Soal dan Pembahasan – Relasi Rekurensi dengan Fungsi Pembangkit

 

Anda diharuskan sudah menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial karena pada postingan ini, langkah menguraikan bentuk pecahan yang akan didekomposisi akan dilewatkan (skip). Gunakan informasi berikut untuk menjawab soal-soal di bawah.
\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \binom{k} {n} = \binom{k} {k-n} \\ & \sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \dfrac{x} {(1-x)^2} \\ & \sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n = \dfrac{x^2+x} {(1-x)^3} \end{aligned}}

Soal Nomor 1
Selesaikan relasi rekurensi berikut dengan menggunakan fungsi pembangkit,
a_n - a_{n-1} = 7
dengan a_0 = 1

Penyelesaian

Misalkan a(x) adalah fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk menyelesaikan relasi rekurensi ini, maka haruslah
\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n - a_{n-1})x^n = 7
Tinjau sukunya satu per satu.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n = a(x) - a_0 = a(x) - 1
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n = x\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^{n-1} = xa(x)
Jadi, persamaan di atas dapat ditulis,
\begin{aligned}& a(x) - 1 - xa(x) = 7 \\ & (1 - x)a(x) = 8 \\ & a(x) = \dfrac{8}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 8x^n \end{aligned}
Jadi, solusi relasi rekurensinya adalah \boxed{a_n = 8} (barisan konstan yang setiap suku-sukunya 8).

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikan relasi rekurensi
a_n - 2a_{n-1} = 0 dengan a_0 = 3

Penyelesaian

Relasi rekurensi tersebut merupakan relasi rekurensi homogen dengan koefisien konstan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Tetapi, kita akan mencoba menggunakan metode fungsi pembangkit.
Misalkan G(x) fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk relasi ini, maka haruslah
\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 2a_{n-1})x^n = 0 \\ & \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n - 2x \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^{n-1} = 0 \\ & (G(x) - a_0) - 2xG(x) = 0 \\ & (1 -2x)G(x) = 3 \\ & G(x) = \dfrac{3}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} 3(2^n)x^n \end{aligned}
Jadi, solusi relasi rekurensinya adalah \boxed{a_n = 3(2^n)}

[collapse]

Soal Nomor 3
Selesaikan a_n - 3a_{n-1} = n^2, n \geq 1, a_0 = 1

Penyelesaian

Misalkan
\displaystyle G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n
sehingga bentuk operator sumasi dari barisan rekursif tersebut dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle & \sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 3a_{n-1})x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n \\ & (G(x) -1) - 3xG(x) = \dfrac{x^2+x} {(1-x)^3} \\ & (1-3x)G(x) = \dfrac{x^2+x} {(1-x) ^3} + 1 \\ & G(x) = \dfrac{x^2+x + (1-x)^3}{(1-x)^3(1-3x)} \\ & G(x) = \dfrac{-x^3+4x^2-2x+1}{(1-x)^3(1-3x)} \end{aligned}
Dengan menerapkan teknik dekomposisi pecahan parsial (prosedurnya memang cukup panjang dalam kasus ini), diperoleh
\begin{aligned}G(x) & = \dfrac{-\dfrac{13}{8}} {1-x} + \dfrac{\dfrac{9}{4}} {(1-x)^2} + \dfrac{-\dfrac{5}{2}} {(1-x)^3} + \dfrac{\dfrac{23}{8}} {1-3x} \\ & = -\dfrac{13}{8} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n + \dfrac{9}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{n} x^n \\ & - \dfrac{5}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{n}x^n + \dfrac{23}{8} \sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{13}{8} + \dfrac{9}{4} \binom{n+1}{1} - \dfrac{5}{2} \binom{n+2}{2} + \dfrac{23}{8}. 3^n\right)x^n \end{aligned}
Jadi, didapat
\boxed{a_n = -\dfrac{13}{8} + \dfrac{9}{4} \binom{n+1}{1} - \dfrac{5}{2} \binom{n+2}{2} + \dfrac{23}{8}. 3^n}

[collapse]

Soal Nomor 4
Selesaikan a_n = a_{n-1} + n, a_0 = 1.

Penyelesaian

Misalkan
\displaystyle G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n
sehingga bentuk operator sumasi dari barisan rekursif tersebut dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle & \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n = \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n-1} + n)x^n \\ & G(x) -1 = xG(x) + \dfrac{x} {(1-x)^2} \\ & G(x)(1-x) = \dfrac{x} {(1-x)^2} + \dfrac{(1-x)^2}{(1-x)^2} \\ & G(x) = \dfrac{x+(1-x)^2}{(1-x)^2(1-x)} = \dfrac{1-x+x^2}{(1-x)^3} \end{aligned}
Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, diperoleh
\begin{aligned} G(x) & = \dfrac{1}{1-x} - \dfrac{1}{(1-x)^2} + \dfrac{1}{(1-x)^3} \\ & =\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+1}{n} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2}x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(1-(n+1)+\binom{n+2}{2}\right)x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-n +\binom{n+2}{2}\right)x^n \end{aligned}
Jadi, barisan eksplisitnya adalah
\boxed{a_n = -n +\binom{n+2}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal OSN Pertamina Tahun 2010)
Jika a_n - 3a_{n-1} = 2-2n^2,a_0 = 3, maka a_{99} = \cdots

Penyelesaian

Misalkan
G(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n dan perhatikan bahwa
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x} ekuivalen dengan \sum_{n=1}^{\infty} x^n =\dfrac{1}{1-x} - 1, berarti dapat kita tulisan bentuk barisan rekursif di atas menjadi
\displaystyle \begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty} (a_n - 3a_{n-1})x^n = \sum_{n=1}^{\infty} (2-2n^2)x^n \\ & [G(x) - 3] - 3xG(x) = \dfrac{2}{1-x} - 2 - \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^3} \\ & G(x) = \dfrac{-x^3+3x^2-9x+3}{(1-x)^3(1-3x)} \end{aligned}
Uraikan dengan dekomposisi pecahan parsial untuk mendapatkan
\begin{aligned} \displaystyle G(x) & = \dfrac{2}{(1-x)^3} + \dfrac{1}{1-3x} \\ & = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2+n} {n} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \left(2 \binom{2+n} {n} + 3^n\right)x^n \end{aligned}
Jadi, rumus barisan eksplisitnya adalah
\displaystyle a_n = 2 \binom{2+n} {n} + 3^n = 2 \binom{2+n} {2} + 3^n
sehingga
\boxed{a_{99} = 2 \binom{2+99}{99} + 3^{99} = 3^{99} + 99^2 + 299}

[collapse]

Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralan dengan Residu

 


Soal Nomor 1
Tentukan residu pada semua titik singular (pole) dari fungsi
f(z) = \dfrac{4}{1+z^2}

Penyelesaian

Fungsi itu dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{4}{(z+i) (z-i)}
Diperoleh titik singular z_0 = -i dan z_0 = i yang masing-masing berorde satu alias kutub sederhana (simple pole).
Ambil
p(z) = 4 dan q(z) = 1 + z^2
Dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res}_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = -i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = -i}} = \dfrac{4}{-2i}= -2i
dan
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = i}} = \dfrac{4}{2i}= 2i
Jadi, untuk titik singular z_0= i, residu fungsinya adalah 2i, sedangkan untuk titik singular z_0 = -i, residu fungsinya adalah -2i.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\cos z} {z^4}

Penyelesaian

(Cara I)
Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0. Ubah bentuk fungsinya dalam deret Laurent, di mana ekspresi \cos z sebagai bagian deret Taylor dan \dfrac{1}{z^4} sebagai principal part deret Laurent, sehingga
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{z^4} \times \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n \times z^{2n}} {(2n)!} \\ & = \dfrac{1}{z^4} \times \left(1 - \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} - \dfrac{z^6}{6!} + \cdots\right) \\ & = \dfrac{1}{z^4} -\dfrac{1}{z^4.2!} + \dfrac{1}{4!} - \dfrac{z^2}{6!} + \cdots \end{aligned}
Residu fungsi pada titik singular z_0 = 0 adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z}. Tampak pada ekspresi terakhir, tidak ada bentuk \dfrac{1}{z} yang berarti koefisiennya 0. Jadi, residu fungsi ini untuk titik singular z_0 = 0 adalah 0.
(Cara II)
Anda dapat menggunakan rumus residu secara langsung untuk z_0 = 0, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{d^{n-1}} {dz^{n-1}} \left((z - z_0)^n \times f(z)\right)\right],
maka
\begin{aligned} \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{(4-1)!} \lim_{z \to 0} \left[\dfrac{d^{4-1}} {dz^{4-1}} \left(z^n \times \dfrac{\cos z} {z^4} \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{3!} \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{d^3}{dz^3} (\cos z)\right) \\ & = \dfrac{1}{6} \lim_{z \to 0} (\sin z) = 0 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\sin 2z} {z^6}

Penyelesaian

Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0.
Kita dapat memanfaatkan penjabaran fungsinya menjadi deret Laurent untuk mencari residunya.
\begin{aligned}\dfrac{\sin 2z} {z^6} & = \displaystyle \dfrac{1}{z^6} \times \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2z)^{n+1}} {(2n+1)!} \\ & = \dfrac{1}{z^6} \times \left((2z) - \dfrac{(2z)^3} {3!} + \dfrac{(2z) ^5}{5!} - \cdots\right) \\ & = \dfrac{2}{z^5} - \dfrac{2^3}{z^3.3!} + \dfrac{2^5}{z. 5!} - \cdots \end{aligned}
Residunya adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z} (karena z_0 = 0), yaitu
\boxed{\dfrac{2^5}{5!} = \dfrac{4}{15}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah residu dari f(z) =\tan z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \tan z = \dfrac{\sin z} {\cos z}
Titik singular fungsinya adalah nilai z yang membuat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi}{2}, sehingga dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{\sin z} {\cos z} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi} {2}} {-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \sec z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \sec z = \dfrac{1}{\cos z}
Titik singular/pole fungsinya adalah nilai z saat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi} {2}, sehingga
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{1}{\cos z} = \dfrac{1}{-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{1 - e^z}

Penyelesaian

Titik singular/pole fungsi ini adalah nilai z sehingga 1 - e^z = 0, yaitu z_0 = 0
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{1}{1 - e^z} = \dfrac{1}{-e^0} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{(z^2-1)^2}

Penyelesaian

Fungsi ini dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}
Fungsi ini ternyata memiliki dua buah pole, yaitu z_0 = 1 (berorde dua) dan z_0 = -1 (berorde dua).
Residu pada titik singular z_0 = 1 adalah
\begin{aligned}& \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \left[\dfrac{d} {dz} \left((z-1)^2 \times \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \right)\right]\\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{d}{dz} \left(\dfrac{1}{(z+1)^2}\right)\right) \\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{-2}{(z+1)^3}\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan residu dari f(z) = \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2}

Penyelesaian

Fungsi di atas dapat ditulis
f(z) = \dfrac{z^4}{(z-2i) (z+i)}
Diperoleh pole fungsinya, yaitu z_0 = 2i dan z_0 = -i (masing-masing berorde satu).
Residu pada titik singular/pole z_0 = 2i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 2i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(2i^4}{2(2i) - i} = \dfrac{16}{3}i
Residu pada titik singular/pole z_0 = -i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(-i) ^4}{2(-i) - i} = -\dfrac{1}{3}i

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz dengan C: |z| = 1

Penyelesaian

Kurva yang diberikan adalah kurva lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 1. Pertama, kita akan mencari pole dari integrannya, yaitu
\tan \pi z = \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z}
Nilai z yang membuat \cos \pi z = 0 adalah z_0 = \pm \dfrac{1}{2}. Selain itu, z_0 = \pm \dfrac{3}{2} juga membuat \cos \pi z = 0, tetapi z_0 ini berada di luar kurva C, jadi tidak perlu ditinjau.
Langkah selanjutnya akan dicari residu pada pole z_0 = \dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = \frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin \dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Berikutnya, akan dicari residu pada pole z_0 = -\dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -\frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin -\dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin -\dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz & = 2\pi i \times \sum \text{Res} \tan \pi z \\ & = 2 \pi i\left(-\dfrac{1}{\pi} - \dfrac{1}{\pi}\right) = -4i \end{aligned}
Jadi, hasil integralnya adalah -4i

[collapse]

Soal Nomor 10
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz dengan C: |z| = 2

Penyelesaian

Pole fungsinya adalah nilai z yang membuat 4z^2 - 1 = 0, yaitu z_0 = \pm \dfrac{1}{2} (keduanya berorde satu dan berada dalam kurva C).
Berikut akan dicari residu dari kedua pole itu satu per satu, yaitu
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \frac{1}{2}} {4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
dan
\displaystyle \text{Res}_{z = -\frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin -\frac{1}{2}} {-4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned}\displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz & = 2\pi i \times \left(\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{4}\pi i \sin \dfrac{1}{2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 11
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} dengan C: |z| = \dfrac{1}{2}\pi

Penyelesaian

Integrannya dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{e^z + z} {z(z-1)(z+1)}
Pole fungsi ini adalah z_0 = 0, z_0 = 1, dan z_0 = -1, ketiganya berorde satu dan berada dalam kurva C.
Berikut ini akan dicari residunya.
Residu untuk z_0 = 0 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^0 + 0}{3(0)^2 - 1} = -1
Residu untuk z_0 = 1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^1 + 1}{3(1)^2 - 1} = \dfrac{e + 1}{2}
Residu untuk z_0 = -1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -1} \dfrac{e^z - z} {z^3 - z} = \dfrac{e^{-1} - 1}{3(-1)^2 - 1} = \dfrac{e^{-1} - 1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} & = \dfrac{1}{2}\pi \\ & = 2\pi i \times \left(-1 + \dfrac{e + 1}{2} + \dfrac{e^{-1} - 1}{2}\right) \\ & = \boxed{\pi i(-2 + e + e^{-1})} \end{aligned}

[collapse]

Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

 

 

