Soal Latihan dan Pembahasan – Deret (Series) ~ Analisis Real 2


Catatan penting untuk penulisan notasi sigma tanpa batas bawah dan atas:
\sum n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n

Soal Nomor 1
Dengan menggunakan pecahan parsial (partial fractions), tunjukkan bahwa
a) \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{4}
c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0
Penyelesaian:
(Jawaban a) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n+1} + \dfrac{b}{n+2} = \dfrac{(a + b)n + (2a + b)}{(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh a + b = 0 dan 2a + b = 1. Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat a = 1 dan b = -1. Jadi, bentuk notasi sigma di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right)
= \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots = 1
Terbukti bahwa \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
(Jawaban b) Tinjau rumus barisannya,

\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1} + \dfrac{c}{n+2} \\ = \dfrac{a(n+1)(n+2)+b(n)(n+2)+c(n)(n+1)}{(n)(n+1)(n+2)} \\ = \dfrac{(a+b+c)n^2 + (3a+2b+c)n + 2a}{(n)(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh a+b+c=0, 3a+2b+c=0, dan 2a=1. Selesaikan a,b,c sehingga diperoleh a = \dfrac{1}{2}, b = -1, c = \dfrac{1}{2}. Jadi,
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{n} - \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{n+2}\right)\\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right) \\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) + \left(-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right)\right] \\ = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} (terbukti)
(Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{x}{a+n} + \dfrac{y}{a+n+1} \\ =  \dfrac{(x+y)a + (x+y)n + x}{(a+n)(a+n+1)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh x + y = 0 dan x = 1. Akibatnya y = -1. Berarti, \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}
Bentuk notasi sigmanya adalah
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}\right) \\ = \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+1}\right) +  \left(\dfrac{1}{a+1} - \dfrac{1}{a+2}\right)+  \left(\dfrac{1}{a+2} - \dfrac{1}{a+3}\right) + \cdots = \dfrac{1}{a}
dengan syarat a > 0. Jadi, terbukti bahwa
\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0}
Lanjutkan membaca “Soal Latihan dan Pembahasan – Deret (Series) ~ Analisis Real 2”

Soal Latihan dan Pembahasan – Graf Isomorfik dan Subgraf (Upagraf)


Soal Nomor 1
Jika G adalah graf yang diberikan seperti gambar di bawah ini, tentukan
a) Graf G – U, bila U = \{x_1, x_3, x_5, x_7\}
b) Graf G – F, bila F = \{e_2, e_4, e_6, e_8, e_{10}, e_{12}\}
c) G[U], dengan U = \{x_2, x_3, x_4, x_7\}
d) G[F], dengan F = \{e_1, e_2, e_8, e_{11}\}

Penyelesaian:
(Jawaban a) Hapus titik U = \{x_1, x_3, x_5, x_7\} pada graf G beserta sisi yang bersisian dengannya sehingga diperoleh graf berikut.

(Jawaban b) Hapus sisi F = \{e_2, e_4, e_6, e_8, e_{10}, e_{12}\} pada graf G sehingga diperoleh graf berikut.

 

(Jawaban c) Hapus semua titik pada graf G terkecuali U = \{x_2, x_3, x_4, x_7\}. Tambahkan dengan sisi pada graf G yang titik ujungnya adalah anggota himpunan titik U, sehingga diperoleh graf berikut.

(Jawaban d) Hapus semua sisi pada graf G terkecuali F = \{e_1, e_2, e_8, e_{11}\}. Tambahkan titik ujung sisi tersebut sehingga terbentuk graf berikut.


Soal Nomor 2
Benar atau salahkan pernyataan berikut? Jelaskan.
a) Jika graf G dan H isomorfik, maka keduanya mempunyai banyak titik yang sama dan banyak sisi yang sama pula.
b) Jika graf G dan H isomorfik, maka keduanya mempunyai barisan derajat yang sama.
c) Jika G dan H graf sederhana dan mempunyai barisan derajat yang sama, maka keduanya isomorfik.
Penyelesaian:
(Jawaban a) Benar. Jika tidak demikian, maka fungsi yang terbentuk bukan bijektif/korespondensi satu-satu, padahal itu adalah syarat keisomorfikan graf. (ingat kembali bahwa syarat suatu fungsi dikatakan bijektif adalah banyaknya anggota domain sama dengan banyaknya anggota kodomain).
(Jawaban b) Benar. Ini merupakan syarat “melestarikan keterhubungan langsung” pada definisi graf isomorfik. Perlu ditekankan juga bahwa jika dua buah graf memiliki titik yang berderajat sama (graf beraturan), belum tentu kedua graf itu isomorfik, terkecuali graf itu adalah graf sederhana (simple graph).
(Jawaban c) Salah.

