Soal dan Pembahasan – Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)

 

Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan (mathematics – extended/further) yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah (garis yang memiliki panah), di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran.

Soal Nomor 4
Diketahui vektor \vec a = \widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}, \vec b = 3\widehat{i}+5\widehat{k}, \vec c= -2\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}, dan \vec u= 2 \vec a + \vec b - \vec c. Vektor \vec u adalah \cdots
A. 5\widehat{i}+6\widehat{j}+\widehat{k}
B. 3\widehat{i}-2\widehat{j}-2\widehat{k}
C. 2\widehat{i}-2\widehat{j}
D. 7\widehat{i}+8\widehat{j}-2\widehat{k}
E. 7\widehat{i}-8\widehat{j}-2\widehat{k}

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec a & = (1,2,-3) \\ \vec b & = (3,0,5) \\ \vec c & = (-2,-4,1) \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b - \vec c \\ & = 2(1,2,-3)+(3,0,5)-(-2,-4,1) \\ & = (2,4,-6)+(3,0,5)+(2,4,-1) \\ & = (2+3+2,4+0+4,-6+5-1) \\ & = (7,8,-2) \end{aligned}
Jadi, vektor \vec u adalah \boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j} - 2\widehat k}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 1
Diketahui bahwa \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}, dan \vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}. Jika \vec{a} \perp \vec{b}, maka hasil dari \vec a + 2 \vec b - \vec c = \cdots
A. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}        D. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 6 \end{pmatrix}        E. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 14 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Karena \vec a \perp \vec b (saling tegak lurus), maka \vec a \bullet \vec b = 0, sehingga ditulis 
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(4) + (2)(4) + (-3)(m) & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\ -3m&=-12 \\ m &=4 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b - \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-(-4) \\ -3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\vec a + 2 \vec b - \vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui vektor \vec a= \widehat{i}+2\widehat{j}-x\widehat{k}, \vec b = 3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}, dan \vec c= 2\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}. Jika \vec a \perp \vec c, maka nilai dari (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a - \vec c) adalah …
A. -4         B. -2          C. 0           D. 2           E. 4

Penyelesaian

Diketahui: 
\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
Karena \vec a \perp \vec c (saling tegak lurus), maka \vec a \bullet \vec c = 0, sehingga ditulis 
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(2) + (2)(1) + (-x)(2) & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\ -2x&=-4 \\ x &=2 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a - \vec c) \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \\ & = (4)(-1)+(0)(1)+(-1)(-4) = 0 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a - \vec c) = 0}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui vektor \vec u = (2,-1,3) dan \vec v =(-3,2,6). Panjang proyeksi vektor skalar 3 \vec u + 2 \vec v pada vektor \vec v adalah \cdots 
A. 13\frac34              D. 21\frac57
B. 15\frac57              E. 22\frac34
C. 18\frac27

Penyelesaian

Misalkan \vec x = 3 \vec u + 2 \vec v, sehingga
\begin{aligned} \vec x & = 3(2,-1,3) + 2(-3,2,6) \\ & = (6,-3,9)+(-6,4,12) \\ & = (6+(-6), -3+4, 9+12) \\ & = (0, 1, 21) \end{aligned}
Panjang proyeksi vektor skalar \vec x = 3 \vec u + 2 \vec v pada vektor \vec v dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec x_{\vec v}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {|\vec v|} \\ & = \dfrac{(0,1,21) \bullet (-3,2,6)} {\sqrt{(-3)^2+(2)^2+(6)^2}} \\ & = \dfrac{(0)(-3)+(1)(2)+(21)(6)} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27 \end{aligned}
Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah \boxed{18\dfrac27} 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Vektor \vec z adalah proyeksi vektor \vec x =(-\sqrt3,3,1) pada vektor \vec y =(\sqrt{3},2,3). Panjang vektor \vec z adalah …
A. \dfrac12      B. 1        C. \dfrac32        D. 2         E. \dfrac52

