Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

 

Berikut ini adalah soal & pembahasan materi persamaan kuadrat (tingkat SMA). Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi belajar.

Soal Nomor 1
Apakah persamaan berikut tergolong persamaan kuadrat atau tidak? Berilah alasannya jika tidak.
a. x^2-7 = 3
b. x^3+7x^2-6x+8=0
c. x+6=-2x+9
d. 3x^2-7x+9=0
e. x^2 + \sqrt{x} - 6 = 0
f. x^2 + \dfrac{1}{x} + x = 0

Penyelesaian

Persamaan kuadrat haruslah berbentuk ax^2+bx+c=0 dengan a, b, c \in \mathbb{R} dan a \neq 0.
(Jawaban a) Persamaan kuadrat dengan b = 0 (sehingga variabel x tidak ada).
(Jawaban b) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel berpangkat 3.
(Jawaban c) Bukan persamaan kuadrat, karena tidak terdapat variabel berpangkat 2. Dengan kata lain, a = 0.
(Jawaban d) Persamaan kuadrat.
(Jawaban e) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel di bawah tanda akar.
(Jawaban f) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat bentuk \dfrac{1}{x}.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai diskriminan dari masing-masing persamaan kuadrat berikut.
a. x^2+8x+7=0
b. x^2-5x+6=0
c. x^2-9=0
d. 2x^2-7x = 0
e. 3x^2+\sqrt{3}x - 9 = 3

Penyelesaian

Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 ditentukan oleh D = b^2-4ac.
(Jawaban a) Diketahui a = 1, b = 8, dan c=7.
\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 8^2-4(1)(7) \\ & = 64-28 = 36 \end{aligned}
Jadi, nilai diskriminannya adalah \boxed{36}.
(Jawaban b) Diketahui a = 1, b = -5, dan c=6.
\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-5)^2-4(1)(6) \\ & = 25-24 = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai diskriminannya adalah \boxed{1}.
(Jawaban c) Diketahui a = 1, b = 0, dan c=-9.
\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 0^2-4(1)(-9) \\ & = 0+36 = 36 \end{aligned}
Jadi, nilai diskriminannya adalah \boxed{36}.
(Jawaban d) Diketahui a = 2, b = -7, dan c=0. \begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-7)^2-4(2)(0) \\ & = 49-0=49 \end{aligned}
Jadi, nilai diskriminannya adalah \boxed{49}.
(Jawaban e) Ubah menjadi bentuk umum persamaan kuadrat: 3x^2+\sqrt{3}x-12=0
Diketahui a = 3, b = \sqrt{3}, dan c=-12.
\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (\sqrt{3})^2-4(3)(-12) \\ & = 3+144 = 147 \end{aligned}
Jadi, nilai diskriminannya adalah \boxed{147}.

[collapse]

Soal Nomor 3
Akar-akar persamaan kuadrat x^2+ax-4=0 adalah p dan q. Jika p^2 - 2pq + q^2 = 8a, maka nilai a adalah \cdots
A. -8            B. -4           C. 4               D. 6               E. 8

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar p+q = -\dfrac{a}{1} = -a dan hasil kali akar pq = \dfrac{-4}{1} = -4.
Selanjutnya, akan dicari nilai a.
\begin{aligned} p^2 - 2pq + q^2 & = 8a \\ (p + q)^2 - 4pq & = 8a \\ \text{Substitusikan}~p+q=-a~\text{dan}~pq = -4 \\ (-a)^2 - 4(-4) - 8a & = 0 \\ a^2 - 8a + 16 & = 0 \\ (a - 4)(a-4) & = 0 \end{aligned}
Jadi, diperoleh \boxed{a = 4} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Akar-akar persamaan x^2 - (a-1)x + 2 = 0 adalah \alpha (baca: alfa) dan \beta (baca: beta). Jika \alpha = 2\beta dan a > 0, maka nilai a = \cdots
A. 2             B. 3             C. 4               D. 6             E. 8

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar \alpha + \beta = -\dfrac{-(a-1)}{1} = a-1
dan hasil kali akar
\alpha \beta = \dfrac{2}{1} = 2.

Langkah pertama adalah mencari dulu nilai \alpha dan \beta.
\begin{aligned} \alpha \beta & = 2 \\ \text{Substitusikan}~\alpha = 2\beta \\ 2\beta \cdot \beta & = 2 \\ \beta^2 & = 1 \\ \beta & = \pm 1 \end{aligned}
Untuk \beta = 1, didapat \alpha = 2(1) = 2.
Untuk \beta = -1, didapat \alpha = 2(-1) = -2.
Substitusikan nilai-nilai ini pada persamaan jumlah akar.
Misalnya \alpha = 2 dan \beta = 1.
\begin{aligned} \alpha + \beta & = a - 1 \\ 1 + 2 & = a - 1 \\ 3 & = a - 1 \\ a & = 4 \end{aligned}
Misalnya \alpha = -2 dan \beta = -1.
\begin{aligned} \alpha + \beta & = a - 1 \\ -1 - 2 & = a - 1 \\ -3 & = a - 1 \\ a & = -2 \end{aligned}
Diperoleh a = -2 (tidak memenuhi karena syaratnya a > 0) dan a = 4. Untuk itu, nilai a yang dimaksud adalah \boxed{4} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan kuadrat x^2+(a-3)x+9=0. Nilai a yang menyebabkan persamaan tersebut mempunyai akar-akar kembar adalah \cdots
A. a = 6 atau a = -6
B. a = 3 atau a = -3
C. a = 6 atau a = 3
D. a = 9 atau a = -3
E. a = 12 atau a = -3

Penyelesaian

Syarat akar kembar dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya harus bernilai 0. Untuk itu, didapat
\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (a-3)^2 - 4(1)(9) & = 0 \\ a^2 - 6a + 9 - 36 & = 0 \\ a^2-6a-27&=0 \\ (a-9)(a+3)&=0 \\ a = 9 &~\text{atau}~a = -3 \end{aligned}
Jadi, nilai a yang membuat persamaan kuadrat itu memiliki akar kembar adalah a = 9 atau a = -3 (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6 
Persamaan kuadrat x^2+4px+4=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Jika x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2x_2 = 32, maka nilai p = \cdots
A. -4         B. -2           C. 2             D. 4             E. 8

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar
x_1+x_2 = -\dfrac{4p} {1} = -4p
dan hasil kali akar
x_1 x_2 = \dfrac{4}{1} = 4.
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2x_2 & = 32 \\ x_1x_2(x_1 + x_2) & = 32 \\ 4(-4p) & = 32 \\ -16p & = 32 \\ p & = -2 \end{aligned}
Jadi, nilai p adalah \boxed{-2} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7 
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (1-\sqrt{3}) dan (1+\sqrt{3}) adalah \cdots
A. x^2+2x-2=0               D. 2x^2+2x-1=0
B. x^2-2x-2=0                E. 2x^2-2x-1=0
C. x^2-2x+2=0

Penyelesaian

Misalkan akar-akarnya adalah x_1 = 1-\sqrt{3} dan x_2 = 1+\sqrt{3}. Diketahui jumlah akar
x_1 + x_2 = (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3}) = 2
dan hasil kali akar
\begin{aligned} x_1 x_2 & = (1-\sqrt{3}) (1+\sqrt{3}) \\ & = 1 - 3 = -2 \end{aligned}
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
\begin{aligned} x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2 & = 0 \\ x^2-2x-2 & = 0 \end{aligned} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8 
Persamaan kuadrat 2x^2-2(p-4)x+p=0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah \cdots
A. p \leq -2 atau p \geq 8
B. p < 2 atau p > 8
C. p < -8 atau p>-2
D. 2 \leq p \leq 8
E. 2 < p < 8

Penyelesaian

Syarat persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda adalah diskriminannya bernilai 0.
\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-2(p-4))^2 - 4(2)(p) & > 0 \\ 4(p^2-8p+16) - 8p & > 0 \\ 4p^2-32p+64 - 8p & > 0 \\ 4p^2-40p+64 & > 0 \\p^2-10p+16 & > 0 \\ (p-2)(p-8) &>0 \end{aligned}
Diperoleh pembuat nol p = 2 atau p = 8. Gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda positif-negatif.

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah \boxed{p < 2~\text{atau}~p > 8} (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 9 
Persamaan 3x^2+(k-2)x - k+2 = 0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai k yang memenuhi adalah \cdots
A. k \leq 2 atau k \geq 10               D. k > 10
B. k \leq -10 atau k \geq 2              E. -10 < k < 2
C. k < -10 atau k > 2

Penyelesaian

Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar real yang berbeda apabila diskriminannya bernilai lebih dari 0. Untuk itu, ditulis
\begin{aligned} D > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (k-2)^2-4(3)(-k+2)&> 0 \\ k^2-4k+4+12k-24 & > 0 \\ k^2+8k-20 & > 0 \\ (k+10)(k-2) & > 0 \end{aligned}
Diperoleh pembuat nol k = -10 atau k=2. Gunakan garis bilangan berikut untuk menentukan tanda positif-negatif.

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah \boxed{k < -10~\text{atau}~k > 2} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10 
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari dua kali akar-akar persamaan kuadrat x^2+3x+7=0 adalah \cdots
A. x^2+12x+23=0                  D. x^2+8x+35=0
B. x^2-8x+35=0                     E. x^2+8x-35=0
C. x^2-4x+23=0

Penyelesaian

Misalkan akar persamaan kuadrat x^2+3x+7=0 adalah x_1 dan x_2, sehingga
x_1 + x_2 = -\dfrac{3}{1} = -3
dan
x_1x_2 = \dfrac{7}{1} = 7
Selanjutnya, misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah p dan q, dengan p = 2x_1-1 dan q = 2x_2-1.
Jumlah akarnya adalah
\begin{aligned} p + q & = (2x_1-1)+(2x_2-1) \\ & = 2(x_1+x_2) - 2 \\ & = 2(-3) - 2 = -8 \end{aligned}
Hasil kali akarnya adalah
\begin{aligned} pq & = (2x_1-1)(2x_2-1) \\ & = 4x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 1 \\ & = 4(7) -2(-3)+1 = 35 \end{aligned}
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
\begin{aligned} x^2-(p+q)x + pq & = 0 \\ x^2-(-8)x + 35 & = 0 \\ x^2+8x+35 & = 0 \end{aligned}
Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah \boxed{x^2+8x+35=0} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Persamaan kuadrat 3x^2-(a-1)x-1=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Sedangkan persamaan yang akar-akarnya \dfrac{1}{x_1} dan \dfrac{1}{x_2} adalah x^2-(2b+1)x + b = 0. Nilai dari 2a+b=\cdots
A. 11        B. 10        C. 9           D. 7               E. 5

Penyelesaian

Dari persamaan 3x^2-(a-1)x-1=0, diperoleh
x_1+x_2 = -\dfrac{-(a-1)} {3} = \dfrac{a-1}{3}
dan
x_1x_2 = \dfrac{-1}{3}
Dari persamaan x^2-(2b+1)x+b=0, diperoleh hasil kali akarnya
\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} & = \dfrac{b}{1} \\ \dfrac{1}{x_1x_2} & =b \\ \dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}} & = b \\ b & = -3 \end{aligned}
dan jumlah akarnya
\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} & = -\dfrac{-(2b+1)} {1} \\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} & = 2b+1 \\ \text{Substitusikan}~b = -3 \\ \dfrac{\dfrac{a-1}{\cancel{3}}} {-\dfrac{1}{\cancel{3}}} & = 2(-3) +1 \\ -(a - 1) & = -5 \\ a-1 & = 5 \\ a & = 6 \end{aligned}
Dengan demikian, 2a+b = 2(6)+(-3) = 9
Jadi, nilai dari 2a+b adalah \boxed{9} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Persamaan kuadrat x^2+x+p&=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Jika x_1 > x_2 dan 2x_1+x_2 = 1, maka nilai p adalah \cdots
A. -8         B. -6         C. 2          D. 4             E. 8

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat x^2+x+p=0, diketahui
\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{1}{1}=-1 \\ x_1x_2 & = \dfrac{p} {1}=p \\ 2x_1+x_2&=1 \end{aligned}
Akan dicari nilai dari x_1 dan x_2 sebagai berikut.
\begin{aligned} 2x_1+x_2& = 1 \\ x_1 + (x_1+x_2) & = 1 \\ x_1 + (-1) & = 1 \\ x_1 & = 2 \end{aligned}
Ini berarti,
\begin{aligned} x_1+x_2&=-1 \\ \text{Substitusikan}~x_1=2 \\ 2+x_2 & = -1 \\ x_2 & = -3 \end{aligned}
Selanjutnya, diperoleh x_1x_2=p \Rightarrow p = 2(-3) = -6
Jadi, nilai p adalah \boxed{-6} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui persamaan kuadrat (p-2)x^2-2px+2p-7=0 mempunyai dua akar yang saling berkebalikan. Nilai p yang memenuhi persamaan tersebut adalah \cdots
A. 5         B. 4            C. 3            D. -3             E. -5

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat (p-2)x^2 - 2px + 2p - 7 = 0 adalah x_1 dan x_2, diperoleh
\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{-2p} {p-2} = \dfrac{2p} {p-2} \\ x_1x_2 & = \dfrac{2p-7}{p-2} \end{aligned}
Diketahui bahwa akarnya saling berkebalikan, sehingga ditulis
\begin{aligned} x_1 & = \dfrac{1}{x_2} \\ x_1x_2 & = 1 \\ \dfrac{2p-7}{p-2} & = 1 \\ 2p-7 & = p - 2 \\ 2p-p & = -2+7\\ p & = 5 \end{aligned}
Jadi, nilai p yang memenuhi persamaan tersebut adalah \boxed{5} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika akar-akar persamaan kuadrat 3x^2+6x + k+2=0 adalah A dan B, serta diketahui A^3+B^3 = 12, maka nilai k = \cdots
A. -16        B. -12         C. -8          D. 8            E. 12

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat 3x^2+6k+k+2=0, diperoleh
\begin{aligned} A+B & = -\dfrac{6}{3} = -2 \\ AB & = \dfrac{k+2}{3} \end{aligned}
Diketahui: A^3+B^3=12. Akan dicari nilai k sebagai berikut.
\begin{aligned} A^3+B^3 & = 12 \\ (A+B)^3 - 3A^2B - 3AB^2 & = 12 \\ (A+B)^3 - 3AB(A+B) & = 12 \\ \text{Substitusikan}~A+B = -2~\text{dan}~AB = \dfrac{k+2}{3} \\ (-2)^3 - \cancel{3} \cdot \dfrac{k+2}{\cancel{3}} (-2) & = 12 \\ -8 - (k+2)(-2) & = 12 \\ 2(k+2) & = 20 \\ k+2&= 10 \\ k & = 8 \end{aligned}
Jadi, nilai k adalah \boxed{8} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Akar-akar persamaan kuadrat 2x^2+mx+16=0 adalah \alpha dan \beta. Jika \alpha = 2\beta dan \alpha, \beta positif, maka nilai m adalah \cdots
A. -12      B. -6          C. -4          D. 6           E. 12

Penyelesaian

Diketahui:
\boxed{\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ \alpha \beta & = \dfrac{16}{2} = 8 \\ \alpha & = 2 \beta \end{aligned}}
Substitusikan \alpha = 2\beta ke \alpha \beta = 8.
\begin{aligned} \alpha \beta & = 8 \\ \2\beta \cdot \beta & = 8 \\ \beta^2 & = 4 \\ \beta & = \pm 2 \end{aligned}
Karena diketahui \beta positif, maka diambil \beta = 2.
Untuk \beta = 2, diperoleh \alpha = 2(2) = 4.
Selanjutnya, akan dicari nilai m.
\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ 4+2 & = -\dfrac{m} {2} \\ 6 & = -\dfrac{m} {2} \\ m & = -12 \end{aligned}
Jadi, nilai m adalah \boxed{-12} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Persamaan kuadrat (k+2)x^2-(2k-1)x+k-1 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah \cdots
A. \frac{9}{8}      B. \frac{8}{9}      C. \frac{5}{2}      D. \frac{2}{5}       E. \frac{1}{5}