Kedua graf ini sederhana dan memiliki barisan derajat yang sama, tetapi tidak isomorfik. Mengapa? Silakan baca penyelesaian soal nomor 4b. Lanjutkan membaca “Soal Latihan dan Pembahasan – Graf Isomorfik dan Subgraf (Upagraf)”

Brainly, Situs dan Aplikasi sebagai Wadah Belajar Bersama!



         Brainly adalah perusahaan berbasis teknologi pendidikan multinasional yang berpusat di Krakow, Polandia dan New York, AS. Brainly memegang kendali sebuah jaringan untuk belajar bersama bagi siswa dan pendidik. Pengguna Brainly bahkan sudah mencapai 80 juta user dan tentunya akan terus bertambah seiring berjalannya waktu. Situs pertama Brainly sendiri diluncurkan pada tahun 2009. Mengenai informasi terkait Brainly beserta sejarahnya dapat kalian baca di sini. Lanjutkan membaca “Brainly, Situs dan Aplikasi sebagai Wadah Belajar Bersama!”

Soal dan Pembahasan – Integral Berulang (Repeated/Iterated Integral)


Anda HARUS sudah menguasai teknik pengintegralan (aturan umum, substitusi polinomial dan trigonometri, integrasi parsial, dekomposisi pecahan parsial, dan teknik integrasi tingkat tinggi lainnya) serta memahami perhitungan integral tertentu, karena pada postingan/penjelasan berikut ini, tidak dijabarkan secara rinci. Tetapi bila Anda memiliki pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya melalui kolom komentar.

Soal Nomor 1
Hitunglah \displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~dx~dy

Penyelesaian:
\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~dx~dy = \int_{0}^{2} \left[\dfrac{1}{3}x^3 + 2xy\right]_{0}^{1}~dy
=\displaystyle \int_{0}^{2} \left[\left(\dfrac{1}{3} + 2y\right) - 0\right]~dy
=\left[\dfrac{1}{3}y + y^2\right]_{0}^{2} = \dfrac{2}{3} + 4 - 0 = \dfrac{14}{3}
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~dx~dy = \dfrac{14}{3}}

Soal Nomor 2
Hitunglah \displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{dy~dx}{(x+y)^2}

Penyelesaian:
Tahap integrasi pertama adalah dengan menganggap x sebagai suatu konstanta dan integrasikan integrannya terhadap variabel y (menggunakan teknik substitusi), sehingga diperoleh
\displaystyle - \int_{3}^{4} \left[\dfrac{1}{x+y}\right]_{1}^{2}~dx
= \displaystyle \int_{3}^{4} \left(\dfrac{1}{x+1} -\dfrac{1}{x+2} \right)~dx
= \left[\ln (x+1) - \ln (x+2)\right]_{3}^{4} = \left[\ln \left(\dfrac{x+1}{x+2} \right) \right]_{3}^{4}
= \ln \dfrac{5}{6} - \ln \dfrac{4}{5} = \ln \dfrac{25}{24}
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{dy~dx}{(x+y)^2} = \ln \dfrac{25}{24}}

Soal Nomor 3
Hitunglah \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~dy~dx

Penyelesaian:
\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~dy~dx = \int_{0}^{1} \left[xy + \dfrac{1}{2}y^2\right]_{x}^{1}~dx
=\displaystyle \int_{0}^{1} \left[\left(x + \dfrac{1}{2}\right) - \left(x^2 + \dfrac{1}{2}x^2\right)\right]~dx
=\displaystyle \int_{0}^{1} \left(x - \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}\right)~dx
=\left[\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}
Jadi, \boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~dy~dx = \dfrac{1}{2}}

Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan


Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah a_0\dfrac{d^2y}{dx^2} + a_1\dfrac{dy}{dx} + a_2y = 0. Misalkan y = e^{mx}, maka \dfrac{dy}{dx} = me^{mx} dan \dfrac{d^2y}{dx^2} = m^2e^{mx}, sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi a_0(m^2e^{mx}) + a_1(me^{mx}) + a_2(e^{mx}) = 0. Faktorkanlah menjadi e^{mx}(a_0m^2 + a_1m + a_2) = 0, sehingga dari sini, haruslah a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0, sebab e^{mx} tidak mungkin bernilai 0 untuk setiap x. Persamaan a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0 selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk m dinamakan akar karakteristik.
Aturan:
Misalkan m_1 dan m_2 adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik.
Jika m_1 \neq m_2 (D > 0), maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}
Jika m_1 = m_2 = m (D = 0), maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}
Jika akarnya imajiner (D < 0) berbentuk m_{1,2} = a \pm bi, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx) (Rumus Euler).
Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan. Lanjutkan membaca “Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan”