswa yang mengambil ketiga mata kuliah itu sekaligus. 
Jawaban b)
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Perbankan, tetapi tidak mengambil mata kuliah Transportasi = 20 - 8 = 12 orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Perbankan = 25 - 8 = 17 orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi adalah 
\boxed{65 - 12 - 17 - 8 = 28} orang. 
Jawaban c) 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Perbankan, tetapi tidak mengambil mata kuliah Transportasi = 20 - 8 = 12 orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Asuransi = 15 - 8 = 7 orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan adalah
\boxed{45 - 12 - 7 - 8 = 18} orang. 
Jawaban d) 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Perbankan dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Asuransi = 15 - 8 = 7 orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Asuransi dan Transportasi, tetapi tidak mengambil mata kuliah Perbankan = 25 - 8 = 17 orang. 
Banyaknya mahasiswa yang hanya mengambil mata kuliah Transportasi adalah
\boxed{42 - 17 - 7 - 8 = 10} orang. 
Jawaban e)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dari 50 siswa, 30 siswa menyukai aritmetika, 30 siswa menyukai geometri, dan 30 siswa menyukai aljabar. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan geometri adalah 15 orang. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan aljabar juga 15 orang, sama halnya dengan yang menyukai aljabar dan geometri. Berapa banyak siswa yang menyukai ketiga-ketiganya?

Penyelesaian

Misalkan A menyatakan himpunan siswa yang menyukai aritmetika, G geometri, dan J aljabar, serta S sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
\begin{aligned} n(S) & = 50 \\ n(A) & = 30 \\ n(G) & = 30 \\ n(J) & = 30 \\ n(A \cap G) & = 15 \\ n(A \cap J) & = 15 \\ n(G \cap J) & = 15 \end{aligned}
Ditanya: n(A \cap G \cap J)
\begin{aligned} n(S) & = n(A) + n(G) + n(J) - n(A \cap G) - n(A \cap J) \\ & - n(G \cap J) + n(A \cap G \cap J) \\ 50 & = 30 + 30 + 30 - 15 - 15 - 15 + n(A \cap G \cap J) \\ 50 & = 45 + n(A \cap G \cap J) \\ n(A \cap G \cap J) & = 50-45 = 5 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{5} siswa yang menyukai aritmetika, geometri, dan aljabar sekaligus.

[collapse]

Soal Nomor 7
Di antara 100 siswa, 32 siswa menyukai PKn, 20 menyukai IPS, dan 45 menyukai IPA, 7 menyukai PKn dan IPS, 10 menyukai IPS dan IPA, dan 15 menyukai PKn dan IPA. Diketahui juga sebanyak 30 siswa tidak menyukai ketiganya. 
a) Berapa siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran tersebut? 
b) Berapa siswa yang hanya menyukai PKn? 
c) Berapa siswa yang hanya menyukai IPS? 
d) Berapa siswa yang hanya menyukai IPA? 
e) Berapa siswa yang hanya menyukai satu dari tiga mata pelajaran tersebut?

Penyelesaian

Misalkan P menyatakan himpunan siswa yang menyukai PKn, I IPS, dan A IPA, serta S sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
\begin{aligned} n(S) & = 100 \\ n(P \cup I \cup A)^c & = 30 \\ n(P) & = 32 \\ n(I) & = 20 \\ n(A) & = 45 \\ n(P \cap I) & = 7 \\ n(P \cap A) & = 15 \\ n(I \cap A) & = 10 \end{aligned}
Jawaban a) 
Ditanya: n(A \cap P \cap T)
\begin{aligned} n(S) - n(P \cup I \cup A)^c & = n(P) + n(I) + n(A) - n(P \cap I) - n(P \cap A) \\ & - n(I \cap A) + n(P \cap I \cap A) \\ 100 - 30 & = 32 + 20 + 45 - 7 - 15 - 10 + n(P \cap I \cap A) \\ 70 & = 65 + n(P \cap I \cap A) \\ n(P \cap I \cap A) & = 70-65 = 5 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{5} siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran itu sekaligus. 
Jawaban b) 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPS, tetapi tidak menyukai IPA
= n(P \cap I) - n(P \cap I \cap A) = 7 - 5 = 2 orang. 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPA, tetapi tidak menyukai IPS
=n(P \cap A) - n(P \cap I \cap A) = 15-5 = 10 orang. 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai PKn
= n(P) - 2 - 10 - n(P \cap I \cap A) = 32 - 2 - 10 - 5 = 15 orang. 
Jawaban c) 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPS, tetapi tidak menyukai IPA
= n(P \cap I) - n(P \cap I \cap A) = 7 - 5 = 2 orang. 
Banyaknya siswa yang menyukai IPS dan IPA, tetapi tidak menyukai PKn
=n(I \cap A) - n(P \cap I \cap A) = 10-5 = 5 orang. 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai IPS
= n(I) - 2 - 5 - n(P \cap I \cap A) = 20 - 2 - 5 - 5 = 8 orang. 
Jawaban d) 
Banyaknya siswa yang menyukai PKn dan IPA, tetapi tidak menyukai IPS
=n(P \cap A) - n(P \cap I \cap A) = 15-5 = 10 orang. 
Banyaknya siswa yang menyukai IPS dan IPA, tetapi tidak menyukai PKn
=n(I \cap A) - n(P \cap I \cap A) = 10-5 = 5 orang. 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai IPA
= n(A) - 2 - 10 + n(P \cap I \cap A) = 45 - 10 - 5 - 5 = 25 orang. 
Jawaban e) 
Banyaknya siswa yang hanya menyukai satu dari tiga mata pelajaran tersebut adalah \boxed{15+8+25 = 48} orang. 

[collapse]