Soal Nomor 1
Uraikan fungsi \dfrac{1}{z+3} dalam deret Laurent untuk daerah konvergensi |z| > 3.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ada 2 arti dari daerah |z|>3, yaitu
1) Perlu menguraikan fungsi tersebut untuk daerah konvergensinya, yaitu pada semua z yang berada di luar lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 3.
2) Perlu menguraikan fungsi tersebut ke dalam bentuk deret pangkat positif maupun negatif dari z. Singkatnya menjadi
\boxed{\displaystyle \sum a_n.z^n + \sum \dfrac{b_n}{z^n} }
Perhatikan bahwa,
\dfrac{1}{z+3} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{z} {3}}
Uraikan ekspresi \dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{3}} dalam deret Taylor. Ingat bentuk berikut.
\boxed{\displaystyle \dfrac{1}{1 + z} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^nz^n}
Jadi, dapat ditulis
\dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{z} {3}} = \dfrac{1}{z} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n. \left(\dfrac{3}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n. 3^n} {z^{n+1}}
Dapat dilihat bahwa kita hanya mencari principal part dari deret Laurent karena daerah yang diminta adalah |z| > 3

[collapse]

Soal Nomor 2
Uraikan fungsi \dfrac{1}{z - 1} dalam deret Taylor pada daerah |z - 2| < 2 dan bagian principal part deret Laurent pada daerah |z - 2| > 2.

Penyelesaian

Titik singular fungsi tersebut adalah z = 1, sedangkan daerah konvergensinya adalah |z - 2| < 2 (di dalam lingkaran dengan pusat (2,0) dan berjari-jari 2). Karena titik singularnya berada dalam daerah konvergensi, maka uraikan fungsinya hanya dengan deret Taylor (sebagaimana yang diminta pada soal).
\dfrac{1}{z - 1} = \dfrac{1}{1 + (z - 2)} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-z + 2)^n
Di lain pihak, titik singular fungsi berada di luar daerah konvergensi |z - 2| > 2, sehingga diuraikan dalam principal part deret Laurent.
\begin{aligned} \dfrac{1}{z-1} & = \dfrac{1}{1 + (z - 2)} \\ & = \dfrac{1}{(z - 2)\left(1 + \dfrac{1}{z - 2}\right)} \\ & = \dfrac{1}{z-2} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n. \left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n} {(z - 2)^{n+1}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Uraikan fungsi \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} dalam deret Laurent untuk daerah 4 < |z - 2| < \infty

Penyelesaian

Daerah konvergensi 4 < |z - 2| < \infty ekuivalen dengan |z - 2| > 4. Titik singular fungsinya, yaitu z = -2 dan z = 1 masing-masing di luar daerah konvergensinya, sehingga penguraiannya dengan menggunakan principal part deret Laurent sebagai berikut.
\begin{aligned}& \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{z + 2} + \dfrac{\dfrac{1}{3}} {z - 1} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4 + (z - 2)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{1 + (z - 2)} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z - 2)\left(1 + \dfrac{4}{z - 2}\right)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z-2)\left(1 + \dfrac{1}{z - 2}\right)} \\ & = -\dfrac{1}{3(z-2)} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{4}{z -2}\right)^n + \dfrac{1}{3(z-2)} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \boxed{\dfrac{1}{3}(1-4^n) \sum \dfrac{(-1)^n} {(z-2)^{n+1}}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan)
Uraian deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} pada daerah |z + i| < 1 adalah…..

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{3}{z^2 - iz} = \dfrac{3}{z(z - i)}
Titik singular fungsi ini adalah z = 0 dan z = i yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi |z + i| < 1 (lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1), sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} & \dfrac{3}{z(z + i)} = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z - i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} - \dfrac{1}{i^n}}\right) \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi f(z) = \sin \left( \dfrac{1}{z}\right) pada daerah konvergensi |z| > 0

Penyelesaian

Karena daerah konvergensinya adalah |z| > 0, maka penyelesaiannya melibatkan principal part deret Laurent. Perhatikan bahwa,
\boxed{\sin z = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^nz^{2n+1}} {(2n+1)!}}
Jadi,
\sin \left( \dfrac{1}{z}\right) = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \times \left(\dfrac{1}{z} \right)^{2n+1} = \sum \dfrac{(-1)^n} {(2n+1)!.z^{2n+1}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} untuk daerah konvergensi 0 < |z - 1| < 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} = \dfrac{1}{z(z-1)^2}
Tampak titik singular z_1 = 0 dan z_2 = 1, berturut-turut berada dalam syarat konvergensi |z - 1| < 1 dan |z - 1| > 0, berarti bagian fungsi yang memiliki syarat |z - 1| < 1 akan diselesaikan seperti deret Taylor dan bagian fungsi yang memiliki syarat |z - 1| > 0 akan diselesaikan seperti principal part dalam deret Laurent.
Bentuk fungsi di atas dapat dipecah menjadi
f(z) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2}
Tinjau bagian \dfrac{1}{(z-1)^2} yang akan dicari bentuk principal part. Tetapi, ternyata bentuk tersebut sudah dalam bentuk deret pangkat \dfrac{1}{(z-1)^n} sehingga tidak perlu diubah lagi.
Jadi,
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \dfrac{1}{1 + (z - 1} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \displaystyle \sum (-1)^n(z-1)^n \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \boxed{\sum (-1)^n(z-1)^{n-2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 7
Uraikan fungsi f(z) = \dfrac{5z + 2i} {z(z+i)} dalam deret Laurent untuk daerah 1 < |z - i| < 2

Penyelesaian

Anulus konvergensinya adalah daerah di antara lingkaran berpusat di (0,1) dan berjari-jari 1 dengan 2. Fungsi yang diberikan memiliki titik singular z = 0 dan z = i. Titik singular z = 0 berada lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan z = i diselesaikan seperti deret Taylor karena lebih besar dari daerah konvergensi. Pertama-tama, pecahkan fungsinya dalam bentuk parsial.
\dfrac{5z+2i} {z(z+i}} = \dfrac{2}{z} + \dfrac{3}{z+i}
(i) Menguraikan bentuk \dfrac{2}{z} dalam principal part deret Laurent.
\begin{aligned} \dfrac{2}{z} & = \dfrac{2}{i + (z - i)} \\ & = \dfrac{2}{(z-i)\left(1 + \dfrac{i}{z-i}\right)} \\ & = \dfrac{2}{z-i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{i} {z-i} \right)^n \\ & = \boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}}} \end{aligned}
(ii) Menguraikan bentuk \dfrac{3}{z + i} dalam bentuk deret Taylor.
\begin{aligned} \dfrac{3}{z+i} & = \dfrac{3}{2i + (z - i)} \\ & = \dfrac{3}{2i\left(1 + \dfrac{z-i} {2i} \right)} \\ & = \dfrac{3}{2i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-i} {2i} \right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}} \end{aligned}
Jadi, deret Laurentnya adalah penjumlahan dari keduanya, yaitu
\boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}} + 3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}}

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON-MIPA PT Seleksi UGM Tahun 2015)
Uraikan fungsi f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} dalam bentuk deret Laurent dari daerah 0 < |z - 2| < 2

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} = \dfrac{z+3}{(z-4)(z-2)}
Daerah konvergensinya adalah di antara lingkaran berpusat di (2,0) berjari-jari 0 dan 2.
Titik singular fungsi tersebut adalah z = 4 dan z = 2. Titik singular z = 2 lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan titik singular z = 4 lebih besar dari daerah konvergensi, dan harus diselesaikan dalam bentuk deret Taylor.
Untungnya, \dfrac{1}{z - 2} sudah dalam bentuk principal part, sehingga tidak perlu diubah. Sekarang, akan diuraikan bentuk \dfrac{1}{z -4} dalam deret Taylor sebagai berikut.
\begin{aligned} \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{z-4} & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2 + (z - 2)} \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2\left(1 + \dfrac{z-2}{-2}\right) } \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-2}{-2}\right)^n \\ & = \boxed{ -(z + 3) \sum \dfrac{(z-2)^{n-1}} {2^{n+1}}} \end{aligned}

[collapse]

Soal dan Pembahasan – Kombinatorika (Tingkat Lanjut)

 

Berikut ini adalah beberapa soal mengenai kombinatorika beserta penyelesaiannya yang diambil dari soal-soal tingkat olimpiade seperti ON-MIPA PT dan OSN Pertamina. Selamat belajar!

Soal Nomor 1
Enam dadu (dengan 6 sisi) dilempar satu kali. Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 9 adalah \cdots

Penyelesaian

Ada P(S) = 6^6 susunan untuk kasus ini.
Kemungkinan munculnya jumlah mata dadu 9 adalah sebagai berikut (masing-masing angka merepresentasikan setiap mata dadu yang muncul).
1~1~1~1~1~4 sebanyak \dfrac{6!}{5!} = 6 susunan.

1~1~1~1~2~3 sebanyak \dfrac{6!}{4!} = 30 susunan.

1~1~1~2~2~2 sebanyak \dfrac{6!}{3!.3!} = 20 susunan.
Semua susunan yang mungkin adalah 6 + 30 + 20 = 56 susunan, sehingga probabilitas munculnya jumlah mata dadu 9 adalah
P(9) = \dfrac{56}{6^6}

[collapse]

Soal Nomor 2
Banyak cara mengisi persegi panjang berukuran 2 \times 16 dengan persegi panjang berukuran 2 \times 2, 2 \times 3, dan 2 \times 4 adalah \cdots

Penyelesaian

Karena setiap persegi panjang yang diberikan memiliki ukuran panjang yang sama, yaitu 2, maka kita hanya perlu meninjau ukuran lebarnya. Untuk mengisi persegi panjang berukuran 2 \times 16 tersebut, kita perlu menentukan nilai a, b, c \in \mathbb{N} sedemikian sehingga persamaan berikut berlaku.
2a + 3b + 4c = 16
Tabel berikut menyatakan kombinasi nilai a, b, c yang mungkin untuk memenuhi persamaan di atas.

Jadi, ada 10 cara mengisi persegi panjang tersebut. Tetapi, perlu diperhatikan bahwa penempatan urutan nilai a,b,c (mewakili persegi panjang dengan ukuran yang disebutkan pada soal) juga mengakibatkan perbedaan cara pengisiannya. Untuk masing-masing cara pada tabel, kita dapat menggunakan permutasi berulang guna menghitung banyak cara seluruhnya, yaitu (untuk setiap barisnya):
\begin{aligned} & 1 + \dfrac{5!}{3!.2!} + \dfrac{5!}{1!.2!.2!} + \dfrac{6!}{4!.2!} + \dfrac{5!}{4!.1!} \\ &  + \dfrac{6!}{3!.2!.1!} + \dfrac{7!}{6!.1!} + \dfrac{6!}{2!.4!} + \dfrac{7!}{5!.2!} + 1 \\ &= 1 + 10 + 30 + 15 + 5 + 60 + 7 + 15 + 21 = 165 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada babak final sebuah turnamen, tim pemenang adalah tim yang pertama sekali memenangkan 2 pertandingan secara berurutan atau tim yang pertama sekali memenangkan 4 pertandingan. Banyak cara turnamen dapat terjadi adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan pada turnamen tersebut, dua tim yang bertanding adalah Tim A dan Tim B. Tabel berikut menyatakan kemungkinan yang dapat terjadi agar tim A menang (M = menang, K = kalah).

Maksimal pertandingan yang dapat terjadi hanya sampai 7 kali. Masing-masingnya menghasilkan 2 kemungkinan, yaitu untuk tim A dan tim B (tabel di atas merepresentasikan kemenangan tim A). Jadi, ada 6 \times 2 = 12 cara agar turnamen demikian dapat terjadi.

[collapse]

Soal Nomor 4
Pada sebuah lemari terdapat 25 helai baju yang terdiri atas 4 ukuran, yaitu 5 helai baju berukuran S, 4 helai baju berukuran M, 9 helai baju berukuran L, dan 7 helai baju berukuran XL. Tentukan jumlah baju paling sedikit yang dapat diambil agar selalu diperoleh 7 helai baju berukuran sama.

Penyelesaian

Gunakan Prinsip Sarang Merpati (PSM) untuk kasus ini.
Ada 4 ukuran baju berbeda. Ambil 6 helai masing-masing ukuran bajunya, yaitu
5 helai baju ukuran S (maksimum)
4 helai baju ukuran M (maksimum)
6 helai baju ukuran L
6 helai baju ukuran XL
Jumlah: 5 + 4 + 6 + 6 = 21 helai baju. Ambil 1 helai baju lagi (antara baju berukuran L atau XL), sehingga dipastikan kita sudah memegang 7 helai baju dengan ukuran yang sama. Jadi, kita perlu mengambil paling sedikit 22 helai baju agar selalu diperoleh 7 helai baju dengan ukuran yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada sebuah pesta pernikahan terdapat 6 orang (termasuk pengantin) yang hendak berfoto. Banyak cara menata pose foto dalam satu baris dari keenam orang tersebut sedemikian sehingga pengantin berdiri tidak saling berdekatan/bersampingan adalah \cdots

Penyelesaian

Banyak cara menata pose foto 6 orang berdiri dalam satu baris adalah
P_6^6 =\dfrac{6!}{(6-6)!} = 720 cara
Banyak cara menata pose foto 6 orang sehingga pengantin berdiri saling berdekatan/bersampingan adalah
P_2^2 \times P_2^2 \times P_4^4 = 2 \times 2 \times 24 = 96 cara
Jadi, banyak cara menata pose foto sehingga pengantin berdiri tidak saling berdekatan/bersampingan adalah
720 - 96 = 624 cara.

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah password terdiri atas 7 huruf kapital. Password dikatakan legal bila memenuhi dua kondisi: (i) tidak terdapat huruf yang sama, (ii) huruf X dan Y tidak saling berdekatan. Besar peluang membentuk password yang legal adalah \cdots

Penyelesaian

Semua kemungkinan di mana huruf X dan Y saling berdekatan dinyatakan dalam bagan berikut.

Ada 6 posisi, dan XY \neq YX, berarti total semuanya ada 12 posisi untuk memenuhi syarat kedua. Masing-masing kotak putih pada setiap baris memiliki pemilihan huruf yang sama dan tak boleh berulang, yaitu
24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 (dimulai dari 24, karena ada 26 huruf dan huruf XY telah terpakai).
Jadi, banyak cara membentuk password tanpa pengulangan huruf dan huruf X dan Y berdekatan adalah
12 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20
Dengan kata lain, banyak cara membentuk password tanpa pengulangan huruf dan huruf X dan Y tidak berdekatan adalah
(26 \times 25 \times \cdots \times 20) - (12 \times 24 \times \cdots \times 21 \times 20)
atau disederhanakan menjadi
(26 \times 25 - 12) \times 24 \cdots \times 20 = 638 \times 24 \cdots \times 20
Jadi, peluang membentuk password legal adalah
\boxed{\dfrac{638 \times 24 \cdots \times 20}{26^7}}

[collapse]

Soal Nomor 7
Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita?

Penyelesaian

Jumlah wanita di dalam panitia: 2, 3, 4, atau 5 orang.
Pilih 2 orang dari 5 wanita, ada C(5, 2) cara, sisanya pilih 3 orang dari 7 pria, ada C(7,3) cara.
Pilih 3 orang dari 5 wanita, ada C(5, 3) cara, sisanya pilih 2 orang dari 7 pria, ada C(7,1) cara.
Pilih 4 orang dari 5 wanita, ada C(5, 4) cara, sisanya pilih 1 orang dari 7 pria, ada C(7,2) cara.
Pilih 5 orang dari 5 wanita, ada C(5, 5) cara, sisanya pilih 0 orang dari 7 pria, ada C(7,0) cara.
Jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya adalah
\begin{aligned} C(5,2)C(7,3) + & C(5,3)C(7,2) + \\ & C(5,4)C(7,1) +C(5,5)C(7,0) \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Enam komite akan dibentuk dari 14 orang. Bila 2 komite dari 6 komite ini terdiri atas 3 orang dan sisanya terdiri atas masing-masing 2 orang, maka banyaknya komite yang dapat dibentuk adalah …

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 9a
Diberikan persamaan x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12, dengan x_i adalah bilangan cacah. Berapa jumlah kemungkinan solusinya?

Penyelesaian

Ini merupakan kasus kombinasi dengan pengulangan, di mana n = 4 (dianalogikan sebagai banyak kotak) dan r = 12 (dianalogikan sebanyak 12 bola). Setiap kotak bisa diisi 0, 1, 2,…, 12 bola, dengan syarat jumlah bola pada seluruh kotak yang ada adalah 12 bola. Contoh penyelesaiannya adalah
x_1 = 3, x_2 =, 4, x_3 = 3, x_4 = 2
Seluruh kemungkinan yang ada adalah
C(4 + 12 - 1, 12) = C(15, 12) = 455 buah kemungkinan solusi.

[collapse]

Soal Nomor 9b
Berapa banyak solusi bilangan bulat dari x_1 +x_2 +x_3 = 10 jika diberi syarat 0 \leq x_1 \leq 2, x_2 > 1, dan x_3 \geq 0?

Penyelesaian

Analogikan dengan membagi 10 buah bola yang identik ke dalam 3 buah kotak, sebut saja kotak x_1, x_2, dan x_3. Jadi, x_1 ada kemungkinan berisi 0 (tak berisi), 1, atau 2. Untuk masing-masing nilai x_1, kita perinci perhitungannya sebagai berikut.
(i) Kasus x_1=0, berarti x_2+ x_3 = 10. Isikan 2 bola ke dalam kotak x_2 (karena syaratnya x_2 > 1). Bagikan 8 bola sisanya ke kotak x_2 dan x_3, semuanya ada C(2+8-1,8)=C(9,8) cara.
(ii) Kasus x_1=1, berarti x_2+ x_3 = 9. Isikan 2 bola ke dalam kotak x_2 (karena syaratnya x_2 > 1). Bagikan 7 bola sisanya ke kotak x_2 dan x_3, semuanya ada C(2+7-1,7)=C(8,7) cara.
(i) Kasus x_1=2, berarti x_2+ x_3 = 8. Isikan 2 bola ke dalam kotak x_2 (karena syaratnya x_2 > 1). Bagikan 6 bola sisanya ke kotak x_2 dan x_3, semuanya ada C(2+6-1,6)=C(7,6) cara.
Jumlah solusi seluruhnya adalah
\boxed{C(9,8) +C(8,7) +C(7,6) = 9 + 8 + 7 = 24} buah.

[collapse]



Soal Nomor 10
Setiap bujur sangkar pada persegi panjang berukuran 1 \times n diwarnai dengan menggunakan satu dari tiga warna merah, putih, atau biru. Banyak cara mewarnai persegi 1 \times n dengan merah, putih, atau biru sehingga terdapat genap buah bujur sangkar berwarna putih adalah…

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah papan catur C terdiri atas i baris dan j jalur. Misalkan b menyatakan banyaknya maksimal benteng yang dapat diletakkan pada C sehingga tidak ada dua benteng yang saling menyerang. Tentukan banyaknya cara meletakkan b buah benteng pada C sedemikian sehingga tidak ada dua benteng yang saling menyerang. [Catatan: Pada permainan catur, gerak benteng adalah berarah horizontal (pada baris) dan berarah vertikal (pada lajur)].

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 12
Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5?

Penyelesaian

Bilangan 100.000 jelas tidak memenuhi untuk kasus ini sehingga kita hanya perlu meninjau bilangan dengan 5 digit (untuk kasus bilangan ratusan, anggap posisi puluh ribuan dan ribuannya 0, begitu juga untuk kasus bilangan ribuan). Berarti, ada 5 cara mengisi angka 5, 4 cara mengisi angka 4, dan 3 angka mengisi angka 3. Dua tempat kosong lainnya bisa diisi angka lain yaitu 0, 1, 2, 6, 7, 8, dan 9 (ada 7 angka dan boleh berulang). Jadi, banyak bilangan yang demikian adalah
\boxed{5 \times 4 \times 3 \times 7 \times 7 = 2940~\text{cara}}

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dan 500-an, berapa banyak cara lima koin dapat diambil?

Penyelesaian

Kasus ini adalah kasus kombinasi dengan pengulangan (karena koin tertentu dapat diambil lebih dari sekali). Di sini n = 4 dan r = 5 berarti banyak cara yang dimaksud adalah
C(4 + 5 - 1, 5) = C(8,5) cara.