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec x & = (-\sqrt3,3,1) \\ \vec y & = (\sqrt3, 2, 3) \end{aligned}
Panjang proyeksi vektor \vec x pada \vec y dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec z| = |\vec x_{\vec y}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {|\vec y|^2} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3, 3, 1) \bullet (\sqrt3, 2, 3)} {\sqrt{(\sqrt3)^2+(2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3)(\sqrt3)+(3)(2)+(1)(3)} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor \vec z adalah \boxed{\dfrac32}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui \vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k} dan \vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}. Jika panjang proyeksi vektor \vec p pada \vec q adalah 2, maka n=\cdots
A. 1        B. 3         C. 4          D. 6         E. 8

Penyelesaian

Panjang proyeksi vektor \vec p pada \vec q dinyatakan oleh
|\vec p_{\vec q}| = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {|\vec q|}
Diketahui:
\begin{aligned} \vec p & = (1,-1,2) \\ \vec q & = (2,-2,n) \\ |\vec p_{\vec q}| & = 2 \end{aligned}
Untuk itu, kita peroleh
\begin{aligned} 2 & = \dfrac{(1,-1,2) \bullet (2,-2,n)}{\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(n)^2}} \\ 2 & = \dfrac{(1)(2) + (-2)(-1) + (2)(n)} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = (2+n)^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{n = 1}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui titik A(1,0,-2),B(2,1,-1), dan C(2,0,-3). Sudut antara vektor \vec{AB} dengan \vec{AC} adalah …
A. 30\degree               D. 90\degree
B. 45\degree                E. 120\degree
C. 60\degree

Penyelesaian

Untuk A(1,0,-2),B(2,1,-1), dan C(2,0,-3), diperoleh
\begin{aligned} \vec{AB} & = B - A = (2,1,-1)-(1,0,-2) = (1,1,1) \\ \vec{AC} & = C - A = (2,0,-3)-(1,0,-2) = (1, 0, -1) \end{aligned}
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah \theta
Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {|\vec {AB}| \cdot |\vec {AC}|} \\ & = \dfrac{(1,1,1) \bullet (1,0,-1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(0)^2+(-1)^2}} \\ & = \dfrac{1+0+(-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0 \end{aligned}
Dari \cos \theta = 0, diperoleh \boxed{\theta = 90\degree}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui vektor \vec a = (2, -3, 1) dan \vec b = (1,-2,3). Nilai sinus sudut antar vektor \vec a dan \vec b adalah …
A. \frac57                       D. \frac{5}{11}\sqrt3 
B. \frac{11}{14}                     E. \frac{2}{7}\sqrt6
C. \frac{5}{14}\sqrt3 

Penyelesaian

Misalkan \theta merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(2,-3,1) \bullet (1,-2,3)} {\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14} \end{aligned}
Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:
\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}
diperoleh
\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1 - \left(\dfrac{11}{14}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14} \end{aligned}
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor \vec a dan \vec b adalah \boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui vektor \vec a =\widehat{i}+\widehat{j} dan \vec b = -\widehat{i}+\widehat{k}. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah …
A. -\frac12               D. \frac12\sqrt2
B. 0                   E. \frac12\sqrt3
C. \frac12

Penyelesaian

Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka \vec a = (1, 1, 0) dan \vec b = (-1, 0, 1)
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah \theta
Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,0) \bullet (-1,0,1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(0)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(0)^2+(1)^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:
\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}
diperoleh
\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor \vec a dan \vec b adalah \boxed{\dfrac12\sqrt3}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui vektor \vec u =(0,2,2) dan \vec v =(-2,0,2). Proyeksi vektor ortogonal \vec u pada \vec v adalah …
A. -\widehat i+\widehat k
B. -\widehat i+ \frac12 \widehat k
C. -\widehat i- \widehat k
D. -2i+ \widehat k
E. 2\widehat i- \widehat k

Penyelesaian

Proyeksi ortogonal vektor\vec u pada \vec v dinyatakan oleh
\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2} \cdot \vec v}
Untuk \vec u = (0,2,2) dan \vec v =(-2,0,2), diperoleh
\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{(0,2,2) \bullet (-2,0,2)} {(\sqrt{(-2)^2+(0)^2+(2)^2})^2} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{(0)(-2)+(2)(0)+(2)(2)} {4+4} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot (-2,0,2) \\ & = (-1,0,1) \end{aligned}
Jadi, proyeksi ortogonal vektor \vec u = (0,2,2) pada \vec v=(-2,0,2) adalah (-1,0,1) atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi \boxed{-\widehat i + \widehat k}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Proyeksi ortogonal vektor \vec a = 4\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} pada \vec b = 2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} adalah …
A. \frac{13}{14}(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
B. \frac{15}{14}(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
C. \frac87(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
D. \frac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
E. 4\widehat{i}+2\widehat{j}+6\widehat{k}

Penyelesaian

Proyeksi ortogonal vektor \vec a pada \vec b dinyatakan oleh
\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec b|^2} \cdot \vec b}
Untuk \vec a = (4,1,3) dan \vec b =(2,1,3), diperoleh
\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{(4,1,3) \bullet (2,1,3)} {(\sqrt{(2)^2+(1)^2+(3)^2})^2} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{(4)(2)+(1)(1)+(3)(3)} {4+1+9} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}) \end{aligned}
Jadi, proyeksi ortogonal vektor \vec a = (4,1,3) pada \vec b=(2,1,3) adalah \boxed{\dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})} 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui vektor \vec u = 3\widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k} dan \vec v = 3\widehat{i}+9\widehat{j}-12\widehat{k}. Jika vektor 2 \vec u -a \vec v tegak lurus terhadap \vec v, maka nilai a = \cdots
A. -1      B. -\frac13        C. 1           D. \frac13            E. 3

Penyelesaian

Diketahui: \vec u = (3,2,-1) dan \vec v = (3,9,-12)
Misalkan \vec x = 2 \vec u - a \vec v, sehingga
\begin{aligned} \vec x & = 2(3,2,-1)-a(3,9,-12) \\ & = (6,4,-2)-(3a, 9a, -12a) \\ & = (6-3a, 4-9a, -2+12a) \end{aligned}
Karena vektor \vec x = 2 \vec u -a \vec v tegak lurus terhadap \vec v, maka haruslah memenuhi \vec x \bullet \vec v = 0, sehingga ditulis
\begin{aligned} (6-3a, 4-9a, -2+12a) \bullet (3,9,-12) & = 0 \\ 3(6-3a) + 9(4-9a) + (-12)(-2+12a) & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24 - 144a & = 0 \\ 78 - 234a & = 0 \\ -234a & = -78 \\ a & = \dfrac13 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{a = \dfrac13}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui bahwa |\vec a|=\sqrt{3},|\vec b|=1, dan |\vec a - \vec b|=1. Panjang vektor (\vec a + \vec b) adalah …
A. \sqrt3                 D. 2\sqrt2
B. \sqrt5                 E. 3
C. \sqrt7

Penyelesaian

Dengan menerapkan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |\vec a - \vec b| & = 1 \\ \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ (\sqrt3)^2 + (1)^2 - 2(\sqrt3)(1) \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} = \dfrac{3}{2\sqrt3} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2 + \cancel{2(\sqrt3)}(1) \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor (\vec a + \vec b) adalah \boxed{\sqrt7}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Panjang vektor \vec a, \vec b, dan (\vec a - \vec b) berturut-turut adalah 3, 4, dan \sqrt{37}. Besar sudut antara vektor \vec a dan vektor \vec b adalah …
A. 30\degree             D. 120\degree
B. 45\degree             E. 150\degree
C. 60\degree