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
\boxed{\begin{aligned} a & = k +2 \\ b & = -(2k-1) = -2k+1 \\ c & = k-1 \end{aligned}}
Syarat akar real dan sama (kembar) dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya bernilai 0.
\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-2k+1)^2 - 4(k+2)(k-1) & = 0 \\ 4k^2-4k+1-4(k^2+k-2)& = 0 \\ 4k^2-4k+1-4k^2-4k+8 & = 0 \\ -8k + 9 & = 0 \\ k & = \dfrac{9}{8} \end{aligned}
Jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah
\begin{aligned} \text{Jumlah akar} & = -\dfrac{b} {a} \\ & = \dfrac{2k-1}{k+2} \\ & = \dfrac{2 \cdot \frac{9}{8} - 1}{\frac{9}{8} + 2} \\ & = \dfrac{\frac{9}{4} - \frac{4}{4}} {\frac{9}{8} + \frac{16}{8}} \\ & = \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{25} = \dfrac{2}{5} \end{aligned}
Jadi, jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah \boxed{\dfrac{2}{5}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Akar-akar persamaan kuadrat x^2-2x+3=0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya \dfrac{1}{m^2+2} dan \dfrac{1}{n^2+2} adalah \cdots
A. 9x^2-2x+1=0
B. 9x^2+2x+1=0
C. 9x^2-2x-1=0
D. 9x^2+x-2=0
E. 9x^2-x-2=0

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat x^2-2x+3=0, diketahui
\begin{aligned} m+n & = 2 \\ mn & = 3 \end{aligned}
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2}+\dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{n^2+2+m^2+2}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{m^2+n^2+4}{m^2n^2+2m^2+2n^2+4} \\ & = \dfrac{(m+n)^2-2mn+4}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4} \\ & = \dfrac{2^2-2(3)+4}{3^2+2(2)^2 - 4(3)+4} \\ & = \dfrac{4-6+4}{9+8-12+4} \\ & = \dfrac{2}{9} \end{aligned}
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2} \cdot \dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{1}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{1}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4}\\ & = \dfrac{1}{3^2+2(2)^2-4(3)+4} \\ & = \dfrac{1}{9+8-12+4} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
\begin{aligned} x^2-\dfrac{2}{9}x+\dfrac{1}{9}& = 0 \\ \text{Kalikan}~9~\text{di kedua ruas} \\ 9x^2-2x+1&=0 \end{aligned}
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya \dfrac{1}{m^2+2} dan \dfrac{1}{n^2+2} adalah \boxed{9x^2-2x+1=0} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Persamaan kuadrat x^2+(2a-1)x+a^2-3a-4=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Jika x_1>0 dan x_2>0, maka nilai a adalah \cdots
A. -\frac{17}{8} \leq a < \dfrac{1}{2}     
B. -\frac{17}{8} \leq a < 4
C. -\frac{17}{8} \leq a < -1
D. -1 \leq a < \dfrac{1}{2}
E. -1 \leq a < 4

Penyelesaian

Karena akar-akar persamaan kuadrat itu positif, maka hasil akarnya haruslah mengakibatkan pembilangnya positif, yakni
\begin{aligned} x_1x_2 = \dfrac{a^2-3a-4}{1} & > 0 \\ a^2-3a-4 & > 0 \\ (a-4)(a+1) & > 0 \end{aligned}
Pembuat nol a = 4 atau a = -1.
Agar persamaan kuadrat itu memiliki akar yang real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
\begin{aligned} D & \geq 0 \\ (2a-1)^2-4(1)(a^2-3a-4)& \geq 0 \\ 4a^2-4a+1-4a^2+12a+16 & \geq 0 \\ 8a + 17 & \geq 0 \\ a  & \geq -\dfrac{17}{8} \end{aligned}
Buatlah garis bilangan berikut dan tentukan tandanya dengan uji titik.

Daerah penyelesaiannya adalah \boxed{-\dfrac{17}{8} \leq a < 1} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x^2-6x+2=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3p-1) dan (3q-1) adalah \cdots
A. x^2+10x+1=0
B. x^2-10x+7=0
C. x^2-16x+7=0
D. x^2-16x+1=0
E. x^2-x-7=0

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat x^2-6x+2=0, diketahui
\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = - \dfrac{-6}{2}=3 \\ pq & = \dfrac{c} {a} = \dfrac{3}{1}= 3 \end{aligned}
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
\begin{aligned} (3p-1)+(3q-1) & = 3(p+q) -2 \\ & = 3(6)-2 = 18 \end{aligned}
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah

\begin{aligned} (3p-1)(3q-1)&= 9pq - 3p - 3q + 1 \\ & = 9pq - 3(p+q) +1 \\ & = 9(2) - 3(6) + 1 \\ & = 18 - 18 + 1 = 1 \end{aligned}
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah \boxed{x^2-16x + 1 = 0} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika x_1 dan x_2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x^2-(p^2+q^2)x + pq = 0 dan 3(x_1+x_2)=10x_1x_2, maka \cdots
A. p=\frac{3}{2}q           D. p=\frac{3}{4}q 
B. p=\frac{1}{3}q            E. p=\frac{1}{4}q
C. p=\frac{2}{3}q       

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat x^2-(p^2+q^2)x + pq = 0, diperoleh
\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{-(p^2+q^2)} {1} = p^2+q^2 \\ x_1x_2 & = \dfrac{pq} {1} = pq \end{aligned}
Dari persamaan 3(x_1+x_2) = 10x_1x_2, kita peroleh
\begin{aligned} 3(p^2+q^2) & = 10pq \\ 3p^2 - 10pq + 3q^2 & = 0 \\ (3p - q) (p-3q) & = 0 \end{aligned}
Dari sini, didapat p = \dfrac{1}{3}q atau p = 3q
Berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan, maka pilihan jawaban yang tepat adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 21
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu lebih dari kebalikan
akar-akar persamaan 2x^2-3x-4=0 adalah \cdots
A. 2x^2-x-5=0
B. 2x^2+x-4=0
C. 4x^2-5x-1=0
D. 4x^2+5x-1=0
E. 5x^2-4x-1=0

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2x^2-3x-4=0 adalah x_1 dan x_2, sehingga diperoleh
\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{2} = -2 \end{aligned}
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah p dan q, dengan p = \dfrac{1}{x_1} +1 dan q = \dfrac{1}{x_2} + 1, sehingga diperoleh
\begin{aligned} p+q & = \dfrac{1}{x_1} + 1 + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} + 2 \\ & = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{-2} + 2 \\ & = -\dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{5}{4} \end{aligned}
dan
\begin{aligned} pq & = \left(\dfrac{1}{x_1} + 1\right) \cdot \left(\dfrac{1}{x_2}+1\right) \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{x_1+x_2}{x_1x+2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{-2} - \dfrac{3}{4} + 1 \\ & = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang baru itu adalah
\begin{aligned} x^2 - (p+q)x + pq & = 0 \\ x^2 - \dfrac{5}{4}x - \dfrac{1}{4} & = 0 \\ 4x^2 - 5x - 1 & = 0 \end{aligned}
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah \boxed{4x^2-5x-1=0} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika akar persamaan kuadrat x^2 + (2m-5)x + (m^2-2m-15) = 0 real
dan negatif, maka nilai m yang memenuhi adalah \cdots
A. -3<m<5
B. m<-3
C. m<-3 atau m>5
D. 5<m \leq 7\frac{1}{12}
E. m<5

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui a = 1, b = 2m - 5, c = m^2-2m-15.
Misalkan persamaan kuadrat itu memiliki akar p dan q, maka
\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2m-5}{1} = -2m+5 \\ pq & = \dfrac{c}{a} = m^2-2m-15 \end{aligned}
Agar akar persamaan kuadrat itu real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4ac & \geq 0 \\ (-2m+5)^2 - 4(1)(m^2-2m-15) & \geq 0 \\ 4m^2-20m+25-4m^2+8m+60 & \geq 0 \\ -12m \geq -85 \\ m & \leq \dfrac{85}{12} = 7\dfrac{1}{12} \end {aligned}
Kita sebut m \leq 7\dfrac{1}{2} sebagai pertidaksamaan pertama.
Agar akar persamaan kuadrat itu bernilai negatif, maka jumlah akarnya harus negatif dan hasil kali akarnya positif.
\begin{aligned} p + q & < 0 \\ -2m + 5 & < 0 \\ -2m & < -5 \\ m >\dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Kita sebut m > 2\dfrac{1}{2} sebagai pertidaksamaan kedua.
\begin{aligned} pq & > 0 \\ m^2-2m-15 & > 0 \\ (m-5)(m+3) & > 0\end{aligned}
Diperoleh pembuat nol m = 5 atau m = -3.
Penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah m < -3 atau m > 5.

Iriskan dengan pertidaksamaan pertama dan kedua dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut.

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah 5 < m \leq 7\dfrac{1}{2} (Jawaban D)

[collapse]