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan banyaknya cara agar 4 buku matematika, 3 buku sejarah, 3 buku kimia, dan 2 buku sosiologi (jenis bukunya berbeda) dapat disusun dalam satu baris sedemikian sehingga (untuk masing-masing soal):
a. semua buku yang topiknya sama letaknya bersebelahan
b. urutan buku dalam susunan bebas

Penyelesaian

(Jawaban a) Pandang setiap topik buku sebagai satu kesatuan (karena harus bersebelahan). Karena ada 4 topik, jadi kita peroleh 4! untuk mengatur susunannya. Di lain sisi, setiap topik memiliki jenis buku yang berbeda pula. Untuk topik matematika, ada 4! cara mengatur susunannya, 3! cara mengatur susunan buku sejarah, 3! cara mengatur susunan buku kimia, dan 2! mengatur susunan buku sosiologi. Jadi, totalnya ada
4! \times 4! \times \times 3! \times 3! \times 2! = 41.472 cara mengatur susunan buku dengan syarat yang diberikan.
(Jawaban b) Ini termasuk kasus permutasi dengan pengulangan, jadi ada
\dfrac{12!}{4!. 3!. 3!. 2!} = 277.200  cara mengatur susunan bukunya.

[collapse]

Soal Nomor 15
Misalkan |A| = m dan |B|=n. Berapa banyak fungsi yang dapat dibuat dari himpunan A ke himpunan B?

Penyelesaian

Ingatlah kembali definisi fungsi bahwa setiap elemen pada himpunan A (domain) harus mempunyai pemetaan tepat satu di himpunan B (kodomain). Elemen pertama di A mempunyai n kemungkinan peta di B, begitu juga elemen kedua, elemen ketiga, sampai elemen ke-m, sehingga jumlah fungsi yang dapat dibuat dari A ke B (terapkan aturan perkalian) adalah
\underbrace{n \times n \times\cdots \times n} _{\text{sebanyak}~m} = n^m buah.

[collapse]

Soal Nomor 16
Berapa banyak string yang dibentuk dari permutasi huruf-huruf pada kata “SARUNG” sedemikian sehingga huruf-huruf vokal terletak pada posisi yang bersebelahan?

Penyelesaian

Huruf vokal pada kata SARUNG adalah A dan U. Hal yang ditanyakan dalam soal ini adalaah string yang mengandung UA atau AU. Karena UA atau AU harus muncul pada satu blok, maka kita harus menghitung jumlah permutasi blok AU atau UA dengan huruf-huruf S, R, N, dan G. Untuk AU,S, R, N, dan G, jumlah kata yang dapat dibentuk adalah P(5,5)=5!, begitu juga untuk UA, S, R, N, dan G.
Jadi, jumlah kata seluruhnya adalah 5! + 5! = 240
Catatan: String adalah istilah tipe data bahasa pemrograman yang menampung data berupa huruf.

[collapse]

Soal Nomor 17a
Kartu remi (poker) seluruhnya ada 52 buah kartu dalam satu pak. Keseluruhan kartu ini terdiri dari 13 jenis kartu, setiap jenis terdiri atas 4 buah kartu. Tiga belas kartu tersebut adalah: 2, 3,…, 10, joker, ratu, raja, dan as. Setiap pemain remi mendapatkan 5 buah kartu sebagai bentuk dimulainya permainan. Berapa peluang dari 5 kartu tersebut mengandung 4 kartu dari jenis yang sama?

Penyelesaian

Jumlah cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu yang ada adalah C(52,5) (jumlah titik contoh).
Jumlah cara mengambil satu jenis kartu dari 13 jenis yang ada adalah C(13,1).
Jumlah cara mengambil 4 kartu dari 4 kartu sejenis adalah C(4,4).
Jumlah cara mengambil satu kartu lagi dari sisa 48 kartu lainnya adalah C(48,4).
Jadi, peluang dari 5 kartu tersebut mengandung 4 kartu sejenis adalah
\boxed{\dfrac{C(13,1) \times C(4,4) \times C(48,1)} {C(52,5)} = 0,00024}

[collapse]

Soal Nomor 17b 
Berapa peluang dari 5 kartu remi mengandung 4 kartu as?

Penyelesaian

Pada soal ini, jenis kartu sudah ditentukan, yaitu kartu as, jadi hanya ada satu cara (pilihan) untuk mengambilnya.
Jumlah cara mengambil 4 kartu dari 4 kartu as adalah C(4,4).
Jumlah cara mengambil 1 kartu lagi dari 48 kartu sisanya adalah C(48,4)
Jumlah cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu adalah C(52,5).
Jadi, peluang dari 5 kartu itu mengandung 4 kartu as adalah
\boxed{\dfrac{1 \times C(4,4) \times C(48,1)} {C(52,5)} = 0,0000185}

[collapse]

Soal Nomor 18
Di perpustakaan FKIP Untan terdapat 3 jenis buku berbeda: buku Matematika Diskrit, buku Struktur Aljabar, dan buku Analisis Real. Perpustakaan menyediakan sedikitnya 10 buah buku untuk masing-masing jenisnya. Berapa banyak cara memilih 10 buah buku?

Penyelesaian

Soal ini termasuk kasus kombinasi dengan pengulangan di mana n = 3 dan r = 10. Jumlah cara memilih buku adalah
C(3 + 10 - 1, 10) = C(12, 10) = 66

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebuah rangkaian digit biner adalah sebuah barisan yang terdiri dari angka 0 dan 1. Banyaknya rangkaian digit biner yang terdiri atas tepat delapan angka 0 dan tepat sepuluh angka 1 sedemikian sehingga setiap kemunculan angka 0 segera diikuti oleh digit 1 adalah …

Penyelesaian

Langkah pertama adalah memasangkan setiap angka 0 dengan angka 1. Berdasarkan informasi pada soal, kita akan memperoleh tepat 8 pasangan yang mungkin (angka 01 sebanyak 8 kali kemunculan) dan sisanya adalah angka 1 sebanyak 2 buah. Perhatikan ilustrasi tabel berikut.

Ilustrasi tabel di atas menunjukkan bahwa ada 9 kotak putih yang dapat kita tempatkan angka 1 tersisa. Jadi, ada C(9,2) = 36 cara memposisikannya (menggunakan kombinasi, karena bila angka 1 dan angka 1 yang lain dibolak-balik dianggap sama, tetap membentuk angka 11). Tetapi, ini hanya cara ketika angka 1 dan angka 1 yang lain diletakkan secara terpisah dalam kotak itu. Ada kemungkinan angka 1 dan angka 1 yang lain diletakkan dalam kotak yang sama, sebab akan menghasilkan digit biner yang berbeda, contohnya 11-01-01-01-01-01-01-01-01. Karena ada 9 kotak, maka ada 9 cara lain yang dimaksud.

Jadi, ada 36 + 9 = 45 rangkaian digit biner berbeda yang dapat dibuat dengan syarat yang diberikan.

[collapse]

Soal Nomor 20
Sebuah keluarga besar beranggotakan 14 orang anak yang terdiri dari dua kelahiran kembar tiga identik, tiga kelahiran dua identik, dan dua anak yang lain. Bila kembar identik tak dapat dibedakan, maka banyak pose foto berdiri dalam satu baris pada 14 anak tersebut adalah …

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 21
Banyak cara menugaskan 5 pekerjaan berbeda ke 4 orang pegawai berbeda sedemikian sehingga setiap pegawai ditugaskan ke paling sedikit satu pekerjaan adalah …

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur (Integral Garis)

 

Berikut ini adalah kumpulan soal beserta pembahasannya mengenai analisis kurva kompleks (termasuk Kurva Yordan) dan integral kontur (integral garis) yang didapat dari berbagai referensi. Beberapa soal merupakan soal olimpiade tingkat perguruan tinggi bidang Analisis Kompleks dan juga soal-soal yang diujikan saat Ujian Akhir Semester (UAS) sehingga dapat dijadikan sebagai referensi/sumber belajar. Selamat belajar! Jika ada pertanyaan/perbaikan, silakan ajukan di kolom komentar.



Persamaan Integral Cauchy
Jika f(z) analitik dalam domain D yang terhubungkan sederhana, maka untuk sembarang titik z_0 dalam D dan sembarang lintasan tertutup sederhana C dalam D yang melingkungi z_0 berlaku
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {z -z_0}= 2\pi if(z_0)}
Pengintegralannya dilakukan dalam arah berlawanan jarum jam.

Turunan dari Fungsi Hasil Integral Cauchy
Jika f(z) analitik dalam domain D, maka f(z) mempunyai turunan semua ordo di dalam D, yang semuanya juga analitik dalam D. Nilai turunan di titik z_0 itu dinyatakan sebagai
f'(z_0) = \displaystyle \dfrac{1}{2\pi i} \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^2}~dz
Secara umum, dapat ditulis
\boxed{f^n(z_0) = \displaystyle \dfrac{n!} {2\pi i} \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~dz}
atau
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z-z_0)^{n+1}}~dz = f^n(z_0) \times \dfrac{2\pi i} {n!}}

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari integral kompleks \int \limits_{C} \cos z~dz jika C adalah setengah lingkaran |z| = \pi, x \geq 0 dari -\pi i ke \pi i

Penyelesaian

Dalam mata kuliah kalkulus, diketahui bahwa
\boxed{\int \cos x~dx = \sin x + C}
Jadi,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \cos z~dz & = \int_{-\pi i}^{\pi i} \cos z~dz \\ & = [\sin z]_{-\pi i}^{\pi i} \\ & = \sin \pi i + \sin \pi i = 2 \sin \pi i \end{aligned}
Karena \sin iz = i~\sinh z, berarti dapat ditulis,
\boxed{\int \limits_{C} \cos z~dz = 2 \sin \pi i = 2i \sinh \pi}

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari \displaystyle \int \limits_{C} f(z)~dz jika f(z) = y - x + 6ix^2 dan C terdiri atas dua penggal garis dari z = 0 sampai z = i dan dari z = i sampai z = 1 +i adalah \cdots

Penyelesaian

Integral garis dalam kasus ini memberikan
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} & (y - x + 6ix^2)~(dx + idy) \\ & = \int \limits_{C} (y - x +6ix^2)~dx + \int \limits_{C} (iy - ix - 6x^2)~dy \end{aligned}
Garis dari z = 0 sampai z = i sama dengan garis dari titik (0,0) ke (0,1) berarti x = 0 sehingga dx = 0
Jadi, integralnya ditulis
\int_0^{1} 0 + \int_0^{1} (iy - 0)~dy = \left[\dfrac{i} {2}y^2\right]_0^{1} = \dfrac{i} {2}
Selanjutnya, garis dari z = i sampai z = 1+i sama dengan garis dari titik (0,1) ke (1, 1) berarti y = 1 sehingga dy = 0
Jadi, integralnya ditulis
\begin{aligned} \int_0^{1} (1-x+6ix^2)~dx + \int_0^{1} 0 & = \left[x - \dfrac{1}{2}x^2 + 2ix^3\right]_0^{1} \\ & = 1 -\dfrac{1}{2} + 2i \\ & = \dfrac{1}{2} +2i \end{aligned}
Ini berarti, nilai dari \int_C f(z) ~dz yang dimaksud adalah
\dfrac{i} {2}+ \dfrac{1}{2} +2i = \boxed{\dfrac{1+5i} {2}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah \int \limits_{C} \overline{z}~dz dari z = 0 ke z = 4 + 2i sepanjang kurva C yang diberikan oleh
a) z = t^2 + it
b) garis z = 0 ke z = 2i kemudian dari z = 2i ke z = 4 + 2i

Penyelesaian

(Jawaban a)
Diketahui z = t^2+it berarti konjugatnya adalah \overline{z} = t^2-it
Titik z = 0 dan z = 4+2i berkaitan dengan t = 0 dan t = 2 (akan menjadi batas bawah dan atas integral). Selain itu, dari z = t^2+it, diperoleh
dz = (2t + i)~dt
Jadi, integral garisnya diberikan oleh
\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} (t^2-it)(2t+i)~dt & = \int_{0}^{2} (2t^3-it^2+t) ~dt \\ & = \boxed{10 - \dfrac{8}{3}i} \end{aligned}
(Jawaban b)
Integral garis yang diberikan adalah
\begin{aligned} \int \limits_{C} (x-iy)&(dx + i~dy) = \int_C (x~dx + y~dy) \\ & + i \int_C (x~dy - y~dx) \end{aligned}
Garis dari z = 0 ke z = 2i sama dengan garis dari titik (0,0) ke (0,2), sehingga x = 0, dx = 0, dan integral garisnya adalah
\int_{y=0}^{2} (0 +y~dy) + i \int_{y = 0}^{2}(0 - 0) = \int_{y = 0}^{2} y~dy = 2
Garis dari z = 2i ke z = 4+2i sama dengan garis dari titik (0,2) ke (4,2), sehingga y = 2, dy = 0, dan integral garisnya adalah
\begin{aligned}& \int_{x=0}^{4} (x~dx + 0) + i \int_{x = 0}^{4}(0 - 2~dx) \\ & = \int_{x = 0}^{4} x~dx + \int_{x =0}^{4} (-2)~dx \\ & = 8 - 8i \end{aligned}
Jadi, nilai yang diinginkan adalah
(2) + (8 - 8i) = 10 - 8i

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan letak dan nama kesingularan dari f(z) = \dfrac{z^3+2}{(z - 2)^3}

Penyelesaian

Titik singular adalah titik di mana suatu fungsi tidak memiliki turunan. Sedangkan kesingularan adalah keadaan di mana suatu titik pada bidang kompleks menjadi titik singular.
Fungsi f untuk kasus ini memiliki kesingularan kutub berderajat 3 di z = 2 (perhatikan penyebutnya).
Untuk memeriksa kesingularan di z = \infty, andaikan bahwa w = 0 dan z = \dfrac{1}{w}, sehingga
\begin{aligned} f(z) & = f\left(\dfrac{1}{w} \right)\\ &  = \dfrac{\dfrac{1}{w^3} + 2}{\left(\dfrac{1}{w} -2\right)^3} \\ & = \dfrac{1 + 2w^3}{(1-2w)^3} \end{aligned}.
Dari bentuk ini, kita dapatkan bahwa tidak terjadi kesingularan saat w = 0, yang artinya f tidak memiliki kesingularan di z = \infty

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika C: persegi panjang dengan titik sudut 2 + 2i, -2 + 2i, -2 - 2i, dan 2 - 2i, dengan C berorientasi positif, nilai dari
\displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz adalah \cdots

Penyelesaian

C adalah kurva yang membentuk bangun persegi pada bidang kompleks. Perhatikanlah bahwa titik singular integran, yaitu z = 0 berada dalam C, sedangkan z^2 - 8 = 0 \Rightarrow z = \pm\sqrt{8} tidak berada dalam C, jadi dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \oint \dfrac{\cos z} {z(z^2-8)}~dz & = \oint \dfrac{\cos z}{z^2-8} \times \dfrac{dz}{z} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos z}{z^2 - 8}\right]_{z = 0} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\cos 0}{0 - 8}\right] \\ & = \boxed{-\dfrac{1}{4} \pi i} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah dengan Rumus Cauchy
\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{\cos \pi z} {z^2-1}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah integral kompleks
\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~dz, C adalah kurva dari 1 menuju i sepanjang sumbu kompleks.

Penyelesaian

Integral ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi.
Misal u = z^2 berarti du =2z~dz atau z~dz = \dfrac{du} {2}, sehingga
\displaystyle \int \limits_{C} ze^{z^2}~dz = \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~du
di mana C_1 adalah kurva hasil transformasi C karena adanya perubahan variabel integrasi.
Perhatikan pada kurva C:
z_0 = 1 (batas bawah)
z_1 = i (batas atas)
berarti pada kurva C_1 (pemisalan u = z^2) :
u_0 = 1^2 = 1 (batas bawah)
u_1 = i^2 = -1 (batas atas)
Selanjutnya, kita siap menghitung integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \limits_{C_1} e^u~du & = \dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_{1}^{-1} \\ & = \dfrac{1}{2}(e^{-1} - e^1) \\ & = -\dfrac{1}{2}(e^1 - e^{-1}) \\ & = \boxed{-\sinh 1} \end{aligned}
Catatan:
Hal yang perlu Anda perhatikan:
\boxed{\sinh z = \dfrac{1}{2}(e^z - e^{-z})}

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z - 2}~dz dengan integral Cauchy.

Penyelesaian

\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{e^z} {z - 2}~dz = 2\pi i e^z\left|_{z = 2} = \boxed{2\pi i e^2}
untuk setiap kontur (lintasan tertutup sederhana) yang melingkungi z_0 = 2 dan bernilai 0 untuk setiap kontur yang tidak melingkungi z_0 = 2.

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~dz dengan menggunakan integral Cauchy.

Penyelesaian

\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3-6}{2z-i}~dz & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{z^3-6}{2}} {z - \dfrac{i} {2}}~dz \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^3-6}{2}\right]_{z = \dfrac{i} {2}} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{\dfrac{-i} {8} - 6}{2} \right] \\ & = \boxed{\dfrac{\pi} {8} - 6\pi i} \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z_0 = \dfrac{i} {2} di mana z_0 terletak di dalam C.

[collapse]

Soal Nomor 10
Integralkan \dfrac{z^2}{z^2+1} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran |z + i| = 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (0,-1) beradius 1.
\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^2+1}& ; C: |z + i| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z-i}. \dfrac{dz} {z+i} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{z-i} \right] _{z = -i} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{-1}{-i-i} \\ & = -\pi \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = -i termasuk dalam kasus ini C: |z + i| = 1

[collapse]

Soal Nomor 11
Integralkan \dfrac{z^2}{z^4-1} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran |z - 1| = 1

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (1, 0) beradius 1.
\displaystyle \begin{aligned} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{z^4-1} & ; C: |z - 1| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)}. \dfrac{dz} {z-1} \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{z^2}{(z^2+1)(z+1)} \right] _{z = 1} \\ & = 2\pi i \times \dfrac{1}{(1+1)(1+1)} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = 1 termasuk dalam kasus ini C: |z - 1| = 1

[collapse]

Soal Nomor 12
Integralkan \dfrac{1}{4z + i} dengan arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran satuan.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa C adalah kurva berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0) beradius 1 (lingkaran satuan).
\displaystyle \begin{aligned}& \oint \limits_{C} \dfrac{1}{4z + i}~dz ; C: |z| = 1 \\ & = \oint \limits_{C} \dfrac{\dfrac{1}{4}}{z + \dfrac{i} {4}}~dz \\ & = 2\pi i\left[\dfrac{1}{4}\right] _{z = \dfrac{1}{4}\\ & = \dfrac{\pi i} {2} \end{aligned}
untuk setiap kontur yang melingkungi z = \dfrac{1}{4} termasuk dalam kasus ini C: |z|= 1

[collapse]

Soal Nomor 12
Hitunglah integral kompleks \displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~dz.

Penyelesaian

Fungsi f(z) = z^2e^{2z} merupakan fungsi analitik karena merupakan hasil perkalian polinom z^2 dan bentuk eksponensial e^{2z} yang keduanya merupakan fungsi analitik. (Ingat: suatu fungsi dikatakan analitik pada domain D jika fungsinya terdefinisi dan dapat diturunkan pada setiap titik dari D). Lintasannya (pada integral) adalah |z| = 2 yang merupakan lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 2, sehingga merupakan lintasan tertutup. Menurut akibat Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh 
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{|z| = 2} z^2e^{2z}~dz = 0} 

[collapse]

Soal Nomor 13
Hitunglah integral kompleks \displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~dz jika C adalah persegi dengan titik-titik sudut 0, 1, 1 + i, i

Penyelesaian

Perhatikan integran f(z) = e^{-x}e^{-iy} = e^{-x - iy} = e^{-z} yang merupakan fungsi analitik. Karena lintasannya berupa persegi (lintasan tertutup), maka dengan menggunakan Teorema Cauchy-Goursat, dapat disimpulkan bahwa
\boxed{\displaystyle \oint_{C} e^{-x}e^{-iy}~dz = 0}

[collapse]

Soal Nomor 14
Integralkan fungsi berikut dalam arah berlawanan jarum jam sepanjang lingkaran satuan.
a) \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}
b) \dfrac{z^3}{(2z+1)^3}

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{f(z)} {(z - z_0)^{n+1}} = f^n(z_0)\dfrac{2\pi i} {n!}}
Dengan demikian,
(Jawaban a)
\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{(2z-1)^2}~dz & = \dfrac{1}{4} \oint \limits_{C} \dfrac{z^2}{\left(z - \dfrac{1}{2}\right)^2}~dz \\ & = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{d}{dz}(z^2)\right] _{z= \dfrac{1}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {1!} \\ & = \dfrac{1}{2}\pi i \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned} \displaystyle \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{(2z+i)^3}~dz & = \dfrac{1}{8} \oint \limits_{C} \dfrac{z^3}{\left(z + \dfrac{i}{2}\right)^3}~dz \\ & = \dfrac{1}{8}\left[\dfrac{d}{dz^2}(z^3)\right] _{z = -\dfrac{i}{2}} \times \dfrac{2\pi i} {2!} \\ & = \dfrac{3}{8}\pi \end{aligned}

[collapse]