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} |\vec a| & = 3 \\ |\vec b| &= 4 \\ |\vec a - \vec b| & = \sqrt{37} \end{aligned}
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |\vec a - \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ (\sqrt{37})^2 & = (3)^2 + (4)^2 - 2(3)(4) \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\ -24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & = -\dfrac{12}{24} = -\dfrac12 \end{aligned}
Untuk \cos \theta = -\dfrac12, diperoleh \theta = 120\degree}
Jadi, besar sudut antara vektor \vec a dan vektor \vec b adalah \boxed{120\degree}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui vektor-vektor \vec u = b\widehat{i}+a\widehat{j}+9\widehat{k} dan \vec v = a\widehat{i}-b\widehat{j}+a\widehat{k}. Sudut antara vektor \vec u dan \vec v adalah \theta dengan \cos \theta = \dfrac{6}{11}. Proyeksi ortogonal \vec u pada \vec v adalah \vec p = 4\widehat{i}-2\widehat{j}+4\widehat{k}. Nilai dari b=\cdots
A. \sqrt2                      D. 4
B. 2                         E. 4\sqrt2
C. 2\sqrt2

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec u & = (b, a, 9) \\ \vec b & = (a, -b, a) \\ \angle(\vec u, \vec v) & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = (4,-2, 4) \end{aligned}
Misalkan n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2}.
Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat
\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ (4,-2,4) & = n(a, -b, a) \\ (4,-2,4) & = (na, -nb, an) \end{aligned}
Dari sini, diperoleh 4=na dan -2=-nb.
Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi
n = \dfrac{a}{4} dan n = \dfrac{2}{b}
Untuk itu, 
\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b
Selanjutnya, dengan menggunakan rumus cosinus vektor, didapat
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{(b, a, 9) \bullet (a, -b, a)}{\sqrt{b^2+a^2+(9)^2} \cdot \sqrt{a^2 + (-b)^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab - ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{9(2b)}{\sqrt{(2b)^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2(2b)^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2 \end{aligned}
Jadi, nilai b adalah \boxed{2\sqrt{2}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Misalkan panjang vektor \vec a adalah 1 dan panjang vektor \vec b adalah 4 serta \vec a \bullet \vec b =3. Panjang vektor 2 \vec a - \vec b adalah …
A. \sqrt2                   D. \sqrt3
B. 2\sqrt2                 E. 2\sqrt3
C. 3

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} |\vec a| & = 1 \\ |\vec b| & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3 \end{aligned}
Cosinus sudut antara \vec a dan \vec b dinyatakan oleh
\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34
Karena \vec {2a} merupakan perpanjangan dari \vec a, maka sudut yang terbentuk oleh \vec {2a} dan \vec b sama dengan sudut yang terbentuk oleh \vec a dan \vec b, yaitu \theta, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |2\vec a - \vec b| & = \sqrt{|2a|^2+|b|^2-2|2a||b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(2(1))^2 + (4)^2 - 2(2)(\cancel{4}) \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor 2 \vec a - \vec b adalah \boxed{2\sqrt2} 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui vektor \vec a = \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} dan \vec b = 8\widehat{i}+m\widehat{k}. Panjang proyeksi vektor \vec b pada \vec a adalah \dfrac{1}{5}|\vec a|. Vektor proyeksi ortogonal \vec b pada \vec a adalah …
A. -\frac85 \widehat i-5\widehat j+\frac65 \widehat k
B. \widehati+2 \widehat j+5 \widehat k
C. \widehati+5\widehat j+2\widehat k
D. \frac15 \widehat i- \widehat j+\frac25 \widehatk
E. \frac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k

Soal Nomor 18
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4). Besar sudut ABC = \cdots
A. \pi       B. \frac{\pi}{2}       C. \frac{\pi}{3}       D. \frac{\pi}{6}     E. 0

Penyelesaian

Besar sudut ABC dapat ditentukan dengan menerapkan rumus:
\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec AB \bullet \vec{BC}}{|\vec {A| \cdot |\vec {BC}|}}}
Perhatikan bahwa, 
\begin{aligned}\vec AB & = B - A \\ & = (2, -1, -1) - (5, 1, 3) \\ & = (-3, -2, -4) \end{aligned}
dan
\begin{aligned}\vec BC & = C - B \\ & = (4, 2, -4) - (2, -1, -1) \\ & = (2, 3, -3) \end{aligned}
Panjang vektor \vec{AB} dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec{AB}| & = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-4)^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29} \end{aligned}
Panjang vektor \vec{BC} dinyatakan oleh
\begin{aligned}|BC| & = \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}|\cdot |\vec {BC}|} \\ & = \dfrac{(-3,-2,-4) \bullet (2, 3, -3)}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0 \end{aligned}
Karena \cos \theta = 0, maka \boxed{\theta = 90\degree=\dfrac{\pi}{2}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui |\vec a|=2\sqrt3 dan |\vec b|=4. Jika vektor \vec a tegak lurus dengan (\vec a +\vec b), maka sudut antara vektor \vec a dengan vektor \vec b adalah …
A. 150\degree            D. 60\degree
B. 120\degree            E. 30\degree
C. 90\degree

Soal Nomor 20
Diketahui limas T.ABC mempunyai koordinat T(1, 0, 3), A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), dan C(1, 4, 0). Jika \theta merupakan sudut antara \vec{TB} dan \vec{TC}, maka nilai \cos \theta adalah …
A. -\frac{9}{25}            D. \frac{3}{5}
B. -\frac{3}{5}              E. \frac{9}{25}
C. \frac{3}{25}

Penyelesaian

Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
\begin{aligned} \vec{TB} & = B - T = (5, 0, 0) - (1, 0, 3) = (4,0,-3) \\ \vec{TC} & = C - T = (1,4,0)-(1,0,3)=(0,4,-3) \end{aligned}
Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec{TB}| & = \sqrt{(4)^2+(0)^2+(-3)^2} = 5 \\|\vec{TC}| & = \sqrt{(0)^2+(4)^2+(-3)^2} = 5 \end{aligned}
Cosinus dari sudut antara \vec{TB} dan \vec{TC} dapat ditentukan dengan menggunakan rumus cosinus vektor.
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{|\vec {TB}| \cdot |\vec {TC}|} \\ & = \dfrac{(4,0,-3) \bullet (0, 4, -3)}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{4(0) + 0(4) + (-3)(-3)}{25} \\ & = \dfrac{9}{25} \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui vektor \vec a =(2,-2\sqrt2,4), \vec b = (-1,p,q), dan \vec c=(3,\sqrt2,-1). Jika vektor \vec a berlawanan arah dengan vektor \vec b, nilai (\vec a - \vec b) \bullet (\vec b - \vec c) = \cdots
A. -18            D. 6
B. -12            E. 18
C. -6

Soal Nomor 22
Diketahui A(1,2,3),B(3,3,1), dan C(7,5,-3), Jika A,B, dan C segaris (kolinear), maka \vec{AB} : \vec{AC} adalah …
A. 1 : 2              D. 5 : 7
B. 2 : 1              E. 7 : 5
C. 2 : 5

Penyelesaian

Karena A, B, C segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan (memiliki perbandingan). 
Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = (3,3,1)-(1,2,3)=(2,1,-2) \\ \vec{BC} & = C-B = (7,5,-3)-(3,3,1) = (4,2,-4) \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{(2,1,-2)}{(4,2,-4)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2,1,-2)}}{2\cancel{(2,1,-2)}} \\ & = \dfrac12 \end{aligned}
Jadi, \boxed{\vec{AB} : \vec{BC} = 1 : 2}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui vektor \vec u = \widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k} dan \vec v = \widehat{i}+\widehat{j}+m\widehat{k}. Panjang proyeksi \vec u pada \vec v adalah \dfrac23\sqrt3. Bila m>0, maka nilai m+2=\cdots
A. 2            B. 3            C. 5            D. 9          E. 15

Soal Nomor 24
Misalkan A(t^2+1,t) dan B(1,2) sehingga panjang vektor proyeksi \vec{OA} terhadap \vec{OB} lebih dari \dfrac{4}{\sqrt5}. Nilai t yang mungkin adalah …
A. -3<t<1
B. t<-1 atau t>3
C. t<-3 atau t>1
D. -1<t<3
E. 1<t<3

Soal Nomor 25
Jika sudut antara vektor \vec a = \widehat{i}+\widehat{j}-r\widehat{k} dan \vec b = r\widehat{i}-r\widehat{j}-2\widehat{k} adalah 60\degree. Nilai r positif yang memenuhi adalah …
A. \sqrt2        B. 1           C. 0          D. -1        E. -\sqrt2

Penyelesaian

Diketahui \vec a = (1, 1, -r), \vec b = (r, -r, -2) dan \angle(\vec a, \vec b) = \theta = 60\degree
Dengan menggunakan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,-r) \bullet (r, -r, -2)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+(-r)^2} \cdot \sqrt{(r)^2+(-r)^2+(-2)^2}} \\ \cos 60\degree & = \dfrac{1(r) + 1(-r) + (-r)(-2)}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = (r^2-2)(r^2-2) \end{aligned}
Didapat r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2
Karena r dikatakan bernilai positif, maka \boxed{r = \sqrt2}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika \vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k} dan |\vec a -\vec b| = \sqrt{14}, maka \vec a \bullet \vec b = \cdots
A. 0        B. \frac14           C. \frac12          D. 1          E. 2

Penyelesaian

Karena \vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}, maka panjangnya adalah
|\vec a + \vec b| = \sqrt{(1)^2+(-1)^2+(4)^2} = \sqrt{18}
Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} |\vec a - \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 14 \\ |\vec a + \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 18 \end{aligned}
Kurangi kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh
\begin{aligned} -4|\vec a||\vec b| \cos \theta & = -4 \\ |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1 \end{aligned}
Jadi, perkalian titik dari vektor \vec a dan \vec b adalah \boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 27
Diketahui vektor \vec k=(9,0,-6), \vec l=(2,4,-1), \vec m =(2,1,2), dan \vec n=(1,-3,-2). Jika \vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n, maka 2a+5b-7c=\cdots
A. -12       B. -5        C. 0         D. 1          E. 12

Soal Nomor 28
Jika (\vec u + \vec v) tegak lurus dengan (\vec u - \vec v), maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah …
A. |\vec u + \vec v|=|\vec u - \vec v| 
B. |\vec u|=|\vec v|
C. \vec u = \vec v
D. arah \vec u = arah \vec v
E. \vec u tegak lurus dengan \vec v

Soal Nomor 29
Diketahui titik A(2,1,-4),B(2,-4,6), dan C(-2,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB=3:2. Vektor yang diawali oleh \vec{PC} adalah …
A. (-4,3,-6)              D. (4,-7,-2)
B. (-4,-7,2)              E. (-4,7,2)
C. (-4,3,6)

Soal Nomor 30
ABCD adalah segiempat sembarang. Titik S dan T masing-masing titik tengah AC dan BD. Jika \vec{ST} \vec = u, maka \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec{CD} = \cdots

A \vec u                   D. 4 \vec u
B. 2 \vec u               E. 8 \vec u
C. 3 \vec u

Soal Nomor 31
ABCD adalah sebuah jajar genjang. Jika DP:PC=2:1 danBQ:QC=1:1, maka AT:TP=\cdots

A. 3 : 1             D. 3 : 2
B. 1 : 3             E. 4 : 3
C. 2 : 3